Общая электротехника и электроника

30

Заметим, что ej t как постоянную величину, не зависящую от координат, можно вынести за знак ротора.

В результате первое уравнение Максвелла (1.23) запишется как:

меньше проводимости . Поэтому с большой степенью точности слагаемым j a E в первом уравнении Максвелла (1.61) для проводящих сред можно пренебречь. Таким образом, первое и второе уравнения Максвелла для про-

Уравнение (1.65) является дифференциальным относительно H . В об-

щем случае, когда H зависит от всех трех или даже только от двух координат, решение (1.65) довольно сложно. Поэтому ограничимся рассмотрением решения этого уравнения для частных случаев.

В общем случае под плоской электромагнитной волной понимают вол-

ну, векторы H и E которой расположены в плоскости хоу, перпендикулярной направлению распространения волны (ось z) и изменяющиеся только в функции координаты z и времени t. В дальнейшем под плоской волной будем по-

нимать плоскую линейно поляризованную волну, в которой вектор E направ-

лен вдоль одной, а вектор H вдоль другой координатной оси плоскости хоу. Плоская линейно поляризованная волна показана на рисунке 1.15. На рисунке

изображены для одного и того же момента времени векторы H и E в двух

31

параллельных плоскостях, перпендикулярных оси z декартовой системы координат. Во всех точках первой плоскости (рисунок 1.15, а) напряженность электрического (магнитного) поля одинакова по величине и направлению. Во всех точках второй плоскости (рисунок 1.15, б) напряженность электрического (магнитного) поля также одинакова по величине и направлению, но не равна напряженности поля в первой плоскости.

В силу самого определения плоской волны:

В плоской волне H и E являются функциями только одной координаты, в рассматриваемом случае функцией только z.

Повернем координатные оси таким образом, чтобы ось у совпала с

а – первая плоскость; б – вторая плоскость

Рисунок 1.15 – Плоская линейно поляризованная волна

Учтем, что:

В уравнении (1.67) вместо частной написана обыкновенная производная. Переход от частной производной к обыкновенной для плоской волны является естественным, так как H это функция только одной переменной z.

32

Уравнение (1.67) представляет собой линейное дифференциальное уравнение второго порядка. Его решение записывают следующим образом:

где C1 и C2 постоянные интегрирования; это комплексы, которые определяют из граничных условий; для каждой конкретной задачи свои постоянные.

Выражение (1.73) показывает, что напряженность электрического поля в плоской волне при выбранном расположении осей координат направлена вдоль оси х, об этом свидетельствует присутствие единичного орта оси х. Та-

34

Электромагнитная волна проникает из диэлектрика в проводящую среду и распространяется в ней. Так как среда простирается теоретически в бесконечность и падающая волна в толще проводящей среды не встречает границы, которая «возмутила» бы ее распространение, то отраженной волны в

Постоянную интегрирования C2 найдем из граничных условий. Если обозначить напряженность магнитного поля на поверхности проводящей среды че-

Чтобы записать выражения для мгновенных значений Н и E, необходимо правые части (1.76) и (1.77) умножить на еj t и взять мнимые части от получившихся произведений. Тогда получим:

зательному закону. Следовательно, по мере проникновения электромагнитной волны в проводящую среду амплитуды E и Н уменьшаются по показательному закону. На рисунке 1.18 изображены огибающие амплитуд Н, построенные на основе Hae kz. Мгновенное значение E и Н определяется аргументом синуса, который в выражении (1.78), например, зависит от z и от t. Если принять

t = const, то на графике мгновенных значений Н в функции от z будет получена кривая 1 (см. рисунок 1.18) при t + a = 0 и кривая 2 при t + a = 90 .

Для того чтобы охарактеризовать, насколько быстро уменьшается амплитуда падающей волны по мере проникновения волны в проводящую среду, вводят понятие «глубина проникновения».

Под глубиной проникновения понимают расстояние вдоль направления распространения волны (вдоль оси z), на котором амплитуда падающей волны Е (или H) уменьшается в е = 2.71 раз. Глубину проникновения опреде-

где k определяется выражением (1.71).

35

1 – t + a = 0; 2 – t + a = 90

Рисунок 1.18 – Огибающие амплитуд Н = Hae kz

Глубина проникновения зависит от свойств проводящей среды ( и r) и частоты .

