Сборник задач по имитационному моделированию экономических процессов

81

2.2 Имитационное моделирование систем массового обслуживания

Существуют следующие способы построения моделирующих алгоритмов:

•моделирования неперекрывающихся заявок и анализ системы с постоянным шагом;

•последовательной проводки заявок (способ моделирования перекрывающихся заявок);

•поэтапной последовательной проводки заявок (способ моделирования перекрывающихся заявок разного приоритета);

•обслуживания заявок в условиях отказов.

Первый способ заключается в том, что при моделировании потока заявок время поступления очередной заявки отсчитывается относительно времени окончания обслуживания предыдущей заявки. Анализ состояний системы осуществляется через равные промежутки времени ∆T . При ∆T , равном периоду времени работы системы, ни одна заявка не будет обнаружена. С уменьшением ∆T количество обнаруженных заявок в системе увеличивается. На рис. 2.5 представлено поступление четырех заявок. Например, время начала обслуживания первой заявки -τ1, а окончание – τ2 . При анализе данным способом через интервал ∆T (в момент t1) будет обнаружено, что началось обслуживание первой заявки, а в момент t2 = t1 + ∆T - что ее обслуживание завершено. Аналогично рассматриваются и остальные заявки.

Рис.2.5 – Моделирование неперекрывающихся заявок и анализ системы через равные промежутки времени T

82

Способ последовательной проводки заявок может быть осуществлен, если события, происходящие в системе, не зависят друг от друга. Моделирующий алгоритм последовательно воспроизводит истории отдельных заявок в порядке их поступления в систему. Алгоритм обращается к сведениям о других заявках лишь в том случае, если это необходимо для решения вопроса о дальнейшем порядке обслуживания данной заявки. На рис. 2.6 приведена последовательная проводка одиночных заявок. В случайный момент времени t1 (считается, что распределение вероятностей времени прихода заявок известно) в систему поступила 1-я заявка. Поскольку канал свободен, то ее обслуживание начинается в момент времени tн1 = t1. Если распределение времени обслуживания известно, то с помощью датчика случайных чисел можно определить случайную величину времени обслуживания τ1. Тогда момент окончания обслуживания первой заявки будет равен: tк1 = tн1 +τ1. Далее определяется случайное время t2 поступления второй заявки, которое отсчитывается относительно времени поступления первой заявки. Поскольку канал занят, то обслуживание ее начнется после завершения периода ожидания, равного Tож = tк1 − tн1. Аналогично происходит обслуживание остальных заявок.

Рис.2.6 – Последовательная проводка заявок

Вторым вариантом способа последовательной проводки заявки является способ, при котором сначала формируется поток заявок, а затем начинается процесс обслуживания заявок.

Способ поэтапной последовательной проводки заявок используется в том случае, если в систему поступают заявки двух приоритетов. При этом считается, что все заявки независимы, при обслуживании используется абсолютный приоритет (поступающая заявка высшего приоритета немедленно вытесняет

83

обслуживаемую заявку низшего приоритета), после освобождения канала может

производиться «дообслуживание» той заявки второго приоритета, которая была

вытеснена заявкой первого приоритета. В данном случае моделирование состоит из двух этапов. На первом этапе рассматриваются только заявки первого приоритета (рис.2.7). Применяя способ последовательной проводки, устанавливаются значения элементов массива {Tн1.1,Тн1.2,Тн1.3,...} - времени

модельное время на нуль и начинается этап моделирования процесса обслуживания заявок второго приоритета в условиях, что на временной оси располагаются уже обслуженные заявки первого приоритета. Следовательно, заявки второго приоритета могут занимать только свободные промежутки времени.

84

Рис.2.7 – Поэтапная последовательная проводка заявок

В системах, включающих технические подсистемы, возможно возникновение отказов. Различают два рода отказов (рис.2.8).

Отказы первого рода (неисправности) приводят к временному прекращению процесса обслуживания очередной заявки сохранением достигнутого состояния. После устранения отказа процесс обслуживания заявки может продолжаться.

Отказы второго рода (аварии) приводят к такому состоянию системы, что после устранения отказа процесс обслуживания заявки начинается сначала.

Рис. 2.8 – Появление в системе отказов

Пример 1

Ожидается приезд четырех автомашин на склад под разгрузку. Примем время приезда первой машины за начало отсчета. Вторая машина приедет через

86

Рассматривается ситуация, когда осуществляется разгрузка трех машин, которые перевозят товар с соседнего склада (система массового обслуживания является замкнутой). Машины загружаются на соседнем складе. После этого, либо разгружаются на рассматриваемом складе, либо выстраиваются в очередь на разгрузку. Затем снова отправляются на соседний склад для загрузки. Например, на рис.2.9 представлено состояние системы в момент времени t =1,15, когда происходит обслуживание первой машины, приехавшей на склад в момент времени T1=0,2. В это время уже ожидают обслуживание вторая и третья машины, поступившие в моменты времени T2 =0,8 и T3 =1,1 соответственно.

Рис.2.9 – Система массового обслуживания

Пусть первая машина прибыла на склад дважды в моменты времени 0,2 ч. и 1,3 ч. Время ее разгрузки составило 1,2 ч. и 1,3 ч. для первого и второго случая соответственно.

Вторая машина прибыла на склад в моменты времени 0,8 ч. и 2,2 ч. Время

ееразгрузки составило 0,9 ч. и 1,1 ч. для первого и второго моментов соответственно.

Третья машина прибыла на склад в моменты времени 1,1 ч. и 3,6 ч. Время

ееразгрузки составило 1 ч. и 1,2 ч. для первого и второго моментов соответственно.

Рассмотрите события данной системы. В какое время закончится последняя разгрузка?

Решение

События системы можно представить в виде следующей таблицы 2.3.

Таблица 2.3 – События системы

87

Пример 3

Ожидается приезд пяти автомашин на склад под разгрузку. Примем время приезда первой машины за начало отсчета. Вторая машина приедет через Т1 ч., третья – через Т2 ч., четвертая – через Т3 ч., пятая – через Т4 ч. Допустим, что первую машину разгружали τ1 ч, вторую - τ2 ч., третью - τ3 ч., четвертую - τ4 ч., пятую - τ5 ч. В том случае, если канал обслуживания занят, то машина занимает определенную очередь. На рис. 2.10 показано, к каким очередям поступают

88

рассматриваемые машины. Разгрузка ожидающих машин начинается с первой

очереди.

Пусть τ1 =0,7, τ2 =0,9, τ3 =0,8, τ4 =0,6, τ5 =1;

Т1 =0,1, Т2 =0,3, Т3 =0,2, Т4 =0,4.

Рассмотрите события данной системы (приезд машины, начало и

завершение разгрузки, помещение в очередь) считая, что обслуживание

происходит

1.по одной заявке из каждой непустой очереди;

2.до исчерпания всех заявок в текущей очереди, включая пришедшие за время обслуживания.

Рис.2.10 – Круговое обслуживание заявок

Решение

Рассмотрим первый вариант, когда обслуживание происходит по одной заявке из каждой непустой очереди.

События системы можно представить в виде следующей таблицы 2.4.

Таблица 2.4 – События системы при первом варианте выбора заявок из очереди

89

Рассмотрим теперь второй вариант, когда обслуживание происходит до исчерпания всех заявок в текущей очереди, включая пришедшие за время обслуживания. События представлены в таблице 2.5.

Таблица 2.5 – События системы при втором варианте выбора заявок из очереди

90

Таким образом, при втором варианте машина с номером четыре будет

обслужена прежде, чем машина с номером пять (в отличие о первого варианта).