Статистические методы обработки сигналов в радиотехнических системах

91

Подобнаяситуацияхарактернадляразличениясигналоввцифровыхсистемах связи, где s0 (t) и s1(t) используются для передачи «0» и «1». Таким образом, этот критерий также следуетиз критерия МСР.

Критерий Неймана — Пирсона. Для РЛ-систем характерна ситуация, когдасигнал s0 (t) 0, тоестьнеобходиморазличатьдвегипотезы: H0 — на входе только шум (в зоне обзора цели нет) и H1 — на входе РЛ-приемника есть сигнал s1(t) . Как правило, вероятности p0 и p1 (отсутствия и наличия цели) неизвестны. Вероятность же ошибки 1-го

недолжнапревосходитьзаранеезаданногозначения.

Оптимальный РЛ-приемник обнаружения должен обеспечить мак-

симальную величину вероятности правильного обнаружения

Это условие носит название критерия Неймана — Пирсона. Данный критерий такжеследует изкритерияМСР, как частный случай [1].

Таким образом, для всех перечисленных выше критериев способ обработки остается неизменным, те. . оптимальный различитель (обна-

ружитель) формирует величину L(y) — отношение правдоподобия. Отличие устройств обработки при различных критериях оптималь- ности состоит в выборе элементов платежной матрицы, которые влияют только на величину порога 0opt (3.36).

3.6.Различение двух детерминированных сигналов на фоне белого гауссовского шума. Структура оптимальных устройств

Сигнал на входе приемника представим в виде (3.30) и будем полагать, что он состоит из аддитивной смеси точно известного полезного сигнала s0 (t, 0 ) или s1(t, 1) и собственного шума приемника n(t). Получим

92

Важное условие, при котором мы решаем задачу, состоит в том, что

предполагаются точно известными и моменты начала и окончания временного интервала, в которомнаходится полезный сигнал s(t). Не-

известнолишькакой этосигнал: s0 (t) или s1(t).

Гауссовский белый стационарный шум n(t) имеет нулевое среднее значениеи корреляционнуюфункцию Kn ( ) (N0 / 2) ( ) (см. (1.46)).

Определимв явномвиде отношениеправдоподобия (3.37) для дискретной выборки из наблюдаемого сигнала (3.41). Для двух гипотез на входеприемникаимеем

где s0i s0 (ti ), ni n(ti ).

Будем считать, что энергетический спектр шума сосредоточен в полосе fв . Тогда при интервале дискретизации t 1/(2 fв) согласно рис. 1.18 отсчеты гауссовского шума статистически независимы. Дисперсия шума n2 N0 fв N0 /(2 t) . Регулярный сигнал выполняет

роль среднего значения — H0 : yi s0i ; H1 : yi s1i . С учетом (1.42) m-мерные условные ПРВ выборочного вектора y для двух гипотез

имеют вид

где m T / t — число отсчетов на интервале наблюдения. Подставляя (3.43) в(3.37), послевыполненияпростыхалгебраическихпреобразованийполучим

Выражение(3.44) определяетискомоеотношениеправдоподобиядля задачиразличениядвухсигналовсполностьюизвестнымипараметрами на фоне помехи в виде квазибелого шума. Оно допускает простой предельный переход к случаю белого шума, когда fв , а t 0. При

93

этом суммы в показателе степени первого сомножителя перейдут в интегралы, численноравныеэнергииразличаемыхсигналов,

Полагая, чтоэнергия сигналов Es1 и Es0 не зависитот параметра , отношениеправдоподобияокончательноможетбытьпредставленоввиде

Предельнаяформа (3.47) отношенияправдоподобия(3.44) называет-

ся функционалом отношения правдоподобия. Процедура различения сигналов, состоящая в сравнении L y(t) с порогом 0 , может быть замененаиспытаниемлюбоймонотоннойфункцииотэтогоотношенияна соответствующий порог. Упрощение алгоритма оптимального различениядостигаетсяпослелогарифмирования(3.47). Выполнивего, оставим в левой части решающего правила (3.37) слагаемые, зависящие от наблюдаемойреализации y(t). Витогеоптимальноеправилоразличения принимаетследующийвид:

модифицированныйпорог.

94

Структура каждого из интегралов в (3.48) совпадает со структурой выражения (1.15а), определяющегокорреляционную функцию. Поэтой причине приемное устройство, реализующее для различения двух полностьюизвестных сигналовалгоритмвида (3.48), называют корреляци-

онным приемником.

Из (3.48) следует, что для вынесения решения о наличии на входе приемника сигнала s1(t, 1) или s0 (t, 0 ) необходимо реализацию y(t) перемножить с копией каждого из ожидаемых сигналов, проинтегрировать произведение, вычесть выходные сигналы интеграторов в момент t T и результат сравнить с порогом. Если пороговый уровень превышен, то принимается решение о наличии на входе s1(t); в противном случае— решениеоналичии s0 (t). Длякритерияидеальногонаблюдателяивеличинахэнергии Es1 Es0 , чтоимеетместо, например, приЛЧМ- иФКМ-сигналах, порог zП 0 . Такимобразом, оптимальныйприемник фактически принимает решение познаку разности выходных сигналов интеграторов. На рис. 3.8,а показана структурная схема оптимального различителя, соответствующая алгоритму (3.48). Генераторы опорного сигнала (ГОС) формируюткопииожидаемыхсигналов; устройствосинхронизации (УС) обеспечиваеттактированиеработыразличителя— запускГОСи считываниеуровней сигналов

с выхода интеграторов в момент t T .

