Радиоавтоматика

191

13.3.4. Критерий устойчивости

на основе ЛАЧХ и ЛФЧХ

ЛАЧХ и ЛФЧХ разомкнутой системы однозначно связаны с АФХ этой системы. Поэтому оценка устойчивости по ЛАЧХ и ЛФЧХ разомкнутой системы производится путем использования того же амплитудно-фазового

Запас устойчивости по усилению на ЛАЧХ разомкнутой системы показывает, на сколько децибел нужно увеличить усиление на критической

частоте KP , чтобы система оказалась на границе устойчивости:

Из ЛАЧХ легко определить критический коэффициент усиления, т. е.

максимальный коэффициент усиления, при котором система будет находиться

на границе устойчивости:

LKP ( ) 20 lg K L( KP ) . (13.71)

192

Рис. 13.13. АФХ, ЛАЧХ и ЛФЧХ разомкнутых САР: устойчивой (а); условно устойчивой (б)

Формулировка критерия Найквиста применительно к ЛЧХ: если разомкнутая система устойчива, то для устойчивости замкнутой системы

(см. рис. 13.13).

193

б

Рис. 13.14. АФХ, ЛАЧХ и ЛФЧХ разомкнутых САР: находящейся на границе устойчивости (а); неустойчивой (б)

13.3.5. Устойчивость систем с запаздыванием

Рассмотрим устойчивость САР, в состав которых входят устройства запаздывания (цифровые элементы, запоминающие устройства). Передаточная функция разомкнутой системы с запаздыванием запишем в виде

где WPИ ( p) — передаточная функция разомкнутой исходной системы без запаздывания, — время запаздывания.

Передаточная функция (13.72) соответствует следующим ЛАЧХ и ЛФЧХ разомкнутой системы:

где РИ ( ) — ЛФЧХ разомкнутой системы без запаздывания.

Из этих характеристик следует, что запаздывание влияет только на ЛФЧХ, создавая на каждой частоте дополнительный фазовый сдвиг, равный

(рис. 13.15). Поэтому САР, устойчивые без запаздывания, могут быть неустойчивыми при включении в их состав устройств запаздывания.

На рисунке 13.14 приведены ЛАЧХ и ЛФЧХ системы без запаздывания и

с запаздыванием.

При расчете систем с запаздыванием пользуются критическим временем

запаздывания KP , под которым понимается такое время запаздывания, когда устойчивая без запаздывающего звена система находится на границе устойчивости при введении запаздывающего звена.

Критическое время запаздывания определяется выражением (см. ЛФЧХ

L ( ) , ДБ

Рис. 13.15. ЛАЧХ и ЛФЧХ системы без запаздывания и с запаздыванием

195

13.3.6. Критерий устойчивости Гурвица

Критерий Гурвица — алгебраический критерий, позволяющий в

аналитической форме связать условие устойчивости с параметрами системы.

Сущность критерия Гурвица заключается в следующем. Из коэффициентов исследуемого характеристического уравнения n -ой степени

слева направо записываются все коэффициенты характеристического уравнения от an 1 до a0 в порядке убывания индексов, затем заполняются вертикальные столбцы — сверху от данного коэффициента записываются коэффициенты с убывающими индексами, а снизу — с возрастающими индексами. На местах коэффициентов с индексами больше n и меньше нуля проставляются нули.

Для характеристического уравнения n -го порядка определитель Гурвица

имеет вид

Формулировка критерия Гурвица: чтобы действительные части всех корней характеристического уравнения были отрицательными, необходимо и достаточно, чтобы при всех положительных коэффициентах an 0, , a0 0

определитель Гурвица и все его главные диагональные миноры, которые получаются путем отчеркивания равного числа строк и столбцов в левом верхнем углу определителя (13.76) были положительны.

198

или

Характеристическое уравнение для замкнутой системы АРУ из выражения передаточной функции (13.82в) запишется в следующем виде:

запишем определитель Гурвица:

Из определителя Гурвица (13.82е) в соответствии (13.77) условия устойчивости системы получаются следующими:

Условие (13.82ж) выполняется при любых значениях параметров, условие

(13.82з) — в том случае, когда

( 1 K АД KФ K у U ВХ )

13.4. Качество переходного процесса

13.4.1. Показатели качества переходного процесса

На переходные процессы в САР накладываются определенные ограничения, связанные с особенностями ее работы. Например, в системах автоматического сопровождения цели РЛС не допускаются большие углы отклонения антенны от установившегося значения, так как может произойти срыв сопровождения цели. Для повышения надежности работы механических узлов ограничивается число колебаний антенны в переходном процессе.

Основные показатели качества переходного процесса приведены

(рис. 13.16).

h(t) TK

hмах

Рис. 13.16. Переходная характеристика с показателями качества переходного процесса

200

Длительность переходного процесса tп — интервал времени от начала переходного процесса до момента времени, когда отклонение выходной величины от установившегося значения h ( ) становится меньше 1 5 % ,

(определяет быстродействие системы).

Время установления первого максимума t у — время достижения первого максимума выходного сигнала (определяет скорость изменения выходного сигнала в переходном процессе).

Перерегулирование — максимальное отклонение выходной величины от установившегося значения:

Мера колебательности С — отношение первых соседних максимумов

переходного процесса:

С2 100% .

1

Частота колебаний f K — частота колебаний переходного процесса:

где TK — период колебаний переходного процесса.

Число колебаний N — число колебаний за время переходного процесса

Исчерпывающее представление о качестве переходных процессов дает сама переходная характеристик. Однако при синтезе САР необходимо иметь возможность судить об основных показателях качества переходных процессов в системе без построения переходных характеристик, по каким либо косвенным признакам, которые определяются более просто, чем переходные