Учебное пособие «Методы анализа и расчета электронных схем»
..pdf144
В зависимости от характера графов топологические методы анализа электронных схем можно разделить на две большие группы:
–основанные на использовании взвешенных полюсных графов электронных схем, дугам которых приписаны веса, определяемые параметрами компонентов электронной схемы;
–основанные на использовании ориентированных графов, отображающих систему линейных алгебраических уравнений, описывающих электронную схему (сигнальных графов).
Понятие и виды сигнальных графов
[Определение] Сигнальным называют ориентированный граф, отображающий систему линейных алгебраических уравнений, сформированную для электронной схемы. [.]
При этом вершины графа соответствуют искомым ( xi ) и задающим ( f j ) переменным, дуги отражают связи переменных в уравнениях и характеризуются весами aij , определяемыми коэффициентами уравнений.
В зависимости от типа системы линейных уравнений различают:
–однородные сигнальные графы, отображающие системы однородных линейных уравнений (не содержащих задающих переменных);
–неоднородные графы, отображающие системы неоднородных линейных уравнений (содержащих задающие переменные);
В зависимости от формы представления системы линейных уравнений различают следующие виды сигнальных графов:
–сигнальные графы Мэзона;
–сигнальные графы Коутса;
–обобщенные сигнальные графы (сигнальные графы Анисимова);
–ориентированные беспетлевые графы и др.
145
[Внимание] Наибольшее распространение при анализе электронных схем получили сигнальные графы Мэзона и обобщенные сигнальные графы. [.]
В зависимости от характера искомых и задающих переменных системы уравнений выделяют:
–гибридные сигнальные графы, переменными системы уравнений для которых являются как токи, так и напряжения;
–сигнальные U-графы, искомыми переменными системы уравнений для которых являются узловые потенциалы, а задающими – задающие токи;
–сигнальные I-графы, искомыми переменными системы уравнений для которых являются контурные токи, а задающими – задающие ЭДС.
При анализе электронных схем сигнальные I-графы практически не используются.
Существует два основных способа формирования сигнальных графов электронных схем:
–косвенный, который предполагает предварительную запись системы линейных алгебраических уравнений в требуемой форме;
–прямой, который заключается в построении сигнального графа непосредственно по схеме замещения электронной цепи, минуя этап записи системы уравнений.
[Определение] Передачей между вершинами сигнального графа называют отношение соответствующих переменных системы линейных алгебраических уравнений:
F |
xi |
, |
F |
xi |
. [.] |
|
f j |
x j |
|||||
ij |
ij |
|||||
|
|
|
|
Существует два основных способа определения передач сигнальных графов:
– путем эквивалентных преобразований исходного графа в граф, содержащий вершины xi и f j и одну дугу, направленную от f j к xi (либо
146
вершины xi и x j и одну дугу, направленную от x j |
|
к xi ); |
|
|||||||||
– путем применения топологической формулы общей передачи |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p xi ,f j D |
(4.29) |
||||||
|
|
F xi k 1 |
k |
|
|
k , |
||||||
|
|
ij |
f j |
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
где D – определитель сигнального графа; p xi ,f j |
|
– передача k-го простого |
||||||||||
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
пути, направленного из вершины |
f j |
в вершину |
x |
i ; |
D |
|
||||||
|
|
|
k – величина дополне- |
|||||||||
ния k-го простого пути, направленного из вершины f j |
в вершину xi . Переда- |
ча простого пути определяется как произведение передач дуг, входящих в этот путь. Величина дополнения простого пути находится как определитель части исходного графа, которая не касается соответствующего пути (не имеет с ним общих вершин). Правила вычисления определителя зависят от используемого вида сигнального графа, поэтому для графов каждого вида топологическая формула общей передачи имеет дополнительное название: формула Мэзона, формула Коутса, формула Анисимова и т.д.
Сигнальные графы Мэзона
Сигнальные графы Мэзона отображают системы линейных алгебраических уравнений, представленные в причинно-следственной форме, когда в каждом уравнении одна из искомых переменных явно выражена через другие искомые и задающие переменные:
|
n |
m |
|
|
|
|
xi |
|
i 1,n , |
(4.30) |
|||
aij x j aij f j , |
||||||
|
j 1 |
j 1 |
|
|
|
|
где xi – искомые переменные; f j |
|
|
|
|
|
– коэффи- |
– задающие переменные; aij , aij |
циенты системы уравнений.
Сигнальный граф Мэзона содержит:
–вершины-истоки, соответствующие задающим переменным f j ;
–смешанные вершины, соответствующие искомым переменным xi ;
147
– дуги, направленные от вершин, соответствующих переменным в правой части, к вершинам, соответствующим переменным в левой части уравнений (4.30), и характеризумые весами (передачами), равными коэффи-
циентам a , a .
ij ij
Вершинам-истокам инцидентны только исходящие дуги, смешанным вершинам – как исходящие, так и входящие дуги. Вершины, которым инцидентны только входящие дуги, называют вершинами-стоками. Вершиныстоки, как и смешанные вершины, отображают искомые переменные системы уравнений.
