Радиоавтоматика

T

2 d 2 y (t)

T

dy (t)

y(t)

k x(t) .

(11.26)

dt 2

1

dt

В операторной форме уравнение (11.26) запишется

( T 2 p 2

T

p 1) y( p)

k x( p) .

(11.27)

1

W ( p)

k

k

,

(11.28)

T 2 p2 T p 1 T 2 p2

2 T p 1

1

где

T1 (2T ) — коэффициент

демпфирования, или относительный

коэффициентом демпфирования .

В зависимости от величины коэффициента демпфирования

различают

типы звеньев:

а) колебательное ( 0

1 ) ;

б) консервативное (

0 ) ;

в) апериодическое звено второго порядка (

1) .

Рассмотрим частотные характеристики апериодическое звено второго

порядка.

Амплитудно-фазовая характеристика запишется

W ( j )

k

.

(11.29)

2T 2 j2

1

T

W ( j

)

k

,

(11.30)

2T 2 )2

(2

T )2

(1

(

)

arc tg [2

T

(1

2T 2 )] ,

(11.31)

L( ) 20lg

W ( j

)

20lg k

20lg

(1

2T 2 )2

(2 T )2 . (11.32)

Проведем анализ частотных характеристик апериодического звена

второго порядка для коэффициента демпфирования 0.25

1.

0 , пересекают мнимую ось при

с

1 T

в точке с координатой k 2

и при

стремятся к началу координат. С

уменьшением

характеристика

деформируется, вытягиваясь вниз влево.

По АЧХ, описываемой выражением (11.30), видно, что при частоте

0

коэффициент передачи равен k и при частоте

равен нулю (рис. 11.7,б).

Для

3

0,707

коэффициент

передачи

убывает,

стремясь к нулю, с

1

2

2

увеличением .

Для

0.707

( 1,

2 ) АЧХ имеет на частоте

P

T

максимум,

равный

W ( j P )

k

, причем с уменьшением

2

2

1

2

максимум увеличивается, стремясь к величине k 2 на частоте

с

1 T .

Все ФЧХ,

описываемые выражением (11.31),

имеют на частоте

0

123

ФЧХ проходят через точку (

1 T ,

900 ). В окрестностях этой точки ФЧХ

идут тем круче, чем меньше коэффициент демпфирования .

jV

0

( )

U

W ( j

)

k

2

1

1

2

3

1

C

T

а

W ( j

)

1

2

3

1

2

3

L(

),ДБ

k

АЛАЧХ

20 lg k

1/T

C

1/ T

-40дБ/дек

б

),0

( ),0

г

(

0

900

1

2

3

900

1

2

3

180 0

180 0

в

д

а) при

0 — L( )

20 lg k ;

б) при

— L( )

20 lg k 40lg T .

горизонтальная прямая. Пересекаются они при сопрягающей частоте

c

1 T .

Все ЛФЧХ на сопрягающей частоте имеет значение фазы (

с )

900

и наклонены тем круче, чем меньше коэффициент демпфирования .

На сопрягающей частоте

c

1 T

отклонение

реальной

ЛАЧХ от

асимптотической равно

L ( с ) L( c ) LA ( c )

20 lg k 20 lg

(1

2 T 2 )2 ( 2 T )2

20 lg k

1

.

(11.33)

20 lg

2

характеристического уравнения T 2 p2 2

T p 1

0 :

2

1

p1,2

.

(11.34)

T

T

t

1

2

1

2

h (t) k 1 e T

cos

t

sin

t , (11.35)

T

T

1

2

k

t

1

2

t .

(11.36)

(t )

e T

sin

T

T

1

2

На рис. 11.8 приведены переходная и импульсная переходная

характеристики для колебательного звена ( 0.25

1 ) .

h(t)

1

2

3

(t)

0

t

0

t

а

б

h(t ) k 1

cos

t

;

(11.37)

T

( t )

k

sin

t

.