1.3.2 Поверхностный эффект и эффект близости

Рассмотрим электромагнитное поле в стальном листе при прохождении вдоль листа переменного магнитного потока Фm . Лист (рисунок 1.19) имеет

толщину 2а, высоту h (h >> 2а) и большую протяженность в направлении, перпендикулярном рисунку. Средняя плотность магнитного потока по сече-

а – стальной лист; б – зависимости модулей напряженности магнитного и электрического полей от координаты z

Рисунок 1.19 – Магнитный поверхностный эффект

Задача состоит в определении законов изменения H и E по сечению листа. В силу симметрии напряженность магнитного поля на левой поверхно-

36

сти листа та же, что и на правой поверхности листа. Обозначим ее через Ha и будем полагать известной (в дальнейшем выразим ее через BСР ).

Так как толщина листа 2а много меньше высоты листа h, то искажающим влиянием краев листа на поле можно в первом приближении пренебречь, и считать, что в лист с двух сторон проникает плоская электромагнитная вол-

на [2].

Расположим оси координат декартовой системы в соответствии с рисунком 1.19. Примем, как и прежде, H y0 H (см. пункт 1.3.1). Общее решение для H таково (см. (1.68)):

= а вниз (вдоль оси +х, см. рисунок 1.19, а). Вектор Пойнтинга направлен к средней плоскости листа (внутрь листа).

Ток, возникающий при прохождении по листу переменного магнитного

Среднее значение магнитной индукции в листе:

37

напряженность поля на поверхности листа:

Заметим, что аргумент pa = ka + jka является комплексом (согласно (1.70)) и th pa есть гиперболический тангенс от комплексного аргумента; он также является комплексом:

напряженности поля в средней плоскости листа:

Левая и правая части формулы (1.85) являются комплексами. Модуль chpa показывает, во сколько раз модуль Ha больше модуля H z 0 . Найдем модуль chpa. С этой целью запишем два сопряженных комплекса:

38

ch(ka + jka) = chka coska + jshka sinka; ch(ka – jka) = chka coska – jshka sinka.

Произведение сопряженных комплексов дает квадрат модуля. Следовательно:

Таким образом:

Напряженность поля в средней плоскости листа может быть много меньше напряженности поля на краю листа. Явление неравномерного распределения поля по сечению проводящего тела, вызванное затуханием электромагнитной волны при ее распространении в проводящую среду, называют поверхностным эффектом. Если вдоль листа направлен магнитный поток, то поверхностный эффект часто называют магнитным, если вдоль плоской шины направлен переменный ток, то электрическим поверхностным эффектом. Природа их одна и та же, а слова «магнитный» или «электрический» свидетельствуют лишь о том, что направлено вдоль листа (шины): поток или ток.

На рисунке 1.19, б построены две кривые. Кривая Н(z) характеризует изменение модуля напряженности магнитного поля в функции от z. В средней плоскости листа Н до нуля не снижается, так как ch 0 0. Кривая Н строится по уравнению (1.79). Кривая Е(z) характеризует изменение модуля напряженности электрического поля в функции от z. Эта кривая строится по (1.80). Функция sh pzz = 0 = 0 и потому кривая проходит через нуль при z = 0. Кривая плотности вихревых токов j = E качественно повторяет кривую Е от z (разница только в масштабе).

При электрическом поверхностном эффекте (рисунок 1.20, а) вдоль пластины (шины) направлен синусоидальный ток I частоты . Расположим оси координат декартовой системы в соответствии с рисунком. На обеих поверхностях пластины напряженность магнитного поля может быть определена по закону полного тока. Пренебрегая магнитным падением напряжением на торцевых поверхностях шириной 2a и полагая на всей поверхности напряженность поля одинаковой, получаем:

39

Двух граничных условий достаточно для определения постоянных интегрирования:

Совместное решение уравнений относительно C1 и C2 дает:

В произвольной точке напряженность магнитного поля:

Модуль sh pa определим аналогично модулю функции сh pa:

Зависимость модуля H(z) в этом случае такая же, как и зависимость E (z) на рисунке 1.19, б, а зависимость Е(z) такая же, как и зависимость H(z) на этом же рисунке.

Пусть по двум параллельным близко расположенным плоским шинам (см. рисунок 1.20, б) будет протекать в противоположных направлениях синусоидально изменяющийся во времени ток I частоты . Размеры шин таковы, что 2а << h и 2b << h. Разместим начало декартовой системы координат в средней плоскости левой шины и учтем, что слева от левой шины напряжен-

убедиться на основании закона полного тока. Тогда два граничных условия, отнесенные к левой и правой границе левой шины, выглядят как:

Совместное решение уравнений относительно C1 и C2 дает: