Микроволновые приборы и устройства

101

Задача рассмотрения явлений в клистронах состоит, с одной стороны, в анализе взаимодействия электронов с СВЧ-полями, а с другой стороны — в анализе преобразований, происходящих в потоке после их воздействия. Решение такой задачи в общем случае громоздко [4], так как требуется учитывать влияние собственных полей электронных сгустков на происходящие процессы. Задачу можно упростить, решить, а затем, при необходимости, ввести поправки в полученное решение.

Упрощающие положения: предполагается:

1)зазор резонатора плоский, прозрачен для электронов и непрозрачен для СВЧ-полей (что выполняется легко при использовании сеток);

2)СВЧ-поле в зазоре резонатора однородно (от координат r

иϕ не зависит) и квазистатично, т.е. электрическое поле сосре-

доточено в зазоре;

3)электронный поток, входящий в зазор, однороден по плотности и по скорости (v0 = const , ρ= const );

4)в пространствах, где СВЧ-полей нет, статические поля либо однородны, либо отсутствуют, поля пространственного заряда не учитывается;

5)скорости электронов меньше скорости света;

6)амплитуды переменных полей в первом резонаторе много меньше величины постоянных полей — Um1 <<U0 , это метод ма-

лых амплитуд.

Подобного рода допущения соответствуют нерелятивистской кинематической одномерной задаче о движении электронов при малых амплитудах, что характерно для линейного режима.

5.2Воздействие поля первого резонатора на электронный поток

Модуляция по скорости происходит при взаимодействии электронов с СВЧ-полями первого резонатора.

Кинетическая энергия электронов на входе в первый резонатор — mv02/2 и равна потенциальной энергии, задаваемой электронной пушкой — mv02 /2 = eU0 .

102

При прохождении электроном зазора с переменным напряжением Um1sin(ωt) его скорость становится v , а кинетическая

энергия mv2/2, что вызывается действием суммарного потенциального поля e(U0 +Um1sin(ωt)) . В случае зазоров конечной про-

тяженности за время пролёта электронов изменяется переменное напряжение. Конечная протяжённость зазора учитывается умножением амплитуды переменного напряжения на коэффициент взаимодействия М в выражении потенциальной энергии, т.е. eM1Um1sin(ωt0 ), а время t0 берется соответствующим средине за-

зора. Тогда, согласно закону сохранения энергии, запишем mv2/2 = e(U0 + M1Um1sin(ωt0 )), откуда скорость на выходе резонатора определяется соотношением

Здесь величина v1 = 0,5M1ξ1v0 — амплитуда переменной со-

ставляющей скорости электрона, возникшая за счёт взаимодействия с СВЧ-полем в первом резонаторе.

Модуляция потока по плотности происходит в простран-

стве дрейфа после взаимодействия с полем 1-го резонатора. Расположим начало координат в центре зазора первого ре-

зонатора, т.е. z = z1 = 0 . На выходе из первого зазора электрон

попадает в пространство дрейфа и движется по инерции, тогда его координата в любой точке z, будет

103

Умножим (5.3) на ωv0 , подставим (5.2), получим

Выражение (5.4) отражает зависимость расстояния z от времени t1 — первого зазора в угловых величинах и может быть

представлено графически прямыми линиями, угол наклона которых соответствует скорости электронов v . При ξ1 ≠ 0 угол на-

клона прямых изменяется в соответствии с фазой СВЧ-напря- жения на зазоре. И чем больше величина ξ1 , тем больше измене-

ние угла наклона прямых. Тормозящему периоду поля Um1sin(ωt1) соответствует меньший угол, ускоряющему — боль-

ший угол наклона прямых. Чем ξ больше, тем быстрее сходятся

траектории, т.е. ускорённые и замедленные электроны сближаются. Такой процесс преобразования электронного потока называется группированием электронов. Пространственно-временные

диаграммы (ПВД) пролетного клистрона ωz = f (ωt1) приведены v0

на рис. 5.2. Анализируя графики ПВД, можно сделать интересные для практики выводы:

1. Центром группы является электрон, прошедший зазор в нулевой момент СВЧ-поля на зазоре, когда оно изменялось от тормозящего к ускоряющему. Эти участки напряжения отмечены жирной чертой на рис. 5.2.

