Учебное пособие «Методы анализа и расчета электронных схем»

61

[Определение] В зависимости от вида компонентных уравнений ребра разбивают на два подмножества: y-ребра (уравнения выражают токи) и z-реб- ра (уравнения выражают напряжения). Ребра, уравнения которых записываются как для токов, так и для напряжений, называют взаимно определенными. [.]

Отнесение ребра к одному из двух подмножеств зависит от его характера, связи с другими ребрами и процедуры формирования уравнений схемы. В общем случае токи y-ребер и напряжения z-ребер могут зависеть от токов и напряжений любых ребер графа, а также от задающих токов и напряжений. Поэтому компонентные уравнения ребер графа электронной схемы можно записать в виде:

где Iy , Iz – векторы токов y-ребер и z-ребер; Uy , Uz – векторы напряжений

Обобщенные компонентные матрицы V , V и задающий вектор F имеют вид:

63

ребер полюсных графов

Следует отметить, что выражения (2.30) могут применяться для описания нелинейных компонентных уравнений

Их линеаризацией, при этом элементы компонентных матриц V , V определяются частными производными выражений (2.36) и являются переменными величинами.

Рассмотрим формирование компонентных уравнений на примере схемы замещения электронной цепи, представленной на рис. 2.21.

Компонентные уравнения для y-ребер:

Iy1 y1Uy1 ;

Iy2 y2Uy2 J ;

65

аобобщенное компонентное уравнение имеет вид (2.34).

2.4Полные уравнения электронных схем и их

преобразования

Если столбцы топологических матриц расположить в таком порядке, чтобы сначала следовали столбцы y-ребер, а затем – столбцы z-ребер, то топологические матрицы можно представить через подматрицы для каждого из подмножеств ребер в виде:

При этом топологические уравнения (2.9) и (2.10) будут иметь вид:

Эти два уравнения можно объединить в одно матричное уравнение:

где топологические матрицы имеют вид

66

Уравнение (2.39) является обобщенным топологическим уравнением графа, отображающим его структуру в алгебраической матричной форме. Независимо от характера компонентов схемы оно всегда линейное. Матрицы и 1, называемые обобщенными топологическими матрицами, являются квадратными матрицами -го порядка с элементами, равными +1, –1,0.

Вместе с обобщенным компонентным уравнением (2.34) обобщенное топологическое уравнение (2.39) образует полную систему уравнений графа:

уравнений равновесия относительно выбранной системы координат (независимых сечений и контуров).

Решив систему (2.41), можно определить векторы X и X , то есть токи и напряжения всех ребер графа.

Недостатком полной системы уравнений является высокий порядок.

В ряде случаев систему (2.41) целесообразно свести к системе более низкого порядка.

[Внимание] В зависимости от используемого способа понижения порядка можно получить системы уравнений трех видов: координатные уравнения для ветвей (КВ-уравнения), координатные уравнения для координат (КК-уравнения), уравнения ветвей для координат (ВК-уравнения). [.]

67

Координатные уравнения для ветвей

Для получения КВ-уравнений необходимо обобщенное компонентное уравнение полной системы уравнений подставить в обобщенное топологическое уравнение. В результате получим

Матрица W называется матрицей эквивалентных параметров в системе КВ-уравнений. Она является квадратной матрицей -го порядка, отображает как свойства компонентов, так и способ их соединения и, по существу, является обобщенным матричным параметром схемы.

Вектор Q носит название вектора эквивалентных внешних воздействий, является обобщенным матричным параметром схемы и характеризует воздействие на схему задающих источников.

Определив из системы КВ-уравнений вектор X , можно при необходимости найти вектор X . Таким образом, задача сводится к решению системы скалярных уравнений, то есть использование КВ-уравнений позволяет вдвое сократить размерность математической модели по сравнению с полной системой уравнений.

Название «координатные уравнения для ветвей» обусловлено тем, что сами уравнения записаны относительно выбранной системы координат (сечений и контуров), а искомые переменные связаны с ветвями схемы.

68

Координатные уравнения для координат

Для получения КК-уравнений необходимо элементы вектора X в КВуравнениях выразить через координатные переменные (узловые напряжения и контурные токи).

Вектор X выражается через координатные переменные с помощью соотношений (2.11), (2.13):

U

где X I — вектор координатных переменных. Подставляя вектор X из (2.44) в (2.42), получаем

Матрица W носит название матрицы эквивалентных параметров схемы в системе КК-уравнений и является, как и матрица W , обобщенным матричным параметром схемы.

КК-уравнения позволяют найти узловые напряжения и контурные токи (вектор X ), по которым в свою очередь можно определить токи и напряжения всех ветвей схемы. При этом элементы вектора X связаны с координат-

70

Таким образом, приходим к уравнению схемы в виде

Матрица W называется матрицей эквивалентных параметров в системе ВК-уравнений. Она является квадратной матрицей -го порядка, отображает как свойства компонентов, так и способ их соединения и, по существу, является обобщенным матричным параметром схемы.

Вектор Q носит название вектора эквивалентных внешних воздействий, является обобщенным матричным параметром схемы и характеризует воздействие на схему задающих источников.

ВК-уравнения позволяют найти узловые напряжения и контурные токи (вектор X ), по которым в свою очередь можно определить токи и напряжения всех ветвей схемы, используя выражения (2.44) и (2.47).

Название «уравнения ветвей для координат» обусловлено тем, что уравнения представляют собой компонентные уравнения ребер графа, а искомые переменные связаны с выбранной системой координат (сечений и контуров). При этом первые y уравнений являются компонентными уравнениями y-ветвей, а последние z уравнений – компонентными уравнениями z-ветвей.

Понятие и виды координатного базиса

[Определение] Координатный базис представляет собой систему независимых фазовых переменных, называемых координатами, через линейную комбинацию которых может быть выражена любая фазовая переменная моде-