Сборник задач по имитационному моделированию экономических процессов

61

заявка на покупку из массива Pokup, уменьшается число заявок на покупку и

рассчитывается прибыль брокера. (операторы 10-12). Если же не было найдено ни одной подходящей заявки на покупку, то увеличивается число заявок на продажу, и эта заявка ставится в очередь (оператор 13).

62

63

Рис.1.19 – Алгоритм имитации события поступления заявки на покупку

64

65

Рис.1.20 – Алгоритм имитации события поступления заявки на продажу

Задача 23.1

Пусть к началу моделирования у брокера уже имеется три заявки на продажу, цена которых - zena1, zena2 и zena3. Как в этом случае изменится алгоритм?

Задача 23.2

Модифицируйте алгоритм, считая, что случайная величина времени между поступлением двух заявок на продажу распределена равномерно на интервале (a,b).

Задача 23.3

Как изменится алгоритм программы, если прибыль брокера составляет w% от суммы сделки?

Задача 23.4

Модифицируйте алгоритм, считая, что интенсивность потока заявок на покупку возрастает в 2 раза во второй половине периода моделирования.

Задача 23.5

Измените алгоритм, считая, что если к концу периода останутся заявки на покупку, то моделирование продолжается до их удовлетворения (при этом заявки на продажу больше не поступают).

Задача 23.6

Пусть среди заявок на покупку выбирается заявка не с лучшей ценой (имеющая минимальное значение из всех удовлетворяющих заявке на продажу), а первая поступившая заявка, удовлетворяющая заявке на продажу. Какие изменения необходимо внести в алгоритм в этом случае?

Задача 23.7

Пусть среди заявок на продажу выбирается заявка не с лучшей ценой (имеющая максимальное значение из всех удовлетворяющих заявке на покупку), а

67

Измените алгоритм, считая, что среднее значение цены возрастает в 1,5 раза во второй половине периода моделирования.

Задача 23.15

Пусть прибыль брокера равна w% от суммы продажи. Как в этом случае изменится алгоритм?

Задача 23.16

Моменты времени поступления первых заявок на покупку и продажу известны и равны t1 и t2 соответственно. Какие изменения необходимо внести в алгоритм?

Задача 23.17

Пусть процент w от суммы покупки зависит от цены и равен w1, если стоимость покупки меньше Pokupmin , и w2 - в противном случае. Какие изменения необходимо внести в алгоритм?

68

Глава 2. Системы массового обслуживания

2.1 Теория массового обслуживания

На практике часто приходится сталкиваться с системами, предназначенными для многоразового использования при решении однотипных задач. Возникающие при этом процессы получили название процессов обслуживания, а системы - систем массового обслуживания (СМО).

Каждая СМО состоит из определенного числа обслуживающих единиц, которые называются каналами обслуживания. На вход СМО поступает поток требований (заявок) (табл.2.1).

Таблица 2.1 – Примеры СМО

Рассмотрим характеристики систем массового обслуживания. Различают следующие ее элементы:

1.входной поток заявок;

2.очередь;

3.узел обслуживания;

4.выходной поток.

На рис. 2.1 указаны эти элементы для следующей СМО: банк занимается обслуживанием клиентов, которые осуществляют денежные вложения.

69

Рис. 2.1 – Элементы системы массового обслуживания

Входной поток заявок клиентов может быть случайным или детерминированным. В первом случае время между поступлением двух заявок является случайной величиной, а во втором – величиной детерминированной (поступление происходит в соответствие с определенным графиком). Интенсивность потока – частота появления событий, поступающих в СМО в единицу времени. В СМО может поступать несколько входных потоков, имеющих различные характеристики (интервал поступления, приоритет и т.д.). Интенсивность потока λ – частота появления событий, поступающих в СМО в единицу времени. Наиболее часто в задачах рассматривается пуассоновский поток заявок, распределение которого описывается следующей формулой

Pm(τ ) = (λτ )m e−λτ , m!

Для данного распределения математическое ожидание случайной величины равно ее дисперсии. Вероятность того, что на участке времени длиной t не появится ни одного из последующих событий, равна

P(T ≥ t) = e−λt .

Очередь – место, где поступившие заявки ждут начала обслуживания. В том случае, если элемент очередь в системе отсутствует, то данная система без ожидания. Это означает, что в том случае, если в момент поступления заявки все

70

каналы обслуживания заняты, то эта заявка покидает систему необслуженной. Очередь может иметь ограниченную или неограниченную длину. Кроме того, время ожидания в очереди может быть ограничено (говорят, что рассматриваются нетерпеливые заявки). Следующая характеристика очереди – дисциплина очереди. Она связана с правилом, в соответствии с которым обслуживаются клиенты. Различают следующие дисциплины: первый пришел – первый ушел, первый пришел – последний ушел, а также существуют дисциплины с приоритетами.

Рассмотрим теперь характеристики средств обслуживания. Системы обслуживания характеризуются по числу каналов обслуживания (например, если на рис. вкладчиков может обслуживать несколько работников банка, то система будет многоканальной), числу фаз обслуживания (например, если на рис. вкладчику необходимо будет последовательно пройти обслуживание у нескольких работников, то система будет многофазной). Время обслуживание может быть случайной величиной или детерминированным.

Также существую системы, в которых обслуженные требования после некоторой задержки опять поступают на вход. Такие системы называются замкнутыми.

В качестве показателей эффективности СМО рассматриваются: среднее время, которое клиент проводит в очереди, средняя длина очереди, среднее время, которое клиент проводит в системе обслуживания, среднее число клиентов в системе обслуживания, вероятность того, что система окажется незанятой и т.д. В приложении 1 приведены формулы расчета данных показателей для одноканальных и многоканальных систем массового обслуживания с отказами, ограниченной и неограниченной очередью.

Рассмотрим теперь понятие случайного процесса.

Под случайным (вероятностным или стохастическим) процессом понимается процесс изменения во времени состояния какой-либо системы в соответствии с вероятностными закономерностями.

Процесс называется процессом с дискретными состояниями, если его возможные состояния S1,S2,S3,...— можно заранее перечислить, а переход системы из состояния в состояние происходит мгновенно (скачком). Процесс называется процессом с непрерывным временем, если моменты возможных переходов системы из состояния в состояние не фиксированы заранее, а случайны.