Информатика I

41

равно 255 (28-1). Для хранения больших чисел требуется соответственно больше памяти (табл. 2.3).

Таблица 2.2 – Пример записи десятичных чисел

2.2.2 Целые числа со знаком

Как мы уже отметили ранее, множество целых чисел не ограничивается только натуральными числами. Бывают не только положительные, но и отрицательные числа. Для того чтобы их можно было различать, один разряд двоичной записи используется для хранения знака. Обычно это старший разряд (крайний слева). Цифра 1 в этом разряде говорит о том, что число отрицательное. Если же там хранится нуль, то число, соответственно, положительное.

Для записи отрицательных чисел в память компьютера используется дополнительный код. Он получается прибавлением единицы к обратному коду. До этого мы получали прямой код числа. Чтобы получить из него обратный код, необходимо инвертировать значения в разрядах.

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·

Числа, представленные в дополнительном коде, обладают свойством аддитивной инверсии. Это означает, что если сложить числа в прямом и дополнительном коде, то получим нуль. Можно использовать это свойство для проверки правильности перевода записи числа в дополнительный код. Давайте сложим начальное значение и его дополнительный код из примера, что был рассмотрен выше.

+0000 0011

1111 1101

0000 0000

Как видим, результат сложения равен нулю. Следовательно, перевод выполнен правильно.

С технической точки зрения это свойство также полезно, поскольку позволяет операцию вычитания заменить сложением:

A – B = A + (–B)

Таким образом, можно сложение и вычитание выполнять с помощью одной электронной схемы.

2.2.3 Перевод десятичных чисел со знаком в двоичную систему счисления

Алгоритм перевода довольно прост.

Шаг 1. Абсолютное значение переводим в двоичную форму.

Шаг 2. Проверяем знак. Если число положительное, то оставляем двоичный код без изменения. Если – отрицательное, то полученное двоичное число записываем в дополнительном коде.

43

форму.

67 1

33 1

16 0

8 0

4 0

2 0

1 1

Получили 6710 = 0100 00112. Обратите внимание на нуль впереди. По умолчанию было принято, что исходное число будет занимать в памяти 1 байт (8 бит). Если полученное двоичное число будет иметь разрядов меньше, чем требуется, следует слева дописать нули.

Так как изначально число было отрицательным, преобразуем двоичное число к дополнительному коду.

Начальное значение: 0100 0011

Дополнительный код: 1011 1101

Получаем -6710 в двоичной системе счисления, что записывается следующим образом: 101111012.

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·

2.2.4 Перевод двоичных чисел со знаком в десятичную систему счисления

Как уже было сказано выше, в старшем бите хранится знак числа. Поэтому последовательность действий будет зависеть от того, какой символ находится в старшем разряде двоичного числа.

1.Старший разряд равен 1. В этом случае мы имеем дело с отрицательным числом. Оно записывается в дополнительном коде. Поэтому алгоритм будет выглядеть следующим образом.

45

128 0

64 0

32 0

16 0

8 0

4 0

2 0

1 1

Получили, что 12810 в двоичном виде выглядит следующим образом: 100000002. Перевод выполнен правильно. Однако, обратите внимание на старший разряд. В нем стоит единица. Это означает, что двоично число – отрицательное. Как же так получилось? Дело в том, что «забрав» один бит под знак, на само число мы оставили 7 бит. Следовательно, максимальное количество положительных чисел, которое мы можем закодировать в двоичной форме, сократилось до 127 (27-1). Если учесть нуль и 128 отрицательных чисел, то получим те же 256 десятичных чисел, что в двоичной нотации будут занимать 1 байт. В таблице 2.4 приведены диапазоны допустимых значений для двоичных чисел со знаком.

Таблица 2.4 – Диапазон допустимых значений

2.2.6 Сложение двоичных целых чисел

Мы уже использовали операцию сложения, когда переходили от обратного кода к дополнительному. В данном пункте уделим этой операции немного больше времени.

Операция сложения двоичных чисел выполняется поразрядно от младшего бита к старшему. В принципе, в этом нет ничего нового. Этот принцип мы

46

используем, когда складываем большие десятичные числа столбиком. Но в отличие от десятичной таблица сложения в двоичной системе счисления состоит всего из четырех строк.