Рассмотрим формирование сигнального графа Мэзона по системе уравнений, представленной в причинно-следственной форме
x1 a12x2 a11f1,x2 a21x1 a22x2 ,x3 a32x2.
Сигнальный граф Мэзона приведен на рис. 4.8 и содержит одну вершину-исток f1 , две смешанные вершины x1 и x2 , одну вершину-сток x3
, пять дуг с весами a 12 , a11 |
, a21, a22 , a32 , одна из которых (дуга a22 ) явля- |
||||
ется петлей. |
|
|
|
|
|
|
|
a12 |
|
|
|
f |
|
a21 |
x |
a |
x |
1 |
a11 |
2 |
32 |
3 |
x1
a22
Рис 4.8. Сигнальный граф Мэзона
В общем случае системы линейных алгебраических уравнений электронных схем имеют вид:
148
n |
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i 1,n . |
(4.31) |
|||
wij x j wij f j , |
|||||
j 1 |
j 1 |
|
|
|
|
Для представления системы уравнений (4.31) общего вида сигнальным графом Мэзона используют два основных способа приведения системы к причинно-следственной форме.
Первый способ основан на нормализации системы уравнений (4.31) и приведении ее к виду
|
|
n |
w |
ij |
|
|
m w |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ij |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
f |
|
|
|
|||
|
i |
|
|
|
|
|
j |
wii |
|
j |
. |
(4.32) |
||
|
|
|
wii |
|
|
|
||||||||
|
|
j 1 |
|
|
|
|
|
j 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
j i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[Определение] Сигнальный граф Мэзона, построенный с использованием (4.32), называется нормализованным. [.]
Из сопоставления (4.32) и (4.30) следует, что веса дуг нормализованного графа связаны с коэффициентами системы уравнений общего вида выражениями:
|
|
wij |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
wij |
|
|
|||
aii 0 , |
aij |
|
(i j ) , |
aij |
|
, |
(4.33) |
|
wii |
wii |
|||||||
|
|
|
|
|
|
которые показывают, что в нормализованном графе Мэзона отсутствуют петли.
Второй способ заключается в том, что к обеим частям каждого i-го уравнения системы (4.31) прибавляется искомая переменная xi , а затем все слагаемые, кроме вершины xi , переносятся в правую часть уравнения:
|
1 w |
x |
n |
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
x |
w |
x |
w f |
j , |
|
|
|
|
|||||
i 1,n . |
(4.34) |
||||||||||||
i |
ii |
i |
j 1 |
ij |
j |
j 1 |
ij |
||||||
|
|
|
j i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[Определение] Сигнальные графы Мэзона, построенные с использованием (4.34), называются ненормализованным. [.]
Из сопоставления (4.34) с (4.30) следует, что веса дуг ненормализованных графов связаны с коэффициентами системы уравнений общего вида
149
выражениями:
aii 1 wii , |
aij wij |
(i j ) , |
|
|
(4.35) |
aij wij |
которые показывают, что в ненормализованных графах Мэзона при смешанных вершинах присутствуют петли.
Рассмотрим построение нормализованного и ненормализованного сигнальных U-графов Мэзона косвенным способом для электронной схемы рис. 4.9.
|
|
R2 |
|
|
|
|
R1 |
2 |
L |
3 |
|
1 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
J |
U |
C |
|
R3 |
yU |
|
|
||||
|
|
|
0
Рис. 4.9. Электронная схема
Система операторных линейных алгебраических уравнений, сформированная для схемы рис. 4.9 методом узловых потенциалов имеет вид:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J, |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
1 |
|
|
R |
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
R |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
pC |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
R1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
pL |
|
2 |
|
|
|
pL |
|
3 |
|
|
(4.36) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
R1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y( |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
). |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
||||||||||||||||||
R2 |
1 |
|
|
|
pL |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
pL |
|
3 |
1 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R2 R3 |
|
|
|
|
|
|
|
Систему уравнений (4.36) запишем в виде
Y g |
2 |
g |
2 |
|
3 |
J, |
|||
|
11 |
1 |
1 |
|
|
|
|||
g1 1 Y22 2 yL 3 |
|||||||||
|
|
|
y 1 yL y |
||||||
g2 |
0, |
(4.37) |
2 Y33 3 0, |
|
150
где g1 R11 , g2 R12 , g3 R13 , yL pL1 – операторные проводимости ветвей
схемы; Y11 g1 g2 , Y22 g1 pC yL , Y33 g2 g3 yL – собственные проводимости узлов схемы.
