3.5. Взаимная задача к задаче оптимального выбора благ потребителем

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математическое и имитационное моделирование экономических процессов..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.02.2023

Размер:

5.16 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 5010 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

	41
u(x* ) / xj	u(x* ) / x
u(x* ) / xj	u(x* ) / x
	k ; j, k 1, n,	j k .
	k ; j, k 1, n,	j k .
p j	pk

4. Равные предельные полезности, приходящиеся на денежную единицу, равны

множителю		*	- предельной полезности

расходует для приобретения благ:

денежной единицы, которую потребитель

) / x

u(x

j 1,..., n .

5.Норма замещения:

1,..., n,

;

j, k

j .

6.В оптимальной точке имеет равенство:

)

u(x

(3.15)

Действительно, из соотношения

n
p j x j	M
j 1

следует равенство

1. Используя правило дифференцирования сложной функции и следствие

j 1

1, получим

u(x

) dx

u(x

)

j 1

Таким

образом,

величина

множителя

Лагранжа

означает дополнительную

полезность, приходящуюся на дополнительную единицу дохода, т.е. предельную полезность денежной единицы дохода потребителя.

j 1,..., n;

Мы нашли решение задачи об оптимальном выборе благ в виде

x*j x*j ( p, M ),

j 1,..., n .

Если подставить эти значения в функцию полезности, то получим

u* u* ( p, M ) ,

т.е. максимальная полезность зависит в конечном счете от цен на блага и дохода потребителя. Рассмотрим теперь так называемую взаимную задачу. Зафиксируем значение функции

полезности на уровне u0 и рассмотрим те блага x , для которых u(x) u0 , т.е. те блага,

которые дают потребителю один и тот же уровень удовлетворения

u	0

. Очевидно, что при

заданном векторе цен на блага

p ( p	,..., p	n	)
1		n

стоимости

j 1

p	j	x	j

таких благ

различны. Поставим взаимную задачу: какой набор благ, обеспечивающий данный уровень удовлетворения потребностей, самый дешевый. Математически такая взаимная задача формулируется так: найти минимум функции

	n
	M p j x j										(3.16)
	j 1
при условии
u(x	,..., x ) u	0	; x	j	0,	j 1, n					(3.17)
1	n	0		j
Геометрически для n 2 задачу (3.16) – (3.17) можно сформулировать следующим
образом: для данной кривой		безразличия				с уравнением	u(x	, x	) u	0	среди
							1	2		0

параллельных бюджетных линий найти ту, которая ее касается. Точка касания и будет оптимальным решением (рис. 3.3).

Рис. 3.3 Геометрическая интерпретация модели (3.16) – (3.17)

Задачу (3.16) – (3.17) решим методом множителей Лагранжа. Запишем функцию Лагранжа

L(x1,..., xn ) p j x j u0 u(x1,..., xn ) .

j 1

Необходимые условия экстремума имеют вид

L u0 u(x1,..., xn ) 0,

которые перепишем в форме

u		1	p	,	j 1,..., n;
			p	,	j 1,..., n;
x			j
x	j
	j

u(x	,..., x	n	)
1		n

u	0

(3.18)

Решение системы (3.18) определяет оптимальный набор благ

*		*	( p,u	) ,
x	j	x
		j	0

*	*	) , где
(x	,..., x	) , где
1	n

(3.19)

и множитель * . Минимальные затраты

		n
M	*	*
M		p j x j
		j1

будут зависеть от величины

u	0	и вектора цен	p . Меняя уровень потребления
	0

называется функцией затрат потребителя.

Выясним смысл множителя Лагранжа * . функции затрат

u	0	, получим
	0

Рассмотрим

M	*	C
	*

полный

(u	0	) , которая
	0

дифференциал

dM p j dx j .

j 1

Так как в точке минимума x* (x1* ,..., xn* ) справедливы равенства

j 1,..., n, то получаем

* u

du .

j 1

Из (3.20) следует, что в оптимальной точке *

, т.е. множитель Лагранжа

показывает, какие дополнительные затраты необходимо сделать, чтобы уровень удовлетворения (полезность) увеличить на единицу.

