Электродинамика сплошных сред

31

Z0 — волновое сопротивление вакуума.

С большой степенью точности эту величину можно считать волновым сопротивлением сухого воздуха.

На основе анализа решения волновых уравнений можно сделать следующие выводы:

1.В вакууме плоские волны распространяются со скоростью света, в остальных средах скорость меньше в r r раз.

2.Векторы электрического и магнитного полей не имеют продольных составляющих и перпендикулярны друг другу.

3.Отношение амплитуд электрического и магнитного полей равно волновому сопротивлении среды, в которой происходит распространение электромагнитных волн.

3.2Поляризация электромагнитных волн

Если в любой момент времени в любой точке пространства можно

определить положение векторов E è H в этом случае говорят, что излучение поляризованное. Рассмотренная выше плоская волна - линейно поляризо-

ванная. Плоскость, проходящая через вектор E и направление распространения, называется плоскостью поляризации. Линейная поляризация не единственно возможная. Рассмотрим другие виды поляризации в режиме гармонических колебаний.

Будем считать, что существуют одновременно две волны одной ча-

стоты. Векторы напряженности электрического поля у них взаимно перпен-

дикулярны. Волновые процессы имеют произвольный фазовый сдвиг

Освободимся от временной зависимости. Для этого из (3.9) и (3.10) получим

32

Возведем (3.12) в квадрат и сложим.

Получили каноническое уравнение эллипса (рис. 3.1). Траекторией конца вектора плоскости Z = const является эллипс.

Рассмотрим некоторые частные случаи:

1.

E1 E01 cost;

E2 E02 cos(t 2 ) E01 cost.

Левая эллиптическая поляризация (рис. 2.3в).

4. 2 - Правая эллиптиче-

ская поляризация, Чтобы получить волну с кру-

говой поляризацией, исходные волны должны быть ортогонально линейно поляризованы, иметь одинаковые амплитуды и фазовый сдвиг,

равный 2 . Волна с круговой поля-

ризацией может быть записана в виде:

E E(x0 cost y0 sint).

В комплексной форме можно записать

34

Затухание на расстоянии равном длине волны (λ) легко определить. Для

этого нужно разделить модуль напряженности поля в точке А на его значение в точке В: EA / EB exp(k ).

Если брать не мгновенное значение напряженности поля, а среднее, то вместо длины волны можно задавать любую длину l. Затухание L в неперах определяется по формуле:

L [í åï .] ln Eñð. A k l.

Eñð.B

Чаще затухание дается в децибелах:

L [äá] 20lg Eñð. À 20k l

Eñð.Â

L[äá] 8.69L[í åï .]

3.3.2 Коэффициент распространения в поглощающих средах

Выразим α и β через макроскопические параметры материальных сред -

0 a (1 tg ).

Возведем (3.19) в квадрат, приравняем действительные части и модули комплексных чисел в результате получим:

Это условие дает право воспользоваться разложением в ряд Тейлора:

затухания равна:

Распространение электромагнитных волн в проводящей среде приводит к тому, что:

1)Затухание частотно зависимо, и так как проводимость велика, то велико и затухание.

2)Проводящая среда является дисперсионной, так как в ней фазовая скорость зависит от частоты:

Анализ результатов п.3.3.3 и 3.3.4, показывает, что реальные проводники и диэлектрики резко различаются по характеру распространения электромагнитных волн.

Сравним параметры плоских волн, распространяющихся в вакууме и в

В качестве примера вычислим затухание волны, распространяющейся в меди при частоте 1 МГц. Коэффициент затухания (ослабления)

прохождении волной расстояния в 1 мм ее амплитуда уменьшается в e148 раз, т.е. примерно в 2.67 миллионов раз. Очевидно, что переменное электромагнитное поле радиотехнического диапазона практически не проникает в глубь проводника.

3.3.5 Поверхностный эффект

С учетом (3.18) пространственное распределение поля волны, распространяющейся в проводнике, оказывается резко апериодическим. Рассмотрим проникновение электромагнитного поля вглубь проводника. Определим зату-

Определим расстояние δ0, на котором поле затухает в e раз ( E0 / E1 e ):

36

Величина δ0 называется глубиной проникновения или толщиной скинслоя. Эффект проникновения поля на очень небольшую глубину в проводнике называется скин-эффектом или поверхностным эффектом. Чтобы оценить глубину проникновения поля, определим толщину скин - слоя меди на часто-

те f 1ÃÃö .Проводимость меди 6 107 Cèì / ì .

Видим, что глубина проникновения очень мала, и это важно с практической точки зрения.

4 ПЛОСКИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ В АНИЗАТРОПНЫХ СРЕДАХ

4.1 Связь между уравнениями Максвелла для макро – и микрополей [1,4]

Все рассмотренные выше формы уравнений Максвелла являются уравнениями макроскопической электродинамики. Эти уравнения спра-

ведливы для однородных безграничных изотропных сред. Поэтому-то они и должны быть дополнены материальными уравнениями, получаемыми на основе определенных микроскопических представлений («моделей») об элек- тронно-атомном строении вещества.