Нормализуя систему уравнений (4.37), получаем
|
|
|
|
g1 |
|
|
|
|
|
|
g2 |
|
|
|
|
|
1 |
J, |
||||
|
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
Y |
|
|||||||||||||||||
|
1 |
|
Y |
|
|
|
|
|
Y |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
11 |
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
11 |
|
|
||||||
|
|
|
|
g |
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
1 |
L |
3 , |
|
|
|
(4.38) |
|||||||||
Y |
|
|
|
Y |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
22 |
|
|
|
|
22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
g |
2 |
|
y |
|
|
|
y |
L |
y |
|
|
|
||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
Y33 |
|
|
1 |
|
|
Y33 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Системе уравнений соответствует нормализованный сигнальный U- граф Мэзона, приведенный на рис. 4.10.
|
|
g2 |
|
|
|
Y11 |
|
|
g |
|
yL |
|
1 |
|
Y22 |
|
Y |
|
|
|
11 |
|
|
1 |
g1 |
|
yL y |
J Y11 |
Y22 |
|
Y33 |
|
1 |
2 |
3 |
g2 y
Y33
Рис. 4.10. Нормализованный сигнальный U-граф Мэзона
151
Прибавляя к обеим частям уравнений системы (4.37) переменные 1,2 , 3 в первом, втором и третьем уравнениях соответственно и перенося все слагаемые, кроме 1, 2 , 3 , в правые части соответствующих уравнений, получим
1 Y g |
|
g |
2 |
|
3 |
J, |
|
|||||||||||
|
1 |
11 |
1 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
2 |
g |
1 Y |
|
|
2 |
y |
L |
|
3 |
, |
(4.39) |
||||||
|
1 1 |
22 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
3 g2 y 1 yL y 2 |
1 Y33 3. |
|
Системе уравнений соответствует ненормализованный сигнальный U- граф Мэзона, приведенный на рис. 4.11.
|
1 Y11 |
g2 |
|
|
|
g1 |
yL |
|
|
|
|
1 Y33 |
||
J |
1 |
g1 |
|
|
|
3 |
|||
|
1 |
2 |
yL y |
|
|
|
1 Y22 |
|
|
g2 yL
Рис. 4.11. Ненормализованный сигнальный U-граф Мэзона
Косвенный способ построения сигнальных графов Мэзона на базе систем уравнений общего вида, записанных в однородных координатных базисах, обязательно включает этап преобразования исходной системы уравнений к причинно-следственной форме.
Сопоставляя структуру сигнальных графов Мэзона с видом электронной схемы можно установить правила, которые позволяют формировать граф непосредственно по схеме замещения, минуя этап записи системы линейных уравнений. Наиболее простыми являются правила прямого построения не-
152
нормализованного сигнального U-графа Мэзона:
–в схеме замещения выбирается базисный узел и обозначаются остальные узлы;
–на поле графа наносятся вершины 1, 2 , , , соответствующие узловым потенциалам (число вершин определяется числом независимых сечений);
–в вершинах графа строятся петли с передачами akk 1 Ykk , где Ykk – собственная проводимость k-го узла схемы;
–пассивный двухполюсный компонент, инцидентный узлам i и j отображается двумя противоположными по направлению дугами, инцидентными вершинам i и j , с передачами, равными операторной проводимости компонента;
–зависимый источник тока, управляемый напряжением, (ИТУН) отображается дугами, направленными из вершин, соответствующих узлам управляющего двухполюсника, в вершины, соответствующие узлам ИТУН, и имеющими передачи, равные управляющей проводимости; если направление ИТУН относительно i-го узла и направление управляющего напряжения относительно j-го узла характеризуются различно, то в передачу дуги, направленной из вершины j в вершину i , управляющая проводимость входит с противоположным знаком;
–зависимые источники других типов (ИНУН, ИНУТ, ИТУТ) предварительно преобразуются в ИТУН;
–многополюсные компоненты предварительно замещаются эквивалентными схемами либо отображаются сигнальными U-графами Мэзона, которые берут готовыми из научно-технической литературы либо формируют по эквивалентным схемам или неопределенным матрицам проводимостей.
–независимый источник тока, направленный от узла c к узлу a, отображается вершиной-истоком, которая соответствует задающему току J , и двумя ду-
153
гами, направленными от вершины J к вершинам a и c , и имеющими передачи «1» и «–1» соответственно;
–независимые источники напряжения предварительно преобразуются
висточники тока.
Формирование сигнальных U-графов Мэзона многополюсных компонентов по неопределенным матрицам проводимостей выполняют по следующим правилам:
–на поле графа наносятся вершины 1, 2 , , N , соответствующие потенциалам всех полюсов N-полюсника;
–в вершинах графа строятся петли с передачами, равными диагональным элементам неопределенной матрицы проводимостей aii yii , i 1,N ;
–недиагональные элементы yij (i j ) отображаются дугами, направленными из вершин j в вершины i и имеющими передачи aij yij .
Например, неопределенной матрице проводимостей полевого транзистора с управляющим p-n-переходом
|
|
з |
с |
и |
YÏÒ |
з |
pCзи + pCзс |
– pCзс |
– pCзи |
с |
– pCзс + S |
pCзс +Gси |
–(Gси + S ) |
|
|
и |
–( pCзи + S ) |
–Gси |
Gси + pCзи + S |
соответствует сигнальный U-граф Мэзона, приведенный на рис. 4.12.
pCзи pCзс |
pCзс S |
pCзс Gси |
з |
|
с |
pCзи S |
pCзс |
Gси |
|
||
pCзи |
|
G S |
|
|
си |
|
и |
|
pCзи Gси S