Радиоавтоматика

181

(10.8) для передаточной функции системы, определим характеристический вектор в следующем виде:

(полинома) A( p) , содержащих соответственно четные и нечетные степени p .

Задавая значения частоты от 0 до , получим на комплексной

плоскости кривую, называемую годографом характеристического вектора или

необходимо и достаточно, чтобы годограф Михайлова при изменении частоты

от 0 до , начав движение из точки a0 , лежащей на положительной вещественной оси, вращаясь против часовой стрелки и нигде не обращаясь в нуль, прошел последовательно n квадрантов, повернувшись на угол n 2 , где n

— порядок характеристического уравнения.

Рассмотрим годографы для систем с различным порядком n

характеристического уравнения, а также для устойчивых, находящихся на границе устойчивости, неустойчивых систем (рис.13.7).

Для устойчивых систем (см. рис. 13.7,а) годограф Михайлова, выйдя из точки a0 на вещественной оси, поочередно пересекает мнимую, затем вещественную оси и т. д. Каждому пересечению годографом Михайлова вещественной оси соответствует корень уравнения U ( ) 0 и каждому пересечению мнимой оси — корень уравнения V ( ) 0.

182

Следовательно, для устойчивости системы необходимо и достаточно,

годографа Михайлова без его деформации, что дает возможность оценить

Рис. 13.7. Годографы характеристических векторов систем:

а— с различными порядками характеристического уравнения;

б— устойчивой, на границе устойчивости, неустойчивой

Если годограф Михайлова проходит через начало координат, то система находится на границе устойчивости. В этом случае выполняются следующие равенства:

где кр — критическая частота.

Из уравнений (13.43) и (1.44) можно определить значения параметров,

при которых система находится на границе устойчивости.

13.3.3. Критерий устойчивости Найквиста

Критерий Найквиста — это частотный критерий, позволяющий судить об

устойчивости системы, замкнутой единичной обратной связью, по виду АФХ разомкнутой системы. АФХ разомкнутой системы представляет собой кривую,

или годограф, описываемый концом вектора комплексного коэффициента

передаточной функции разомкнутой системы WP ( p) , переходя в частотную область путем замены оператора p на i :

АФХ реальной системы по условию физической реализуемости равна нулю. На рис. 13.9,а приведены АФХ для статических систем.

определения устойчивости астатической системы находящееся в бесконечности

действительной полуосью против часовой стрелки дугой бесконечного радиуса,

как изображено на рис. 13.9,б – в.

Формулировка критерия Найквиста: замкнутая система будет устойчива, если АФХ или годограф комплексного коэффициента передачи

устойчивой разомкнутой системы при изменении частоты от 0 до не

охватывает точку с координатами (-1, j0).

На рис. 13.9,а приведены АФХ устойчивой, находящейся на границе

устойчивости и неустойчивой статических систем. На рис. 13.9,б–в. приведены АФХ устойчивых астатических систем с астатизмом первого и второго порядков соответственно. При этом если АФХ пересекает вещественную ось только с права от точки с координатами (-1, j0), то система называется абсолютно устойчивой.

На рис. 13.10,а приведена АФХ условно устойчивой системы, которая пересекает вещественную ось и слева и справа от точки с координатами (-1, j0).

При уменьшении или увеличении коэффициента передачи K условно устойчивая система становится неустойчивой и АФХ для этих случаев

187

Можно воспользоваться другой формулировкой критерия Найквиста,

основанной на подсчете количества положительных и отрицательных

полуплоскости в нижнюю полуплоскость; отрицательным — переход из

перехода в зависимости от того, вниз или вверх от этого отрезка идет АФХ при увеличении частоты (рис. 13.11).

Рис. 13.11. Обозначение знаков перехода АФХ отрезка ( , 1)

Вторая формулировка критерия Найквиста: замкнутая система будет устойчивой, если разность между числом положительных и отрицательных переходов АФХ устойчивой разомкнутой системы через отрезок вещественной оси ( , 1) при изменении частоты от 0 до равна нулю.

Запасы устойчивости

В процессе эксплуатации САР ее параметры (коэффициент усиления,

постоянные времени) из-за изменения внешних условий, колебаний напряжений источников питания и других причин отличаются от расчетных значений. Если не принять определенных мер, то САР может стать неустойчивой. Для исключения этого явления при проектировании следует

188

обеспечить определенные запасы устойчивости системы, которые характеризуют близость годографа АФХ разомкнутой системы к точке с координатами (-1, j0). Запасы устойчивости определяются на двух частотах:

W ( KP ) от границы устойчивости и определяет, во сколько раз нужно увеличить коэффициент усиления, чтобы система оказалась на границе устойчивости:

или в децибелах

по фазе и запаса устойчивости по усилению соответственно выполнялись следующие условия:

регулирования будет слабо затухать, и при небольшом изменении параметров,

обусловленном случайными причинами, система может потерять устойчивость.

Пример. Для структурной схемы, приведенной на рис. 13.8, используя критерий Найквиста, найдем критическое значение коэффициента передачи,

при котором система находится на границе устойчивости.

На основе выражения (13.45) для передаточной функции разомкнутой системы получим выражение для комплексного коэффициента передачи в следующем виде:

Из выражения (13.60) комплексного коэффициента передачи получим выражения для АЧХ и ФЧХ в следующем виде

На критической частоте выражение (13.62) для ФЧХ запишется в виде равенства

Выражение для критического коэффициента передачи (13.68),

полученное на основе критерия Найквиста, совпадает с выражением для критического коэффициента передачи (13.51), полученным на основе критерия Михайлова.

Если KKP K , то система устойчива, если KKP K , то система неустойчива, если K KP K , то система находится на границе устойчивости.

Чтобы система была устойчивой с заданным коэффициентом устойчивости , необходимо с помощью выражения (13.52) найти требуемый коэффициент передачи KTP .