Рис. 5.2 — Пространственно-временные диаграммы в пролетном клистроне

104

2.Прибытие групп электронов (iк) в плоскость z = const периодически повторяется во времени с частотой воздействующего сигнала первого зазора.

3.В группировке участвуют около 50 % непрерывного потока электронов.

Получим зависимость угла прибытия в точку z от угла вылета

разложим в ряд по малому параметру ξ1 и ограничимся линейными членами разложения

где θ — статический угол пролёта невозмущенным электроном пространства дрейфа, получим из (5.5а) фазу прибытия электронов во второй резонатор от фазы вылета из 1-го резонатора в виде

В соотношении (5.5) разность фаз ωt2 − ωt1 = θSä называется ди-

намическим углом пролёта пространства дрейфа и с учетом введенных обозначений записывается в виде

Из (5.8) понятен смысл параметра группировки и динамического угла пролёта электронов. Параметр группировки Х — это амплитуда изменения величины угла пролёта, вызванного переменным напряжением на резонаторе. Динамический угол θSä все-

гда равен сумме статического θ и переменного угла пролёта, зависящего от фазы влета ωt1. Выражение (5.5) будет иметь вид

106

5.3 Конвекционный ток в пространстве дрейфа

В пространстве дрейфа электроны группируются. Для определения величины конвекционного тока воспользуемся законом сохранения заряда, который есть следствие предположения, что перемещающийся вдоль линейного электронного потока заряд не может возникать или исчезать, так как электроны не вводятся в

поток и не выводятся из него.

Токи, создаваемые электронным зарядом вначале (индекс 1) и в конце пути (индекс 2 — соответствует средине второго резонатора), определяются изменением заряда во времени

Выражение (5.10) представлено графически на рис. 5.4 для разных Х.

107

Рис. 5.4 — Конвекционный ток в ПКл для разных Х

При X <1 ток изменяется почти по гармоническому закону. Если X =1, знаменатель выражения (5.10) равен нулю при ωt1 = 2πn, где n = 0,1,2.., а ток стремится к бесконечности. При X >1 знаменатель дважды за период обращается в ноль, т.е. имеются два пика тока в интервале от –π до +π, стремящиеся в бесконечность; с ростом X пики тока расходятся во времени и провал между ними возрастает. Ток имеет несинусоидальную форму при Х >1, периодический характер изменения во времени. Если

(рис. 5.5). Уплотнения следуют с частотой модулирующего сигнала; резко не синусоидальная форма тока свидетельствует о богатстве гармониками.

108

Рис. 5.5 — Конвекционный ток в пространстве дрейфа при изменении расстояния z

Примечание: Обозначим: ток с катода — I0 ; коэффициент прозрачности сеток KC = Sî ò â / Sñåò — отношение площади от-

верстий сетки к площади сеточного полотна, тогда величина тока в средине первого резонатора запишется I1 = KC I0 , ток второго

резонатора — I2 = KC3 I0 . Если КС = 1, то сетки не учтены.

В пространстве дрейфа движение электронов идёт по инерции. При значительных плотностях тока существенную роль играют собственные электрические поля групп, приводящие к расталкиванию электронов. В длинных линейных потоках наблюдается два типа разгруппировки: поперечная и продольная. Использованием соленоидов (см. гл. 3) можно поперечную разгруппировку электронов устранить. Продольную разгруппировку устранить невозможно.

Влияние поля пространственного заряда на конвекцион-

ный ток можно учесть введением поправочного коэффициента в параметр группировки Х.

объемная плотность заряда. Преобразуем βp z

г) при 0,8 ≤ b ≤1, параметр X ′ = X с точностью 20 %, а оптимальная длина пространства дрейфа, при которой электронный поток будет сгруппирован максимально, лежит в пределах

5.4 Гармонический состав конвекционного тока

Конвекционный ток во втором резонаторе (5.10) — периодическая функция во времени и пространстве. Следовательно, ее можно разложить в гармонический ряд Фурье. Учитывая, что форма тока (рис. 5.4) является четной функцией, можно ограничиться только четными членами ряда Фурье [2].

где A0, An — коэффициентов ряда Фурье, равные