(11.38)

T

T

На рис. 11.9 приведены переходная и импульсная переходная

характеристики для консервативного звена (

0) .

h(t)

( t )

k

k

T

126

Для

апериодическое

звено второго

порядка

( 1)

и корни

характеристического уравнения получаются действительными: при

1 корни

равны — p1

p2

1 T , при

1 корни неравны — p1

p2 .

Для

1

операторный

коэффициент

передачи

(11.28),

переходная

W ( p)

k

k

,

(11.39)

T 2 p2

2 T p

1

(1

pT)2

t

h ( t ) k (1 2 e

T )

,

(11.40)

k

t

( t )

2

e

T .

(11.41)

T

W ( p)

k

,

(11.42)

(1

pT1 )(1

pT2 )

T1

t

T2

t

h ( t )

k (1

e

T1

e T2 ) ,

(11.43)

T1

T2

T1

T2

t

t

k

( t )

( e

T1 e

T2 )

,

(11.44)

T1

T2

где T1,2 T (

2

1 ) .

На рис. 11.10 приведены частотные и переходные характеристики

апериодического звена второго порядка для

1.

L( ), ДБ

-40дБ/дек

L(ω), ДБ

h(t)

-20дБ/дек

20 lg k

20 lg k

k

1

1

-40дБ/дек

C

1/ T

T1

T2

0

t

( ) , 0

(

) ,

0

( t )

900

90 0

180 0

180 0

0

t

а

б

в

x(p)

R

C

R3 C1

R2

R

L

y(p)

R

а

б

Рис. 11.11. Принципиальные схемы апериодического звена

второго порядка: а — на основе RLC-звена; б — на основе ОУ

W ( p)

1

k

,

(11.45)

p2 LC pRC 1

T 2 p2

2 T p 1

где T 2

LC;

RC ( 2T ) .

W ( p)

k

,

(11.46)

T 2 p2 2

T p 1

где k R1 R4 ; T

R2 K0 ; 1 / (2

T2 K0 );

y(t)

k

x(t)dt .

(11.47)

В операторной форме уравнение (11.47) примет вид

y( p)

(k / p) x( p) .

(11.48)

Соответственно передаточная функция

W ( p)

k

.

(11.49)

p

Амплитудно-фазовая характеристика

W ( j

)

j

k

.

(11.50)

Амплитудная, фазовая и логарифмическая амплитудная частотные

характеристики соответственно запишутся:

W ( j

)

k

,

(11.51)

(

)

900 ,

(11.52)

L ( ) 20 lg

W ( j

)

20 lg k 20 lg .

(11.53)

129

y ( p) W ( p )

1

k

,

(11.54)

p

p2

Тогда для переходной и импульсной переходной характеристик запишем:

h ( t )

L 1{k

p 2 }

k t .

(11.55)

( t )

h (t)

k .

(11.56)

Рассмотрим частотные

характеристики

интегрирующего звена

(рис. 11.12).

L( ), ДБ

jV

W ( j

)

-20дБ/дек

20 lg k

U

б

1

k 10

0

) , 0

г

(

(

) , 0

0

а

1

10

90 0

90 0

в

д

АФХ (рис. 11.12,а) совпадает с отрицательной мнимой полуосью.

АЧХ (рис. 11.12,б) — гипербола с асимптотами W ( j0)

и

W ( j

)

0 .

ФЧХ (рис. 11.12,в) — постоянная величина, равная минус 900 .

Из выражения (11.53) для L( ) 0 получим

k и при

1 найдем

L( )

20 lg k .

наклоном минус 20дБ/дек, проходящая через точку с абсциссой

1 и

ординатой 20 lg k и пересекающая ось частот при

k .

Перейдем к переходным

характеристикам

интегрирующего

звена

h(t)

( t )

k

0

t

0

t

а

б

RC-звена и операционного усилителя (рис. 11.14).

R

R

C

x(p)

C

y(p)

x(p)

y(p)

а

б