Государственный экзамен по специальности 160905 «Техническая эксплуатация транспортного радиооборудования»
..pdf
160
Рисунок 54 – Геометрическая интерпретация связи коэффициентов Фурье
161
ВОПРОС №55. РЯД ФУРЬЕ В КОМПЛЕКСНОЙ ФОРМЕ
Ряд Фурье в комплексной форме записывается как:
|
|
|
|
|
|
|
j 2 |
nt |
|
||
X (t) |
C |
e |
|
T |
, |
||||||
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
где Cn комплексный коэффициент Фурье: |
|
|
|
|
|
||||||
|
1 T |
|
|
j 2 |
nt |
|
|||||
C |
X (t)e |
|
|
T |
|
|
dt . |
||||
|
|
|
|
|
|
||||||
n |
T 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Для отрицательных номеров гармонических составляющих коэффициенты комплексного ряда Фурье определяются в виде:
|
|
|
1 T |
|
j 2 nt |
|
1 |
T |
|
j 2 |
nt |
|
|
|
|
||
|
C |
n |
X (t)e T dt |
X (t)e |
T |
|
dt |
C |
n |
, |
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
T 0 |
T |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
где Cn |
комплексно-сопряженная величина. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Спектром периодического радиосигнала называется множество комплексных коэффициентов Cn , отвечающих гармоническим колебаниям, со-
ставляющих эту функцию.
Амплитудным спектром сигнала называется множество модулей коэффициентов разложения. Фазовым спектром сигнала называют множество аргументов комплексных коэффициентов разложения (рисунок 55).
Рисунок 55 – Амплитудный и фазовый спектры
162
ВОПРОС №56. ПРЯМОЕ И ОБРАТНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
Периодическое продолжение импульса. Пусть u(t) – одиночный им-
пульсный сигнал конечной длительности. Дополнив его мысленно такими же сигналами, периодически следующими через некоторый интервал времени Т (рисунок 56), получим периодическую последовательность uпер(t), которая может быть представлена в виде комплексного ряда Фурье (56.1):
а – один импульс; б – условное периодическое представление
Рисунок 56 – Непериодический сигнал
|
|
|
|
|
u |
(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C e jn |
1t , |
|
(56.1) |
|||||
|
|
|
|
|
|
пер |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
с коэффициентами |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
( j |
) |
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
u(t)e |
jn 1t dt . |
|
(56.2) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||
Подставив формулу (56.2) в (56.1), запишем периодическую функцию: |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
u |
|
(t) |
|
|
1 |
2 |
|
|
|
u(t)e jn 1t dt e jn 1t . |
|
|
|||||||||||||
|
пер |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Так как период следования T |
|
2 |
|
|
|
|
|
, то |
|
|
|
|||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
u |
|
(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u(t)e jn |
1t dt e jn 1t |
. |
(56.3) |
|||||||||||
пер |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
2 n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Заметим, что при увеличении периода следования импульсов Т линейчатый спектр будет все более плотным. В предельном случае, когда период Т → ∞, равные расстояния между спектральными линиями уменьшатся настолько, что спектр станет сплошным, а амплитуды отдельных спектраль-
163
ных составляющих окажутся бесконечно малыми. При этом частота следова-
ния импульсов 1 |
2 |
0 |
и превращается в dω, дискретная переменная nω1 – |
|
|
||||
T |
||||
|
|
|
в мгновенную (текущую) частоту ω, а сумма трансформируется в интеграл. Периодическая последовательность импульсов uпер(t) станет одиночным импульсов u(t), и выражение (56.3) запишется в виде:
u t |
1 |
|
|
u t e j |
t dt e j t d . |
(56.4) |
||||
|
|
|
|
|||||||
2 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Здесь интеграл в скобках является комплексной функцией частоты. |
||||||||||
Обозначив его |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S( j ) |
u(t)e |
|
j |
t dt , |
(56.5) |
||||
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u(t) |
1 |
S( )e |
j |
t |
d . |
(56.6) |
|||
|
|
|
|
|
||||||
|
2 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Соотношения (56.5) и (56.6) носят фундаментальный характер в теории сигналов и называются, соответственно, прямым и обратным преобразованиями Фурье. Они связывают между собой вещественную функцию времени (сигнал) u(t) и комплексную функцию частоты S( ).