(3.20)

Выше было показано (см. (3.15))), что

	u(x	*	)
*	u(x		)


	M

, т.е. множитель

показывает, какую дополнительную полезность мы получим на дополнительную единицу

расходуемого дохода. Значит, по смыслу множители

взаимообратны. Установим,

как связаны оптимальные решения взаимной задачи и задачи оптимального выбора благ потребителем. Пусть u0 равно максимальному значению функции полезности u* ,

полученному при решении задачи оптимального выбора благ потребителем. Тогда взаимная задача (3.16) – (3.17) примет следующий вид:

найти

	n
min M p j xj
	j 1

при ограничениях

(3.21)

u(x ,..., x ) u*; x		j	0,	j	1, n	.	(3.22)
1	n	j

Её решение задает минимальный уровень затрат	M M	*	, обеспечивающий

максимальную полезность. Из геометрических соображений следует, что в этом случае

оптимальные решения взаимной и исходной задач совпадут. Для n 2 имеем одну и ту же точку касания бюджетной прямой и кривой безразличия, при этом во взаимной задаче задается кривая безразличия с максимальным уровнем удовлетворения потребностей и нужно найти к ней бюджетную прямую среди всевозможных параллельных между собой бюджетных прямых, а в задаче оптимального выбора благ потребителем задается

бюджетная прямая уравнением

p x		p x		M
1	1	2	2

и нужно среди всевозможных кривых

безразличия найти ту, которая касается данной бюджетной прямой.

В этом случае, как легко видеть, что

	*		1

			*

, а также

M	*

, где

–

заданный доход потребителя в задаче оптимального выбора благ потребителем (рис. 3.4).

Рис. 3.4 Геометрическая интерпретация модели (3.21) – (3.22)

Пример 3.7. Для мультипликативной функции полезности потребителя

u(x x	) ax		x		; 0 1,	i 1, 2; a 0
		1		2

1 2	1		2		i

найти решение:

а) задачи оптимального выбора благ потребителя; б) взаимной задачи.

Решение.

а) Задача оптимального выбора благ потребителя имеет вид

u(x1 x2 )

при ограничениях

p x		p x
1	1	2	2

ax1 1 x2 2 max

M ; xi 0, i 1, 2

Система уравнений (3.13) – (3.14) примет вид
a x 1 1x 2			p , a	2	x 1 x 2 1		p ,
1	1	2	1	2	1	2	2	(3.23)
p1x1 p2 x2 M .								(3.23)
p1x1 p2 x2 M .

Решая систему (3.23), получим

																			45
							*			1M													*						2 M
						x1														, x2													,
						x1			( 1											, x2													,
									( 1			2 ) p1															( 1 2 ) p2
													1
													1													1					2
						a																				1					2
					*											1		2				1							2		M	(1			)	.
											2																				M	1		2		.
								1			2																					1		2
																					p							p
																						1						2
Тогда полезность равна

								1															2
								1															2
u	*	a		1											2									M					2
				1											2												1		2	,
			(			) p				(							) p													,
			(			) p				(							) p
			1		2	1				1						2			2
а множитель Лагранжа равен
														*													u	.
																			1						2		u	.
																			1						2		*
																					M

б) Взаимная задача: найти

(3.24)

														min M p x p x
																												1	1								2				2
при условиях
											ax					x						u ,						x	0,								x							0 .
											ax			1		x					2	u ,						x	0,								x							0 .
														1							2
													1						2							0		1												2
Функция Лагранжа этой задачи																											ax																					.
									L p x											p x																		x							u
									L p x											p x																1		x					2		u
																																				1							2
														1		1								2		2								1						2							0
Запишем условия экстремума
													L							p a x												1						x							0,
																				p a x														1				x					2		0,
																																		1									2
													x											1					1		1									2
													x
															1
													L							p						a					x						x			1						0,
																				p						a					x				1		x					2				0,
																																			1							2
													x												2					2			1						2
													x
																2
													ax							x					u .
													ax					1		x			2		u .
																		1					2
															1						2						0
Теперь решаем систему (3.25). В результате получим
					1										2																			1
		u			1		p								2												u							1										p						1
		u			1	2	p																				u						1					2						p
																			2																																2
x	*			0				1			2			1					2	,			x		*			0																	1		2		1		2
x																				,			x																												.

1			a							p														2				a																		p
			a						2	p																		a																		p
									2		1																																			2	1
Минимальные затраты и множитель Лагранжа равны
																				1								1 p2										2											1 p2
												u0												p												1 2
M * p x* p x*												u0					1 2																			1 2									p
M * p x* p x*																	1 2																												p
				1 1			2 2																			1																					2
											a																2 p1																					2 p1
											a																2 p1																					2 p1

(3.25)

(3.26)

		1
		1 2
		1 2
				. (3.27)

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 5010 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]