Тема 12. Модели управления запасами

176

Пусть функции A(t) , B(t) и R(t) выражают соответственно пополнение запасов, их расход и спрос на запасаемый продукт за промежуток времени [0,t] . В моделях управления запасами обычно используются производные этих функций по времени a(t) , b(t) , r(t) , называемые соответственно интенсивностями пополнения, расхода и спроса.

Если функции a(t) , b(t) , r(t) — не случайные величины, то модель управления запасами считается детерминированной, если хотя бы одна из них носит случайный характер

—стохастической. Если все параметры модели не меняются во времени, она называется статической, в противном случае — динамической. Статические модели используются, когда принимается разовое решение об уровне запасов на определенный период, а динамические

—в случае принятия последовательных решений об уровнях запаса или корректировке ранее принятых решении с учетом происходящих изменений.

Пример 12.1. Интенсивность поступления деталей на склад готовой продукции цеха составляет в начале смены 5 дет./мин, в течение первого часа линейно возрастает, достигая к концу его 10 дет./мин, и затем остается постоянной. Полагая, что поступление деталей на склад происходит непрерывно в течение всех семи часов смены, а вывоз деталей со склада производится только в конце работы, записать выражение для уровня запаса в произвольный момент времени и, используя его, найти количество деталей на складе: а) через 30 мин после начала работы; б) в конце смены.

Решение. По условию в течение смены не происходит выдачи деталей со склада, т. е. b(t) = 0. Интенсивность пополнения запаса в течение первого часа линейно возрастает, т. е. a(t) vt c. Учитывая, что a(0) =5, получаем c = 5. Так как в конце часа, т. е. при t = 60 a(60) = 10, то 10 = v 60 + 5, откуда v = 1/12. Таким образом, для первого часа смены

Учитывая продолжительность смены (7 ч = 420 мин) и соотношение (12.2), получаем:

12.2. Статическая детерминированная модель без дефицита

Предположение о том, что дефицит не допускается, означает полное удовлетворение спроса на запасаемый продукт, т.е. совпадение функций r(t) и b(t) . Пусть общее потребление запасаемого продукта за рассматриваемый интервал времени равно N .

177

Рассмотрим простейшую модель, в которой предполагаетсяf что расходование запаса происходит непрерывно с постоянной интенсивностью, т.е. b(t) b . Эту интенсивность

можно найти, разделив общее потребление продукта на время, в течение которого он расходуется:

Пополнение заказа происходит партиями одинакового объема, т.е. функция a(t) не является непрерывной: a(t) 0 при всех t , кроме моментов поставки продукта, когда a(t) n , где n — объем партии. Так как интенсивность расхода равна b , то вся партия будет использована за время

Если отсчет времени начать с момента поступления первой партии, то уровень запаса

запаса в зависимости от времени представлен на рис 12.1.

продолжительностью T (см. рис. 12.1).

Задача управления запасами состоит в определении такого объема партии n , при котором суммарные затраты на создание и хранение запаса были бы минимальными.

Пусть затраты на доставку одной партии продукта, не зависимые от объема партии,

Отсюда получаем

линейном (по времени) его расходе равны затратам на хранение среднего запаса.

Учитывая периодичность функции J (t) (всего за промежуток времени будет k N / n

Формула (12.10), называемая формулой Уилсона или формулой наиболее экономичного объема партии,

широко используется в экономике. Эта формула может быть получена и другим способом, если

этом случае, как известно, сумма двух величин принимает наименьшее значение, когда они равны, т.

откуда получаем (12.9).

Из (12.11) следует, что минимум общих затрат задачи управления запасами достигается тогда, когда затраты на создание запаса равны затратам на хранение запаса. При этом минимальные суммарные затраты

Пример 12.2. Потребность сборочного предприятия в деталях некоторого типа составляет 120 000 деталей в год, причем эти детали расходуются в процессе производства равномерно и непрерывно. Детали заказываются раз в год и поставляются партиями одинакового объема, указанного в заказе. Хранение детали на складе стоит 0,35 ден. ед. в сутки, а поставка партии — 10 000 ден. ед. Задержка производства из-за отсутствия деталей недопустима. Определить наиболее экономичный объем партии и интервал между поставками, которые нужно указать в заказе (предполагается, что поставщик не допускает задержки поставок).

Решение. По условию затраты на поставку одной партии составляют c1 = 10 000 ден.

времени = 1 год = 365 дней, а общий объем запаса за этот период N = 120 000

180

Итак, наиболее экономичный объем партии равен 4335 деталей, а интервал между

вычисленного по (12.9). Так, в предыдущей задаче может оказаться удобным заказывать партии по 4 500 или даже по 5 000 деталей и возникает вопрос, как при этом изменятся суммарные затраты.

Формула (12.16) свидетельствует об определенной устойчивости суммарных затрат по отношению к наиболее экономичному объему партии, ибо при малых n относительное изменение затрат примерно на порядок меньше относительного изменения объема партии по сравнению с оптимальным.

Пример 12.3. По условию задачи 12.2 определить, на сколько процентов увеличатся затраты на создание и хранение запаса по сравнению с минимальными затратами при объеме заказываемых партий 5 000 деталей.

Пример 12.4. В условиях задачи 12.3 предположим, что заказываются не все партии сразу, а каждая отдельно, причем срок выполнения заказа равен 16 дней. Определить точки заказа, т. е. при каком уровне запаса следует заказывать следующую партию.

Решение. Так как по результатам решения задачи 12.2 длина интервала между поставками равна 13,2 дней, то заказ в условиях налаженного производства следует возобновить, когда уровень запаса достаточен для удовлетворения потребности на 16 - – 13,2 = 2,8 дня. Так как ежедневная потребность (интенсивность расхода запаса) равна по формуле (12.3) b = 120 000/365 = 329 деталей, то заказы должны делаться регулярно при достижении уровня запаса 329·2,8 = 922 деталей. ►