164
ВОПРОС №57. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ СВЕРТКИ И ПРОИЗВЕДЕНИЯ ДВУХ ФУНКЦИЙ ВРЕМЕНИ
Преобразование Фурье свертки.
Преобразование Фурье свертки равно произведению преобразований Фурье свертываемых функций:
t
F y t F x( )h(t )d ,
0
где h(t – ) – отклик на воздействие -функции.
y( ) |
x( )h(t |
)e j t d |
x( ) |
h(t |
)e j t dt d |
|
|
x( )h( )e j |
d |
h( ) x( )e j |
d |
h( )x( ), |
|
где h( ) – частотная характеристика, x( ) – спектр входного сигнала.
Преобразование Фурье произведения двух функций времени.
Рассмотрим произведение двух функций времени:
x3(t) = x1(t) x2(t).
Найдем их преобразование Фурье как
x3( ) = x1( ) x2( );
x (t)e j t dt |
x (t)x (t)e j t dt . |
|
3 |
1 |
2 |
Представляя функцию x1(t) в виде обратного преобразования Фурье
x (t) |
1 |
x ( )e j t d |
, |
|
|||
|
|||
1 |
2 |
1 |
|
|
|
|
запишем соотношение
|
x ( |
) |
1 |
|
x ( )e j |
t x (t)e j t dtd |
|
||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
3 |
|
2 |
|
1 |
2 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
x ( ) |
|
x (t)e j ( |
)t dtd |
1 |
x ( |
)x ( |
)d , |
|||
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
||||||||
2 |
1 |
|
2 |
|
|
|
2 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
из которого следует, что преобразование Фурье произведения двух функций времени представляет собой свертку спектров этих функций.
165
ВОПРОС №58. ФУНКЦИИ С ОГРАНИЧЕННЫМ СПЕКТРОМ И ТЕОРЕМА ОТСЧЕТОВ
Функцией с ограниченным спектром называется функция, спектральная плотность которой задана на конечном интервале оси частот.
Классическим примером функции с ограниченным спектром является идеальный низкочастотный сигнал (ИНС), который представляет собой реакцию идеального низкочастотного фильтра (ИНФ) на -функцию. Принимая, что спектральная плотность имеет единичную амплитуду (см. рисунок 58.1), найдем форму ИНС в виде обратного преобразования Фурье:
Рисунок 58.1 – Спектральная плотность
y(t) |
1 |
e j t d |
1 1 e j t |
в |
|||
|
|
в |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
в |
2 jt |
в |
|||
|
|
|
|
|
|
||
1 |
e j вt |
e j вt . |
|
|
|||
2 jt |
|||
|
|
Здесь в означает верхнюю частоту спектральной плотности. Воспользовавшись формулой Эйлера, получим:
y(t) |
1 |
2 j sin |
|
t |
в |
|
sin вt |
. |
|
в |
|
|
|||||
|
2 jt |
|
|
|
|
вt |
||
|
|
|
|
|
|
|||
Временная зависимость для ИНС изображена на рисунке 58.2.
Рисунок 58.2 – Временная зависимость для ИНС
Найдем теперь выражение для моментов времени, в которые ИНС равен
нулю
вt = n ; 2 fвt = n ; t |
n |
|
, |
2 f |
|
||
|
в |
||
где n = 1, 2, 3, …
Записав условие ортогональности двух ИНС, сдвинутых относительно друг друга
|
166 |
|
|
||
sin |
вt |
|
sin в (t |
t0 ) |
dt 0 , |
|
|
|
|
|
|
вt |
|
|
в (t |
t0 ) |
|
определим значение минимально возможного относительного сдвига двух ИНС, при котором они будут ортогональны:
t0 |
1 |
. |
|
||
|
2 fв |
|
Здесь t0 – минимально возможный сдвиг, приводящий к ортогонализации при n = 1. Данная ситуация изображена на рисунке 58.3.