Основы современных атомистических представлений об электрических и магнитных свойствах вещества, позволяющие получить материальные уравнения электродинамики, были заложены в конце XIX века Лоренцем в

37

его классической электронной теории. Эта теория исходит из следующих положений:

1.Электричество имеет атомистическую структуру - состоит из дискретных неделимых элементарных зарядов, равных заряду электрона. Величина любого заряда (как отрицательного, так и положительного) является целой и кратной этому минимальному заряду.

Эти микрозаряды и связанные с их движением микротоки, будучи распределенными определенным образом в пустом пространстве (вакууме), как раз и составляют электромагнитную структуру вещества, и какие-либо другие источники электромагнитного поля отсутствуют. Дискретность их распределения выражается В том, что микроплотность заряда ( ) и микроплотность

тока ( j ) представляются с помощью δ-функций Дирака:

n

где en è vn — соответственно заряд и скорость n -й частицы. Сумми-

рование проводится по всем частицам: для электронов еп= е, а для атомных ядер - заряду электрона (со знаком плюс), умноженному на атомный номер. Легко видеть, что интеграл по некоторому объему

равен суммарному заряду внутри этого объема и, следовательно,

действительно представляет собой плотность заряда. Аналогично - для плотности тока.

2) Точными («исходными») законами природы, определяющими микро-

рактеризующемся определенными постоянными диэлектрической и магнит-

(Иногда эти уравнения называют уравнениями Максвелла-Лоренца.)

Макроскопические уравнения Максвелла являются лишь следствием этих «изначальных» микроскопических уравнений и получаются из последних на основе определенных более конкретных микроскопических моделей вещества в определенных приближениях.

38

3) Уравнения Максвелла—Лоренца (4.1) —(4.4) должны быть дополнены выражением для микроскопической силы Лоренца, действующей на каждый заряд еп со стороны микрополей:

и соответствующими уравнениями движения для микрочастиц:

Тогда уравнения (4.1) - (4.4) совместно с (4.6) и с учетом (4.5) образуют замкнутую систему, и, решив ее, в принципе можно было бы найти поля

Однако знание движения каждой частицы в макросистеме (с числом частиц порядка 1023 в 1 см3) — дело нереальное. Обычно мы имеем дело с усредненными величинами, рассматривая движения (поведение) систем с большим количеством частиц методами статистической физики. При этом и поля, создаваемые этими частицами, также рассматриваются в усредненном виде. В результате на смену уравнениям Максвелла - Лоренца приходят макроскопические (усредненные) уравнения Максвелла, а на смену уравнениям движения (4.6) - дополняющие их материальные уравнения.

4) В электронной теории Лоренца переход oт уравнений МаксвеллаЛоренца к макроскопическим уравнениям Максвелла осуществляется путем усреднения первых по, так называемым, физически бесконечно малому объему V и физически бесконечно малому интервалу времени t.

Произведем усреднение уравнений (4.1) - (4.4) отождествляя средние микроскопические поля с макроскопическими:

E E, H H .

В результате имеем уравнения

которые как раз и представляют собой наиболее общую форму макроскопических уравнений Максвелла, получающихся путем усреднения микроскопических уравнений Максвелла - Лоренца. Для решения уравнений (4.7)необходимо на основе тех или иных конкретных микроскопических мо-

макроскопических полей H è E , Эти зависимости будут играть роль ма-

териальных уравнений, дополняющих уравнения (4.7) до полной самосогласованней системы.

Последняя задача, выходит за рамки электродинамики и решается методами физики твердого тела, статистической физики и физической кинетики,

40

Введенные по формулам (4.11) совокупности чисел носят наименование

поненты могут быть как вещественными, так и комплексными величинами. В частных случаях некоторые из них обращаются в нуль.

В результате введения тензоров магнитной и диэлектрической проницаемости уравнения (4.8) для анизотропных сред приобретают вид:

В общем случае для определения поля в анизотропной среде необходимо решать уравнения Максвелла в предположении, что магнитная и диэлектрическая проницаемости являются тензорами типа(4.11). Эта задача отличается значительной сложностью. К счастью, в природе не известны вещества, у которых магнитная и диэлектрическая проницаемости одновременно имеют тензорный характер. Поэтому в дальнейшем среды, обладающие или магнитной, или диэлектрической анизотропией, целесообразно рассматривать раздельно. Первые из них характеризуются уравнениями

Следует отметить, что проводимость также может быть тензорной величиной. Для среды с тензорной проводимостью закон Ома в дифференци-

альной форме принимает вид: j E. Определение тензора проводимости σ

аналогично (4.11).

Введение тензорных величин позволяет обобщить основные соотношения на случай анизотропных сред. Необходимо только иметь в виду, что энергия электромагнитного поля в анизотропной среде определяется выражением

W1 (E D H B) dV . 2 V

Типичными представителями анизотропных сред, наиболее часто встречающихся в практике, являются кристаллы, намагниченные постоянным полем феррит и ионизированный газ (плазма). Рассмотрению этих сред посвящены следующие параграфы этой главы.