0 + 0 = 0

0 + 1 = 1

1 + 0 = 1

1 + 1 ==10

В последней строке в результате сложения двух цифр получили число. В этом случае, как и в десятичной системе счисления, единица переносится в старший разряд. Проиллюстрируем это на примере.

Сложение начали проводить с младших разрядов. В результате сложения нулей получили нуль и записали его в нулевой бит результата. Затем перешли к первому биту и т. д. В третьем разряде обоих слагаемых стоят единицы, поэтому как результат сложения записываем – нуль и единицу переносим в старший (четвертый) разряд.

Чтобы проверить правильность выполненной операции, справа записаны десятичные эквиваленты слагаемых и суммы.

2.3 Кодирование вещественных чисел

Способ хранения вещественных чисел в памяти компьютера определяет специальный стандарт IEEE 754–2008. Он был разработан ассоциацией IEEE (Institute of Electrical and Electronics Engineers) и используется наиболее часто многими микропроцессорными и логическими устройствами. В этом документе описано, каким образом представлять:

нормализованные1 положительные и отрицательные числа с плавающей точкой;

денормализованные1 положительные и отрицательные числа с плавающей точкой;

1Нормализованными называют вещественные числа, записанные в формате с плавающей запятой, у которых мантисса лежит в диапазоне [1, 10). Например, 2,23 10-2, 1,92 104.

48

Здесь:

S – бит знака. Если число положительное, то S 0 . В противном случае

S 1.

E – смещенный порядок двоичного числа. Размер зависит от точности: b 8 при одинарной точности и b 11 – при двойной точности.

M – остаток мантиссы двоичного нормализованного числа (23 и 52 бита соответственно при одинарной и двойной точности).

2.3.1 Преобразование десятичного числа в двоичное число с плавающей точкой

Шаг 1. Переводим вещественное число в двоичный формат. При этом целая и вещественные части переводятся по отдельности.

Шаг 2. Записываем число в нормализованной форме. Для этого переносим точку влево до последнего символа. Таким образом, мантисса нормализованного числа будет находиться в промежутке [1, 2).

Шаг 3. Так как мантисса нормализованного числа всегда будет в целой части равна единице, то хранить её смысла нет. Отбрасываем целую часть, и остаток дополняем нулями или обрезаем до m бит. Число m зависит от точности. Для чисел с одинарной точностью m 23 бита, при двойной – 52 бита.

Шаг 4. К порядку добавляем число 2b-1 - 1 (127 – при одинарной точности и 1023 – при двойной).

Шаг 5. Записываем бит знака (0 – положительное число, 1 – отрицательное), смещенный порядок и мантиссу.

Запишем число 234.70312510 в форме двоичного числа с плавающей запя-

той.

Переводим в двоичную форму сначала целую часть (делением на 2), а затем дробную (умножением на 2).

49

Получили 23410 111010102 и 0.70312510 0.1011012. Складываем два двоичных числа 234.70312510 1110 1010.1011012.

Переносим точку на семь символов влево и записываем нормализованное двоичное число в формате с плавающей запятой.

1110 1010.101101=1.1101 01010 1101 10+111.

Добавляем смещение +127 (0111 1111) к порядку

111+0111 1111=1000 0110.

У мантиссы убираем целую часть и добавляем десять нулей справа

110 1010 1011 0100 0000 0000.

Теперь можно записать результат. Сначала пишем нуль, так как число положительное. Затем записываем 8 бит порядка и 23 бита мантиссы.

0100 0011 0110 1010 1011 0100 0000 0000.

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·

2.3.2 Преобразование числа формата IEEE 754 в десятичное число

В случае нахождения десятичных чисел из формата одинарной (32 бита) точности IEEE 754, формула будет выглядеть следующим образом:

Дано нормализованное двоичное число с плавающей точкой в формате одинарной точности. Преобразовать его в десятичное число.

1100 0000 0110 1101 0101 0110 1000 000.

Сначала выделяем знак S (31 бит), смещенный порядок E (30–23 биты) и остаток от мантиссы M (22–0 биты).