Рисунок 58.3 – Минимально возможный сдвиг, приводящий к ортогонализации
Таким образом, функцию с ограниченным спектром можно представить набором отсчетов, взятых через интервал t0. При этом функция с ограниченным спектром может быть представлена рядом
|
|
sin |
в t |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
s(t) |
sK |
|
|
в |
|
, |
||
|
|
|
|
|
||||
|
|
n |
|
|||||
|
n |
t |
|
|
||||
|
|
в |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
в
который позволяет сформулировать теорему отсчетов.
Произвольный сигнал, спектр которого не содержит частот выше fв Гц, может быть полностью восстановлен, если известны отсчетные значения это-
го сигнала, взятые через равные промежутки времени |
t |
1 |
|
cек. |
|
|
|||
2 f |
|
|||
|
|
в |
||
167
ВОПРОС №59. ДИСКРЕТНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ И ЕГО СВОЙСТВА
Дискретной обработке подвергается аналоговый сигнал u(t) длительностью Ти, имеющий спектральную плотность S( ) (рисунок 59, а, б). Дискретизация сигнала производится периодической последовательностью дельтафункций (решетчатая функция)
|
|
|
N 1 |
|
|
|
|
y(t) |
(t k t) , |
(59.1) |
|
|
|
|
k 0 |
|
|
где N |
TИ |
– требуемое число отсчетов, отвечающих теореме Котельникова. |
|||
t |
|||||
|
|
|
|
||
Таким образом, дискретный сигнал принимает вид (рисунок 59, в):
N 1 |
N 1 |
|
|
uT (t) u(t) |
(t k t) |
uk (t k t). |
(59.2) |
k |
0 |
k 0 |
|
На основании выражения (59.2) можно сделать вывод, что спектр данного дискретного сигнала имеет периодическую структуру с периодом по оси
частот |
|
|
2 |
|
|
(рисунок 59, г). Периодически продолжая дискретный сигнал |
|||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
с периодом Ти (рисунок 59, д) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
unT(t + nTи) = uT(t); n = 0, |
1, 2, …, |
|
||||||||
разложим эту функцию в комплексный ряд Фурье |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 Tи |
|
1 Tи |
|
j 2 |
nt |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
u (t)e jn иt dt |
u (t)e Tи |
|
dt , |
(59.3) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
Tи 0 |
T |
Tи 0 |
T |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
где |
|
2 |
|
|
2 |
частота дискретизации спектра дискретного сигнала. |
|||||||||||||
и |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
T |
|
|
N t |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Для определения этих коэффициентов проделаем следующее. Заменив
параметр Ти = N |
t, а также введя безразмерную переменную y |
t |
, запишем |
|||||||||||||||||||||
t |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1 |
|
Tи N 1 |
|
j 2 nt |
|
|
|
|
1 N 1 |
|
N |
j 2 ny |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
Tи dt |
|
|
|
|
||||||||||||||||
C |
|
|
|
u (t k t)e |
|
|
|
|
u |
k |
|
( y k)e |
N dy . |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
n |
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Tи 0 k 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
N k |
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|||||
Используя фильтрующее свойство дельта-функции |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
N |
|
|
|
j 2 |
ny |
|
|
|
j 2 |
nk |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
( y |
k)e |
|
N |
|
dy |
|
e |
|
|
N |
, |
|
|
|
|
|||||
0
получим выражение для вычисления комплексных коэффициентов дискретного преобразования Фурье (ДПФ)
1 |
N 1 |
|
j 2 |
nk |
|
||
uk e |
N |
. |
|||||
Cn |
|
|
|||||
N k 0
168
а, б – аналоговый сигнал и его спектр; в, г – дискретный сигнал и его спектр;
д– периодическая последовательность дискретного сигнала; е – ДПФ сигнала
Рисунок 59 – Графики к анализу дискретного преобразования Фурье
Это фундаментальное соотношение называется дискретным преобразованием Фурье. Дискретное преобразование Фурье по существу представляет собой алгоритм вычисления гармонических составляющих спектра Cn по заданным дискретным отсчетам uk аналогового сигнала u(t), что значительно сокращает время обработки.
