Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математическое и имитационное моделирование экономических процессов..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.02.2023

Размер:

5.16 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2122 / 5022 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 > Следующая >>>

	82
Если R –	годовая сумма, то отдельный платеж равен		R / p . Поскольку в год поступает	p
платежей, то	интервал между платежами будет	равен	1/ p лет. Первый платеж поступит	в

момент времени 1/ p . Процесс формирования платежей с процентами изображен на диаграмме (рис.2.3).

Используя формулу (5.22) для наращенной суммы получим

где	( p
где	s
	n,i

равный

Для

1/ p

)

R ((1 i)

R s

( p)

1/ p

n,i

(1 i)

)

– коэффициент наращения

-срочной ренты с начислением процентов один раз в год,

( p)

(1 i)

(5.26а)

n,i

1/ p

– срочной ренты пренумерандо имеем

( p)

1/ p

(1 i)

1/ p

( p)

(5.26б)

sn,i

(1 i)

1/ p

n,i

(1 i)

5.3.4.Наращенная сумма p – срочной ренты при начислении процентов m раз в год

Параметры такой ренты:

платежей в год и

раз в год начисление процентов по

номинальной ставке

. Рента с такими условиями называется общей.

Принцип получения формулы для наращенной суммы аналогичен вышеприведенным случаям. В результате получим для коэффициента наращения

			(1			j	)	mn		1
								mn
	( p)				m
s	( p)				m
s	n, j / m								m
	n, j / m
							j
		p		(1			j	)	p
		p		(1				)		1
						m

Тогда формула для наращенной суммы примет вид

(5.27а)

		S Rs	( p)	.
		S Rs		.
		n, j / m
Для	p	– срочной ренты пренумерандо с начислением процентов m раз в год

коэффициент наращения равен

	j		m
( p)
( p)		) p
sn, j / m (1
sn, j / m (1
	m

(1		j		)mn			1
(1	m			)mn			1	(1
	m

						m
p (1				j	) p		1
p (1					) p		1
			m

j		m

	) p s( p)			.	(5.27б)
	) p s( p)			.	(5.27б)
m			n, j / m
m

5.4.Современная величина потока платежей

5.4.1.Современная величина годовой ренты

Современная величина ренты является важнейшей характеристикой потока платежей, которая определяет стоимость будущего денежного потока на настоящий

момент времени. Эта характеристика служит основой для многих методов финансового анализа. По определению, современная величина - это сумма всех дисконтированных членов потока платежей на начальный или предшествующий ему момент времени. Иногда вместо термина современная величина используют термины приведенная или капитализированная сумма платежей. При определении современной величины потока платежей важно правильно установить период времени от начала потока (момента времени, на который производится оценка) до момента поступления платежа (в годах). После этого можно применять формулы дисконтирования. Обозначим v – множитель

дисконтирования,

	v	1
	v	i
	1	i

, где

– годовая ставка.

Рис 5.4 Диаграмма на рис.5.4 иллюстрирует процесс формирования потока дисконтированных

платежей на начало срока ренты. Показатели степеней – периоды времени	в годах от
начала ренты до момента поступления платежа.
Чтобы получить современную величину потока, просуммируем	все члены

получившегося ряда. Используя формулу (5.22) для суммы ряда геометрической прогрессии, получим, что современная величина ренты (обозначим ее символом A) равна

	Rv(v	n	1)		1 v	n
A				R
	v 1				i

	1 (1 i)	n
R
	i

(5.28)

Величина

a	1 (1 i) n	(5.29а)

n,i	i

называется коэффициентом приведения годовой ренты.

С учетом этого выражение для современной величины примет вид

A Ran,i .

Если платежи поступают в начале периода, то коэффициент приведения ренты равен

	1 (1 i)	n
an,i (1 i)
	i

i) an,i

(5.29б)

В случае простых процентов для ренты постнумерандо мы должны просуммировать поток

R		R			R	n		1
				...		R
1 i		2	i		n i			i	k
	1			1		k 1	1

или

A R an,i ,

где

n				1
an,i				1
an,i	1		i k
k 1	1		i k
k 1
— коэффициентом приведения годовой ренты по ставке простых процентов.
Для ренты пренумерандо коэффициент приведения равен
n1				1
an,i				1	.
an,i		1		i	.
k 0		1		i	k
k 0

5.4.2. Современная величина годовой ренты с начислением процентов m раз в год

В полученную формулу для современной величины годовой ренты

(5.30а)

(5.30б)

вместо

множителя дисконтирования (1 i) 1 подставим

множитель

j	)	m
m	)
m

. Получим

	1 (1 j / m)		mn
A R
	(1 j / m)	m	1

Обозначим

	1 (1 j / m)		mn
a

n, j / m	(1 j / m)	m	1

(5.31а)

тогда

Ran,

Выражение коэффициента приведения ренты пренумерандо имеет вид

	m	1 (1 j / m)		mn
an, j / m (1 j / m)

		(1 j / m)	m	1

j / m)	m

an,

j / m

(5.31б)

5.4.3. Современная величина p – срочной ренты ( m = 1)
Интервал между платежами у такой ренты равен 1/ p , размер платежа	R / p . Порядок

формирования дисконтированных платежей показан на рис. 5.5.
Имеем геометрическую прогрессию с количеством членов, равным	np , первый член

прогрессии равен

1/ p

. Используя формулу (5.22) для

знаменатель прогрессии – v

суммы членов геометрической прогрессии, получим

np 1)

R v

R (vn 1)

1 (1 i) n

1/ p

v p 1

)

p (1

v1/ p

					Рис 5.5
Величина
	( p)		1 (1 i)			n
a			1 (1 i)						(5.32а)

	n,i				1/ p
	n,i	p		(1

					i)		1

называется коэффициентом приведения p – срочной ренты.
Тогда формула для расчета современной величины								p	– срочной ренты будет иметь вид
							( p)
					A Ra
							n,i .

Для ренты пренумерандо процесс дисконтирования платежей показан на рис. 2.7. Коэффициент приведения определяется формулой:

( p)	1/ p	1 (1 i)			n		1/ p	( p)
( p)	1/ p	1 (1 i)					1/ p	( p)
an,i	(1 i)						(1 i)	a
	p		(1	1/ p				n,i
	p		(1	i)		1

(5.32б)

5.4.4. Современная величина p – срочной ренты при начислении процентов m раз в год

В данном случае коэффициент дисконтирования

		1
		j / m
	1	j / m

. Далее первый

дисконтированный платеж равен Rp vm / p , второй дисконтированный платеж равен

R	v	2m / p	, предпоследний

p

последний платёж равен

дисконтированный платёж равен

R	v	mn	. Напомним, что показатель

p

R		(np 1	m
		p
	v		и, наконец,

p

степени у множителя

дисконтирования – это интервал времени (измеряемый в годах) от начала ренты до момента поступления платежа с учетом m – разового в год начисления процентов. Имеем геометрическую прогрессию с количеством членов np , первым членом

Rp vm / p

и знаменателем прогрессии v		m / p	. Сумма членов этой прогрессии равна

A	R vm / p (vmn 1)			R	1 (1 j / m) mn
						.
	p vm / p 1
				p	(1 j / m)m / p 1

<<< < Предыдущая 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2122 / 5022 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

5.4.Современная величина потока платежей

5.4.1.Современная величина годовой ренты

5.4.2. Современная величина годовой ренты с начислением процентов m раз в год

5.4.3. Современная величина p – срочной ренты ( m = 1)

5.4.4. Современная величина p – срочной ренты при начислении процентов m раз в год