Информатика I

31

2.1.1 Перевод чисел из системы счисления с основанием q в десятичную систему счисления

Перевести числа в десятичную систему счисления очень просто. Делается это с помощью формулы (2.1). То есть каждая цифра умножается на основание системы счисления q, которое возведено в степень, равную разряду, в котором находится эта цифра. Затем все произведения складываются. Разберем пример.

Пусть требуется перевести число 10112 в десятичную систему счисления. Это число записано в двоичной системе счисления, об этом говорит нижний правый индекс, следовательно, q=2. Проставим над каждой цифрой соответствующий ей разряд1.

3 2 1 0

10112

Первую слева направо цифру умножаем на основание системы счисления в кубе (1 23 = 8). Вторую – на основание в квадрате (0 23 = 0), третью – на основание в первой степени (1 21 = 2) и последнюю – на основание в нулевой степени (1 20 = 1)2. То, что получилось, складываем:

3 2 1 0

10112 1 23 0 22 1 21 1 20 8 0 2 1 1110

Получили, что двоичное число 10112 соответствует десятичному числу 1110 (правильность решения можно проверить по табл. 2.1).

Приведем еще несколько примеров.

128 0 32 16 0 4 2 0 18210

2.Перевести число 12316 в десятичную систему счисления.

1Это можно сделать мысленно, но, если Вы боитесь ошибиться, смело пишите сверху цифры.

2Любое число, возведенное в нулевую степень, равняется единице (кроме самого ну-

ля).

32

2 1 0

12316 1 162 2 161 3 160 256 32 3 29110

3. Перевести число 1237 в десятичную систему счисления.

2 1 0

1237 1 72 2 71 3 70 49 14 3 6610

4. Перевести число 1A1D16 в десятичную систему счисления.

3 2 1 0

1A1D16 1 163 A 162 1 161 D 160 1 4096 10 256 1 16 13 1 668510

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·

Очень часто при решении таких задач студенты совершают

следующую ошибку. Заменяют шестнадцатеричные цифры (в данном случае A и D) десятичным эквивалентом, а затем нумеруют разряды. Это неправильно! Сначала следует записать сумму, а уже затем производить замену.

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·

2.2.2 Перевод целых чисел из десятичной системы счисления в любую другую систему счисления с основанием q

Существует простой способ перевода чисел из десятичной системы счисления в другие системы счисления с основанием q. Этот метод основан на делении с остатком. Ниже приведен алгоритм перевода.

Шаг 1. Разделите число на основание новой системы счисления q. Остаток от деления запомните.

Шаг 2. Сравнить частное от деления с основанием новой системы счисления q.

Шаг 3. Если частное от деления больше q, делим его на q. Остаток от деления запоминаем. Переходим ко второму шагу.

Шаг 4. Если частное от деления меньше q, записываем последнее частное

ивсе остатки от деления, начиная с последнего.

33

Проиллюстрируем, как работает данный алгоритм на примере. Пусть требуется перевести число 1310 в двоичную систему счисления (q 2) (рис. 2.3, а).

Делим число тринадцать на два. Получаем шесть и один в остатке. Остаток запомним.

Частное больше двух, следовательно, делим его на два. Получаем три и ноль в остатке. Ноль запоминаем.

Получили, что новое частное больше двух, поэтому делим его на два. Получим один и один в остатке.

Рис. 2.3 – Перевод числа 13 в двоичную систему счисления

Частное меньше двух. Теперь можно записать результат. Сначала записываем результат последнего деления – единицу (1). Справа от нее ставим значение остатка от последнего деления – единицу (11). Теперь справа добавим остаток от второго (предпоследнего) деления – нуль (110). И в завершение добавляем остаток от первого деления – единицу (1101).

Получили, что число 1310 в двоичной системе счисления записывается следующим образом – 11012. Проверка:

3 2 1 0

11012 1 23 1 22 0 21 1 20 8 4 0 1 1310

Число переведено правильно.

На рисунке 2.3, а показана традиционная запись деления – уголком. Такая форма записи не совсем удобна, особенно в тех случаях, когда требуется оформить решение задачи на компьютере, например, в MS Word. Поэтому мы предлагаем вторую запись процедуры перевода числа, показанную на рисунке 2.3, б. Такая форма более компактная и понятная.

В левой части записываем исходное число. Затем делим его на два. Ниже записываем частное от деления, а справа остаток. Теперь делим частное и помещаем остаток в правой колонке, а новое частное ниже предыдущего и т. д. Самый последний результат деления тот, что меньше основания q 2 , копируем в правый столбик. Результат перевода записан в правой колонке снизувверх.

34

Приведем несколько примеров.

1. Перевести число 2010 в шестнадцатеричную систему счисления. Основание шестнадцатеричной системы счисления равно 16, поэтому де-

лить следует на это число.

Ответ: 2010 1416 .

2. Перевести число 21810 в шестнадцатеричную и двоичную системы

Ответ: 21810 DA16 110110102 .

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·

Число 21810 занимает три разряда. Для записи этого же числа

в двоичной системе счисления требуется 8 разрядов, а в шестнадцатеричной – 2 разряда. То есть чем меньше основание системы счисления, тем больше требуется разрядов для записи числа.

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·

Ответ: 127110=100111101112=4F716.

4. Перевести число 12710 в семеричную систему счисления. Основание семеричной системы счисления равно семи. Следовательно, необходимо делить на семь.

127 1

18 4

2 2

Ответ: 12710=2417.