Свойства ДПФ:
1. ДПФ обладает свойством линейности – сумме (разности) дискретных сигналов отвечает сумма (разность) их ДПФ.
2. Коэффициент C0 представляет собой среднее значение (постоянную составляющую) всех дискретных отсчетов сигнала:
|
1 |
N 1 |
C0 |
|
uk . |
|
||
|
N k 0 |
|
3. Число определяемых коэффициентов Cn равно числу N за длительность сигнала Ти; при n = N коэффициент CN = C0.
169
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
К вопросам 1 – 22
1.Давыдов П.С. Техническая диагностика радиоэлектронных устройств
исистем. – М.: Радио и связь, 1988. – 256 с. (Вопросы 1-3, 5, 6,14, 16).
2.Козлов В.Г., Бацула А.П., Кобрин Ю.П. Основы проектирования электронных средств. Общие принципы проектирования. Томск: ТУСУР,
2005. – 150 с. (Вопрос 1).
3.Основы эксплуатации радиоэлектронной аппаратуры / Под ред. В.Ю.Лавриненко. – М.: Высшая школа, 1978. – 320 с. (Вопрос 2).
4.ГОСТ 27.002-89. Надёжность в технике. Основные понятия. Термины
иопределения. (Вопросы 3, 12-16).
5.Дубровский В.И. Эксплуатация средств навигации и управления воздушным движением. – М.: Воздушный транспорт, 1995. – 384 с. (Вопросы 4,
5, 12).
6.Служба ЭРТОС: Общие положения. Основные задачи. Функции. – Новокузнецк: ГУДП Аэронавигация Западной Сибири, 2004. – 6 с. (Вопрос 4).
7.Павленко К.И. Основы эксплуатации РЭО летательных аппаратов. – М.: Военное издательство, 1988. – 276 с. (Вопросы 5, 6).
8.Алексеенко А.Я., Адерихин И.В. Эксплуатация радиотехнических комплексов. – М.: Воениздат, 1980. – 223 с. (Вопросы 6, 7).
9.Салмина Н.Ю. Моделирование систем. – Томск: ТУСУР, 2002. – 197 с. (Вопрос 6).
10.Политехнический словарь / Под ред. акад. И.И.Артоболевского. – М: Сов. энциклопедия, 1977. – 608 с. (Вопрос 7).
11.Фёдоров В.К. и др. Контроль и испытания в проектировании и производстве радиоэлектронных средств. – М.: Техносфера, 2005. – 504 с. (Во-
просы 8, 10, 11).
12.Глудкин О.П. Методы и устройства испытаний РЭА и ЭВА. – М.: Высшая школа,1991. – 354 с. (Вопросы 8-11).
13.ГОСТ 16504-81. Система государственных испытаний продукции. Испытание и контроль качества продукции. Основные термины и определения (Вопрос 8).
14.Козлов В.Г. Теория надежности. Учебное пособие. – Томск: ТУСУР,
кафедра КИПР, 2004. – 138 с. (Вопросы 9, 12-14, 16, 17, 20, 22).
15.ГОСТ 24813-81. Испытание изделий на воздействие климатических факторов. Общие положения. (Вопросы 10, 11).
16.ГОСТ 16962-71*. Изделия электронной техники и электротехники. Механические и климатические воздействия. Требования и методы испытаний (Вопрос 10).
17.ГОСТ 24812-81. Испытание изделий на воздействие механических факторов. Общие положения (Вопрос 11).