151
11.3 Потоки событий
Под потоком событий понимается последовательность однородных событий, следующих одно за другим в какие-то случайные моменты времени (например, поток вызовов на телефонной станции, поток отказов ЭВМ, поток покупателей и т.п.).
Поток характеризуется интенсивностью |
— частотой появления событий или средним |
числом событий, поступающих в СМО в единицу времени.
Поток событий называется регулярным, если события следуют одно за другим через определенные равные промежутки времени. Например, поток изделий на конвейере сборочного цеха (с постоянной скоростью движения) является регулярным.
Поток событий называется стационарным, если его вероятностные характеристики не зависят от времени. В частности, интенсивность стационарного потока есть величина
постоянная: |
(t) . Например, поток автомобилей на городском проспекте не является |
стационарным в течение суток, но этот поток можно считать стационарным в течение суток, скажем, в часы пик. Обращаем внимание на то, что в последнем случае фактическое число проходящих автомобилей в единицу времени (например, в каждую минуту) может заметно отличаться друг от друга, но среднее их число будет постоянно и не будет зависеть от времени.
Поток событий называется потоком без последействия, если для любых двух
непересекающихся участков времени продолжительностью |
1 |
и |
2 |
– число событий, |
попадающих на один из них, не зависит от числа событий, попадающих на другие. Например, поток пассажиров, входящих в метро, практически не имеет последействия. А, скажем, поток покупателей, отходящих с покупками от прилавка, уже имеет последействие (хотя бы потому, что интервал времени между отдельными покупателями не может быть меньше, чем минимальное время обслуживания каждого из них).
Поток событий называется |
ординарным, если вероятность попадания на малый |
|
(элементарный) участок времени |
t |
двух и более событий пренебрежимо мала по сравнению с |
|
||
вероятностью попадания одного события. Другими словами, поток событий ординарен, если события появляются в нем поодиночке, а не группами. Например, поток поездов, подходящих к станции, ординарен, а поток вагонов не ординарен.
Поток событий называется простейшим (или стационарным пуассоновским), если он одновременно стационарен, ординарен и не имеет последействия. Название "простейший" объясняется тем, что СМО с простейшими потоками имеет наиболее простое математическое описание. Заметим, что регулярный поток не является "простейшим", так как он обладает последействием: моменты появления событий в таком потоке жестко зафиксированы.
Простейший поток в качестве предельного возникает в теории случайных процессов столь же естественно, как в теории вероятностей нормальное распределение получается в качестве
предельного для |
суммы |
случайных величин: при наложении (суперпозиции) достаточно |
|
большого числа |
n |
независимых, стационарных и ординарных потоков (сравнимых между собой |
|
|
|||
по интенсивностям i |
(i 1,2,...,n ) получается поток, близкий к простейшему с |
||
интенсивностью , равной сумме интенсивностей входящих потоков, т.е.
n
i
i 1 .
Распределение интервала времени между двумя соседними событиями имеет вид
F(t) P(T t) 1 e |
t |
|
|
. |
(11.1) |
||
|
|||
Плотность вероятности случайной величины есть производная ее функции распределения |
|||
(рис. 11.2), т.е. |
|
|
|
(t) F (t) e t |
|
(11.2) |
|
. |
|
||
152
Распределение, задаваемое плотностью вероятности (11.2) или функцией распределения (11.1), наз показательным (или экспоненциальным). Таким образом, интервал времени между двумя соседними произвольными событиями имеет показательное распределение, для которого математическое ожидание равно дисперсии случайной величины
|
a |
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(11.3) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
и обратно пропорционально по величине интенсивности потока |
. |
|
||||||||||
|
|
|||||||||||
Важнейшее свойство показательного распределения (присущее только показательному |
||||||||||||
распределению) состоит в |
следующем: |
если |
промежуток времени, распределенный по |
|||||||||
показательному закону, уже длился некоторое время |
|
, то это никак не влияет на |
закон |
|||||||||
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
распределения оставшейся |
части промежутка ( |
– |
): он будет таким же, как и |
закон |
||||||||
|
||||||||||||
распределения всего промежутка T .