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·

2.2.3 Перевод дробных чисел из десятичной системы счисления в любую другую систему счисления с основанием q

В отличие от целых чисел, алгоритм перевода дробных чисел основан на операции умножения.

Шаг 1. Умножьте число на основание новой системы счисления q.

Шаг 2. В полученном числе, целую и дробную части запишите отдельно.

Шаг 3. Если дробная часть отлична от нуля (или не достигнута заданная точность), то вернитесь к первому шагу.

Шаг 4. Если дробная часть равна нулю (или требуемая точность получена), то запишите все полученные значения в целой части, начиная с первого.

Рассмотрим, как работает этот алгоритм на примере. Дано число 0,812510.

Необходимо записать его в двоичной системе счисления (q 2) .

Сначала умножаем 0,8125 на два и получаем 1,625 (рис. 2.4). Цифру один, которая получилась в целой части запоминаем. Дробную часть (0,625) снова умножаем на два. Запоминаем единицу и умножаем на два число 0,25. На этот раз целая часть не изменилась, поэтому записываем ноль, а число 0,5 умножаем

36

на два. В дробной части получили ноль, поэтому заканчиваем умножение и записываем все цифры, включая последнюю.

Рис. 2.4 – Перевод числа 0,8125 в двоичную систему счисления

Таким образом получили, что число 0,812510 в двоичной системе счисления записывается следующим образом: 0,11012. Проверяем, полученное число.

1 2 1 1 2 2 0 2 3 1 2 4 0,5 0,25 0 0,0625 0,812510

Число переведено правильно.

Рассмотрим еще несколько примеров. Переведем в двоичную систему счисления числа 0,9510 и 0,70510.

0,705 0,95

После 10 умножений можно увидеть, что, начиная с третьей цифры числа 0,9510, идет повтор группы из четырех цифр – 1100. Поэтому ожидать, что дробная часть когда-нибудь станет равна нулю, не стоит. Само число в двоичной системе счисления можно записать следующим образом – 0,11(1100)2.

Двоичная запись числа 0,70510 также бесконечна и имеет свой период повторения в двадцать символов – 10100011110101110000.

37

0,70510 0, 101(10100011110101110000)2.

В этом случае имеет смысл говорить о точности вычислений, которая определяется количеством разрядов после запятой. Давайте запишем полученные результаты с точностью до восьмого символа:

0,9510 0, 111100112

0,70510 0, 101101002

Выполним обратное преобразование:

Как видим, при переводе дробных чисел из одной системы счисления в

0,75

1,5

1,0 Ответ: 0,3437510 = 0,010112 = 0,5816.

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·

39

2.2.5 Перевод чисел из шестнадцатеричной системы счисления в двоичную систему счисления

Для перевода чисел в двоичную систему счисления из шестнадцатеричной следует заменить каждую цифру тетрадой ее двоичного эквивалента. Для этого можно воспользоваться данными из таблицы 2.1.

Приведем несколько примеров.

1. Перевести число 9ED16 в двоичную систему счисления.

Используя данные таблицы 2.1, заменим: цифру 9 на число 10012; цифру E – на число 11102; цифру D – на число 11012.

Ответ: 9ED16 1001111011012 .

2. Перевести число A17D16 в двоичную систему счисления.

Используя данные из таблицы 2.1, заменим: цифру A на число 10102; цифру 1 – на число 00012; цифру 7 – на число 01112; цифру D – на число 11012.

Ответ: A17D16 10100001011111012 .

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·

2.2 Кодирование целых чисел

Из такого предмета как математика мы знаем, что числа бывают разные. Их принято разбивать на множества (рис. 2.5). Первым идет множество нату-

является подмножеством другого множества – целых чисел. Обозначается сим-

q . Объединение его с множеством иррациональных чисел даст множество действительных чисел ( ) . Последнее также является подмножеством множества комплексных чисел ( ) .

Как видим, способов записи чисел довольно много. В этой связи, возникает вопрос их хранения в памяти компьютера. Однако, комплексное число, по сути, – пара действительных чисел. Рациональные и иррациональные числа также можно записать в виде десятичной дроби. Однако в этом случае возника-

40

ет необходимость округлять дробную часть, поскольку сохранить бесконечную дробь в принципе невозможно. Получается, что на самом деле достаточно определить правила записи в память компьютера только для целых и действительных (они же – вещественные) чисел.

Рис. 2.5 – Множества чисел

В этой главе разберемся с правилами записи в память компьютера целых чисел. Именно с «правилами». Множество целых чисел разбивается на два подмножества: отрицательные и положительные с нулем. Для каждого подмножества определяется свое правило. Но какими бы ни были эти правила, всё сводится к представлению чисел в двоичной форме.

2.2.1Положительные числа и нуль

Справилами перевода таких чисел мы уже познакомились ранее. Все довольно просто. Нужно только помнить, что любое число в двоичной форме независимо от типа занимает фиксированный объем памяти, кратный восьми. Поэтому прежде чем переводить число в двоичную систему счисления, необходимо знать, сколько бит будет это число занимать в двоичном виде. Минимальный объем памяти, который отводится для хранения целого числа, – 8 бит или один байт. В этом случае двоичная нотация будет выглядеть следующим образом (табл. 2.2).

Напротив числа 256 стоит вопросительный знак. Почему? Дело в том, что в данном случае стоит ограничение на количество разрядов в двоичном числе. Имея 8 разрядов, можно закодировать всего 256 чисел (28). Сюда включается и нуль, поэтому максимальное число, которое можно сохранить в одном байте,