Рис. 3.8. Структурные схемы оптимальных различителей:

а— вариант с применением корреляторов;

б— вариант с применением согласованных фильтров

96

является по смыслу коэффициентом взаимной корреляции между сиг-

налами s1(t) и s0 (t) .

Если навходеверна гипотеза H0 , тослучайнаявеличина

T

z 2 s0 (t) n(t) s1(t) s0 (t) dt (3.55)

N0 0

имеетгауссовскуюПРВспараметрами

Условные ПРВ W (z / H1) и W (z / H0 ) показаны на рис. 3.9. Полная вероятность ошибочного различения сигналов для «идеального наблюдателя» равна

Вероятностидвухошибокразличения (3.51) численноравныплощадям заштрихованных областей (рис. 3.9). Интегрирование в (3.57) гауссовскихПРВсводится, какизвестно, кинтегралувероятностиФ(х). После вычисленийполучим

Pош 1 Ф (Es / N0 )(1 ks ) . (3.58)

ИнтегралвероятностиФ(х) являетсямонотонновозрастающейфункциейаргументапоэтомупризаданномотношениисигнал/шумнаибольшую помехоустойчивость (меньшую вероятность ошибки) будут иметь сигналы, для которых коэффициент взаимной корреляции минимален. Величина ks изменяется от минус 1, при s1(t) s0 (t) (противоположные сигналы), доплюс 1, при s1(t) s0 (t) . Вслучае, когда ks 0 , гово-

рят, что сигналы ортогональны. Одинаковые сигналы ( ks 1), оче-

видно, невозможноразличитьпоформе, ипоэтому Pош 1 Ф(0) 0,5.

Рис. 3.10. Зависимость полной вероятности ошибки Pош от коэффициента взаимной корреляции ks между детерминированными сигналами (а) и кривые потенциальной помехоустойчивости (б) для АМ, ЧМ, ФМ

На рис. 3.10,бприведеныэтикривыедлятрехвидовмодуляции:

– АМ с сигналами s1(t) A0 cos( t ) и s0 (t) 0 ;

– ЧМссигналами s1(t) Acos( 1t ) и s0 (t) Acos( 0t ), причем обычно ( 1 0 ) T 1 и ks 0;

– ФМ с сигналами s1(t) Acos( t) и s0 (t) Acos( t), то есть ks 1. Из графиков следует, что при заданной энергии элементарных сигналов наибольшую потенциальную помехоустойчивость имеет ФМ-сигналы.

98

3.6.2. Статистические характеристики качества обнаружения

Вычислим показатели, определяющие качество работы оптимального обнаружителя. В РЛ-системах для задач обнаружения гипотеза H0 : y(t) n(t) . Выражениясигнала z навыходекорреляционногоприемника для двух гипотез следуют из (3.52) и (3.55). Условные ПРВ W (z / H1) и W (z / H0 ) такжеостаютсягауссовыми. Ихпараметры(среднее значение и дисперсия) рассчитываются тем же способом, чтои при выводе формулы (3.21). В итоге получаем

Нарис. 3.11 показаныусловныеПРВ; ониимеютгауссовскуюформу и отличаются, согласно (3.59), только положением.

ВсоответствиискритериемНеймана — Пирсона необходимозадать

ностьпревышенияпороговогоуровня zП случайнойвеличиной z когда на входеприемникаимеетсятолькошум

На рис. 3.11 заштрихованы площади, соответствующие величинам D и F. Видно, чтожеланиеодновременногоуменьшения F иувеличения D является противоречивым. При заданном значении F из (3.60) следует определить нормированный порог zП / q0 и затем согласно (3.61) вычислить вероятность правильногообнаружения D. Семейство кривых D f(q0) при F const называют характеристиками обнару-

100

На рис. 3.13 приведены осциллограммы процессов при согласованной фильтрации ФКМ-сигнала (7-позиционный код Баркера). Длительностьсигнала и соответствуетсемиклеткамнаэкране. Нарис. 3.13а,б показанВЧ-процесс(смесьсигналаишума) навходефильтраиогибающая на выходе фильтра при отношении уровня сигнала к среднеквадратичномузначениюшума, равномупримерно10. Очевидно, чтопроблема обнаружениятакогосильногосигналапрактическиотсутствует. Онавозникает, когда сигнал на входе СФ сравним по уровню с шумом, и это видно на рис. 3.13,в,д. Положение существенно улучшается на выходе фильтра(рис. 3.13,г,е).

Следует обратить внимание на боковой всплеск слева от главного максимума (рис. 3.13,е). В данном случае он соответствует боковому лепестку временной автокорреляционной функции полезного сигнала (см. рис. 3.4). Однаковреальной РЛ-системе, когда числоцелей заведомо неизвестно, этот боковой максимум может принадлежать другому объекту, сигналоткоторогоболееслабый. Этоозначает, вчастности, что уровеньбоковых лепестковФНсигнала имеетважноезначение вплане достоверностиполучаемойвРТСинформации. Ондолжениметьвполне определеннуювеличину, зависящуюотдинамическогодиапазонаполезных сигналовна входе.

3.6.3.Общие черты задач «сыщика»

и«оптимального обнаружителя»

Алгоритмыобнаруженияи различениясигналов, полученныевыше, посвоей логической структуресходныспроцедурой, которуюреализует детективприпоиске-обнаружениипреступника(полезныйсигнал) вбольшой толпе (шуме) людей. Действительно, он заведомо изучает облик

иповадки преступника, собирает всю априорную информацию о нем. В самой благоприятной (простой) ситуации он имеет его фотографию (опорный сигнал) и точно знает, где и когда (например, в каком кафе

ив какое время), как правило, появляется сигнал-преступник.