Рис. 11.2
Другими словами, для интервала времени T между двумя последовательными соседними событиями потока, имеющего показательное распределение, любые сведения о том, сколько времени протекал этот интервал, не влияют на закон распределения оставшейся части. Это свойство показательного закона представляет собой, в сущности, другую формулировку для "отсутствия последействия" – основного свойства простейшего потока.
Для простейшего потока с интенсивностью вероятность попадания на элементарный
отрезок времени t хотя бы одного события потока равна согласно (11.1) |
|
|
P |
P(T t) 1 e t t . |
(11.4) |
t |
|
|
154
p0 (t t) p1(t) 10 t p2 (t) 20 t p0 (t)[1 ( 01 02 ) t], |
|
|
|||||||
откуда |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
p0 (t t) p0 (t) |
p1(t) 01 p2 (t) 20 ( 01 02 ) p0 |
(t) . |
|
|
||||
|
t |
|
|
|
|
||||
|
t 0 |
|
|
|
|
||||
Переходя к пределу при |
(приближенные равенства, связанные с применением |
||||||||
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
p |
(t) |
|
формулы (2.4), перейдут в точные), получим в левой части уравнения производную |
0 |
|
|||||||
|
|
||||||||
(обозначим ее для простоты |
|
): |
|
|
|
|
|
||
p0 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
10 p1 20 p2 ( 01 02 ) p0 . |
|
|
|
|||
|
|
p0 |
|
|
|
||||
Получили дифференциальное уравнение первого порядка, т.е. уравнение, содержащее как саму неизвестную функцию, так и ее производную первого порядка.
Рассуждая аналогично для других состояний системы S , можно получить систему дифференциальных уравнений Колмогорова для вероятностей состояний:
|
|
10 p1 20 p2 ( 01 02 ) p0 , |
|
p0 |
|
||
|
|
01 p0 31 p3 ( 10 13 ) p1, |
|
|
|
||
p1 |
(11.6) |
||
|
|
02 p0 32 p3 ( 20 23 ) p2 , |
|
|
|
||
p2 |
|
||
|
|
13 p1 23 p2 ( 31 32 ) p3. |
|
p3 |
|
||
Сформулируем правило составления уравнений Колмогорова. В левой части каждого из
них стоит производная вероятности |
i |
– го состояния. В правой части — сумма произведений |
|
вероятностей всех состояний (из которых идут стрелки в данное состояние) на интенсивности соответствующих потоков событий, минус суммарная интенсивность всех потоков,
выводящих |
систему из данного состояния, умноженная на вероятность данного ( |
i |
– го |
|
|||
состояния). |
|
|
|
В системе (11.6) независимых уравнений на единицу меньше общего числа уравнений. Поэтому для решения системы необходимо добавить уравнение (11.5).
Особенность решения дифференциальных уравнений вообще состоит в том, что требуется
задать так называемые начальные |
условия, т.е. в данном случае вероятности состояний |
||
системы в начальный момент |
t |
0 |
. Так, например, систему уравнений (2.9) естественно |
|
|
||
решать при условии, что в начальный момент оба узла исправны и система находилась в
|
S |
0 |
|
p (0) 1 |
|
p (0) p |
(0) p |
(0) 0 |
|
|
состоянии |
|
, т.е. при начальных условиях |
0 |
, |
1 |
2 |
3 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Уравнения Колмогорова дают возможность найти все вероятности состояний как функции
времени. Особый интерес представляют вероятности системы pi (t) в предельном стационарном
режиме, т.е. при t , которые называются предельными (или финальными) вероятностями состояний.
Втеории случайных процессов доказывается, что если число состояний системы конечно
ииз каждого из них можно (за конечное число шагов) перейти в любое другое состояние, то предельные вероятности существуют.
|
S |
|
Предельная вероятность состояния |
i |
имеет четкий смысл: она показывает среднее |
|
относительное время пребывания системы в этом состоянии. Например, если предельная вероятность состояния S0 равна 0.5, т.е. p0 0.5 то это означает, что в среднем половину времени система находится в состоянии S0 .