Учебное пособие «Методы анализа и расчета электронных схем»

205

q

ственные числа k имеют кратность mk , k 1,q ( mk n ), то ее компонен-

k 1

ты определяются соотношением

называются проекторами матрицы A и обозначаются Bk1 компоненты матриц, обладающих простым спектром, являются проекторами. Проекторы матриц определяются соотношением

j 1 j k

Компоненты Bk 2 ,…,Bkmk могут быть выражены через соответствующие проекторы:

В свою очередь компоненты матрицы удовлетворяют условиям:

ра. Характеристическое уравнение матрицы A имеет вид

207

электронных схем

Для расчета переходных характеристик вектор входных переменных математической модели в базисе переменных состояния может быть представлен в виде

где k ( t0 ) – функция Хэвисайда, выражающая единичное ступенчатое изменение k-ой входной (задающей) переменной. Тогда при нулевых начальных условиях ( X0 0) из аналитического решения (5.49) следует

где hks ( t ) – переходная функция (характеристика) для переменной реакции yk ( t ) при переменной воздействия fs ( t ).

Расчет частотных характеристик

Для расчета частотных характеристик вектор входных переменных математической модели в базисе переменных состояния может быть пред-

209

реакции yk ( j ) при переменной воздействия fs ( j ) .

При использовании комплексных частотных функций расчет амплитудно-частотных, фазо-частотных, вещественных и мнимых частотных характеристик осуществляется по выражениям

Aks ( ) Tks ( j ) ,

ks( ) arg Tks( j ) ,

TR,ks( ) Re Tks( j ) ,

TJ,ks( ) Im Tks( j ) .

Численные методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений

Для решения во временном интервале 0 t T задачи Коши с начальными условиями X( 0 ) X0 численными методами необходимо перейти от непрерывной, или континуальной, формы записи системы дифференциальных

резки 0 t0 t1 tk tM T и непрерывная область изменения аргумента t заменяется дискретной областью: ( 0 t T ) ( t0 ,t1, ,tM ) . Величину hk tk tk 1, k 1,M называют шагом дискретизации (шагом интегрирования),

210

название узлов сеточной области. Значения искомых функций в узлах сеточной области будем обозначать X( tk ) Xk . В k -ом узле сеточной области систему (5.64) можно записать:

ствовании производных нужного порядка по всем переменным) решение X( t ) системы дифференциальных уравнений можно разложить в ряд Тейлора в окрестности точки tk :

211

которая представляет собой дискретную форму записи системы дифференциальных уравнений (5.64). Так как системы (5.67) и (5.68) отличаются на слагаемое 0( h p ) , то говорят, что система разностных уравнений аппроксимирует исходную систему дифференциальных уравнений с порядком 0( h p ) или с p-ым порядком (p-ая степень h). Ошибка, вызванная переходом от системы дифференциальных уравнений (5.67) к системе разностных уравнений (5.68), ограничена величиной

k Kph p ,

где Kp – некоторая постоянная, не зависящая от шага интегрирования. Система разностных уравнений (5.68) определяет явный численный метод Тейлора p-го порядка. Название явный следует из того, что (5.68) разрешимо яв-

212

которая определяет неявный численный метод Тейлора p-го порядка. Название неявный объясняется тем, что (5.70) не разрешено явным образом относительно Xk 1 .

Следует отметить существенное отличие уравнений (5.67), (5.69) и (5.68), (5.70). Уравнения (5.67) и (5.69) образуют систему нелинейных (трансцендентных) уравнений относительно вектора Xk , но поскольку они содержат неопределенное слагаемое 0( h p ) , то и решить их не представляется возможным. Уравнения (5.68) и (5.70) не содержат неопределенного слагаемого 0( h p ) и, следовательно, могут быть решены. Векторы Xk в (5.67), (5.69) и (5.68),(5.70) различны: в (5.67), (5.69) – это решения системы дифференциальных уравнений в k-ом узле сеточной области, а в (5.68), (5.70) – решения систем разностных уравнений. В случае h 0 система (5.68) стремится принять вид (5.67), а система (5.70) стремится к (5.69). При этом решения систем нелинейных уравнений (5.67), (5.69) сближаются с решениям соответствующих систем разностных уравнений (5.68),(5.70) и при достаточно малых h будут мало различаться.

Простейшим численным методом интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений является явный метод Тейлора первого поряд-

ному Xk . Система разностных уравнений (5.71) аппроксимирует исходную систему дифференциальных уравнений с порядком 0( h ) .

который также имеет порядок аппроксимации 0( h ) . Таким образом, явный и

213

неявный методы Эйлера обладают наименьшей точностью из всех численных методов интегрирования дифференциальных уравнений. Для получения требуемой точности методами Эйлера необходимо уменьшать шаг интегрирования, что вызывает значительное увеличение времени счета.

Выбор той или иной схемы численного интегрирования систем дифференциальных уравнений определяется не только соображениями точности (порядок аппроксимации), удобства и экономичности (явные схемы), но и соображениями устойчивости.

Пусть на некотором шаге интегрирования допущена погрешность вычисления k . Возмущенное решение разностного уравнения (5.68) представим в виде Xk Xk k и подставим в (5.68):

– начальное возмущение.

Очевидно, что поведение k при k определяется свойствами матрицы A . Общее решение разностного уравнения (5.76) можно записать в виде:

214

ние области устойчивости явного метода Эйлера. Условием устойчивости явного метода Эйлера является такой выбор шага интегрирования h , который бы обеспечивал попадание всех собственных чисел матрицы A внутрь указанного круга.

Для линейных дифференциальных уравнений с постоянной матрицей A и неявного метода Эйлера разностное уравнение (5.74) для возмущений имеет вид:

Данное неравенство определяет область устойчивости, которая пред-