Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математическое и имитационное моделирование экономических процессов..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.02.2023

Размер:

5.16 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 509 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Для функции полезности

u(x	, x	) a ln x		a ln x
1	2	1	1	2	2

матрица Гессе

равна H

Так как 1

		a
			1
			1
		x	2
		x
		1
		1
		0
		0

0, 2

a1a2

x2 x2

1 2

, то матрица Гессе отрицательно определена.

►

Пример 3.6.

Для функции полезности

u(x , x		) ax		x
			1		2

1	2	1		2

получим

				a ( 1)x													2					x		a					x	1	x		1
		H		a ( 1)x														1				x	2	a					x	1	x			2				.
																		1					2							1				2
						1			1							1						2				1		2	1			2				2
						1			1							1						2				1		2	1			2
					a x								1				x		1					a		(		1)x						x
					a x									1			x			2				a		(		1)x				1		x		2
														1						2												1				2
								1	2			1						2							2		2				1				2
a ( 1)x										2					x					0			,
a ( 1)x											1				x			2		0			,
											1							2
1		a	1		1				1			x			2						(1 ) 0, ( ) 1.
		a	x				2( 1)					x		2(				1)			(1 ) 0, ( ) 1.
		2					2( 1)							2(				1)
									1								2
	2			1	2	1							2											1		2							1				2
Таким образом, при выполнении условия																										(					2	)		1			матрица Гессе отрицательно
																												1			2

определена. ►

3.4.Оптимальный выбор благ потребителем

3.4.1.Модель задачи оптимального выбора

Впредыдущей лекции отмечалось, что предпочтение потребителя на множестве наборов благ выражается целевой функцией u(x) . Поэтому математическая модель выбора благ потребителем имеет следующий вид задачи математического программирования:

u(x) u(x	,..., x		) max
1		n
при условиях:
n
p j x j		M ,

j 1

(3.8)

(3.9)

x	j	0,
	j

1,...,

(3.10)

Задача (3.8) – (3.10) является простейшей моделью, так как здесь допускается, что выбор благ потребителем ограничен только величиной дохода. На самом деле на выбор благ могут оказывать влияние и другие факторы, например недостаточное предложение (дефицитность)

некоторых благ. Так, например, если предложение k -го блага ограничено числом					max
					xk
нужно ввести ограничение	x	x	max	.

	k	k

Таким образом, более сложные модели содержат ряд дополнительных ограничений.

, то

Для n 2	получаем задачу
			u(x	, x		) max
			1		2
при ограничениях
	p x		p x		M ;		x	0,	x	0 .
	1	1	2	2			1		2

Геометрическая интерпретация модели (3.11) – (3.12) дана на рис. 3.2.

(3.11)

(3.12)

Рис. 3.2. Геометрическая интерпретация модели при

На рис. 3.2 прямая АВ соответствует бюджетному ограничению, треугольник OAB – области

доступных наборов, а точка

*	*	*	)
x	(x	, x	)
	1	2

касания кривой безразличия со стороной АВ

треугольника OAB определяет оптимальный набор благ задачи (3.11) – (3.12).

Задача (3.8) –(3.10) является задачей математического программирования и состоит в максимизации строго вогнутой функции при линейном ограничении. Решение такой задачи существует, и оно единственно. Это оптимальное решение называют точкой равновесия задачи оптимального выбора благ потребителем.

Необходимым и достаточным условием для решения задачи (3.8) –(3.10) являются условия

Куна-Таккера для функции Лагранжа

L(x, ) u(x) M p j x j ,

j 1

которые имеют вид

j 1, n;

(3.13)

j x

L M

p j xj 0;

M p j xj 0 .

j 1

В (3.13) частные производные и переменные вычислены в оптимальной точке

(x1* ,..., xn* ; * ) .

Из условий (3.13) следует, что если

	x	*
	x	j
		j

, то

u		*	p	,
			p	,

x			j
x	j
	j

1,..., n

(3.14)

Отсюда следует, что предельные полезности пропорциональны ценам соответствующих благ.

Геометрически свойство (3.13) означает, в точке оптимума вектор
p ( p	,..., p	n	)	бюджетной гиперплоскости (прямой AB на рис. 3.2) и вектор-градиент
1		n

grad u(x)

,...,

функции

полезности

коллинеарны,

т.е.

grad

u(x)

u / x

. Кроме того, из (3.13) следует, что

так как

j 1, n .

Таким

образом, оптимальный множитель

Лагранжа

положительным, а тогда из условия Куна-Таккера

j 1

весь доход используется на приобретение оптимального набора благ, т.е.

n	j		j
	j		j	M
	p	x		M
				.
j 1

должен быть

0	следует, что

(3.14)

Полученное оптимальное решение задачи (3.8) – (3.10) зависит от вектора цен

и дохода

, т.е.

в общем случае решение задачи может быть записано в виде							*
в общем случае решение задачи может быть записано в виде							x	j
								j
*	*	( p, M ) как функций переменных	p	,..., p		и	M
		( p, M ) как функций переменных	p	,..., p	n	и	M
			1		n

*	( p, M ),
x	( p, M ),
j

j 1,..., n

Из приведенных результатов вытекают следующие следствия, имеющие место при оптимальном выборе благ потребителем.

1. Предельные полезности благ пропорциональны их ценам:

	*	)
u(x		)	*	p	,
				p	,

x				j
x	j
	j

1,..., n

2. . Отношение предельных полезностей двух благ равно отношению их цен:

u(x* ) / x	j	p	j
				; j, k 1, n,	j k .

u(x* ) / x		p

k		k

3. Предельная полезность, приходящаяся на денежную единицу, одинакова для всех приобретаемых благ:

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 509 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]