Электродинамика сплошных сред

21

скими. В буквальном переводе "монохроматический" означает "одноцветный". Название взято из оптики: как известно, каждому цвету соответствуют колебания определенной частоты.

Анализ гармонических процессов существенно упрощаете при использовании метода комплексных амплитуд. В этом случае вместо любой скалярной функции, изменяющейся по закону

m cos( t ) ,

гдe m - амплитуда; - начальная фаза; 2 f 2 / T , à f è T - частота и период гармонического колебания. Вводится в рассмотрение комплексная функция

me j( t ) me j t

Величину m me j принято называть комплексной амплитудой функции ψ. Для перехода от комплексной функции к исходной функции нужно взять от реальную часть

Re Re( me j t )

Определение комплексных функций во многих случая оказывается проще определения исходных функций. Это объясняется тем, что дифференцирование комплексной функции во времени равносильно умножению ее на

2.4.2 Уравнения Максвелла в комплексной форме

Используя МКА заменим в первых двух уравнениях Максвелла, записанных в дифференциальной форме, векторы поля комплексными представлениями

Сократив на ejωt, избавимся от временной зависимости и перейдем к комплексным амплитудам

23

электриками - среды, в которых основным является ток смещения. Такое деление сред на проводники и диэлектрики имеет относительный характер, так как существенно зависит от скорости изменения электромагнитного поля. В случае монохроматического поля комплексные амплитуды векторов плотности тока проводимости и плотности тока смещения равны соответственно

| jm,ñì . |

и является критерием деления сред на проводники и диэлектрики. Если tg 1, среду называют проводником, если tg 1 - диэлектриком. Из со-

отношения (2.23) следует, что диэлектрические свойства сильнее проявляются при более высоких частотах.

Металлы имеют большую удельную проводимость. Например, у холоднотянутой меди σ = 5.65·107См/м, у железа σ =1.0·107См/м. Поэтому у металлов tg 1 на всех частотах, используемых в радиотехнике. У типичных

диэлектриков, наоборот, удельная проводимость очень мала, например, у кварца σ = 2·10-17См/м; у стекла σ = 2·10-12См/м.

Существует ряд сред, занимающих промежуточное положение между проводниками и диэлектриками, например, вода, почва и др. (у морской воды

div j / t 0 ) вытекает важное следствие. Рассмотрим безграничную однородную изотропную среду, обладающую отличной от нуля проводимостью

( 0 ). Так как в этом случае div j div E ( / a )divD ( / a ) , то уравнение непрерывности принимает вид / t ( / a ) 0. Решая это уравне-

ние, получаем

где 0 0 (x, y, z) - объемная плотность заряда в начальный момент

времени t 0. Таким образом, при 0 объемная плотность зарядов в каждой точке, где 0 0 , экспоненциально убывает со временем. Промежуток

времени τ, в течение которого заряд в каком-либо малом элементе объема уменьшается в e раз, называется временем релаксации. Приравнивая единице

показатель степени в формуле (1.24), получаем выражение a . Время

24

релаксации для хорошо проводящих сред очень мало. Например, для металлов τ имеет порядок 10-18 c; для морской воды - 2∙10 10 с. Даже при

= 2∙10-4 См/м (дистиллированная вода) τ не превышает 10-5 с.

То, что объемная плотность заряда в каждой точке внутри проводящей области, например, внутри металлического объекта, экспоненциально убывает со временем, не означает, конечно, что заряды исчезают. Если рассматриваемая область окружена непроводящей средой, заряды задерживаются на границе области (например, на внешней поверхности металлического объекта), образуя весьма тонкий заряженный слой. Однако этот процесс не сопровождается появлением зарядов во внутренних точках проводящей области, в которых в начальный момент они отсутствовали.

2.6Волновые уравнения [2-5, 6]

При решении прямых задач электродинамики требуется найти векторы

E è H по известным (заданным) сторонним источникам. Предположим, что

сторонние источники расположены безграничной однородной изотропной среде. Для упрощения преобразований будем считать, что σ = 0. Записывая уравнения Максвелла для данного частного случая, получаем

Определение векторов E è H непосредственно из системы уравнений (1.25) затруднительно. Поэтому целесообразно преобразовать ее, исклю-

чив либо вектор E , либо вектор H , т.е. получить из нее такое дифференци-

альное уравнение, в которое входил бы только один из векторов E или H . Для этого возьмем ротор от обеих частей второго уравнения системы (2.25) и изменим порядок дифференцирования по времени и по пространственным координатам. Учитывая известное из векторного анализа равенство

Каждое из векторных уравнений (2.27) и (2.28) эквивалентно трем скалярным уравнениям, получающимся при проецировании векторного уравнения на оси X, У и Z декартовой системы координат. Такие уравнения принято

25

называть неоднородными уравнениями Даламбера или неоднородными волновыми уравнениями.

В случае монохроматического поля полная система уравнений Максвелла в комплексной форме, учитывающая сторонние электрические источники, имеет вид

Предположим, что среда, заполняющая рассматриваемую часть пространства, является однородной и изотропной. Возьмем ротор от обеих частей

Очевидно, что такие же уравнения связывают между собой комплекс-

. . .

ные амплитуды Em , H m , jmñò ., mñò ..

Если в рассматриваемой области отсутствуют сторонние источники, уравнения (2.30) и (2.31) упрощаются, так как правая часть этих уравнений будет равна нулю.

Для перехода к случаю среды без потерь в уравнениях (2.29)-(2.31)

нужно положить a a , a a , k k a a .

Уравнения (1.30) и (1.31) называют неоднородными векторными уравнениями Гельмгольца. Соответственно уравнения (2.30) и (2.31) при нулевой правой части (сторонние источники отсутствуют) становятся

однородными векторными уравнениями Гельмгольца.

2.7Граничные условия для электромагнитного поля [2-5, 6]

Уравнениями Максвелла в дифференциальной форме удобно пользоваться при анализе электромагнитных полей в средах, параметры a , a , ко-

торых - непрерывные функции координат (или не зависят от координат). На практике, однако, рассматриваемая область может состоять из двух (и более) разнородных сред. При анализе макроскопических свойств поля обычно считают, что параметры a , a , (или по крайней мере один из них) на границе

раздела сред меняются скачком. При этом пользоваться уравнениями Максвелла в дифференциальной форме на границе раздела неудобно, и для изуче-

27

касательные составляющие векторов D è B наоборот претерпевают раз-

рыв, величина которого определяется отношением электрических и магнитных проницаемостей соответственно:

Для случая, когда по границе раздела протекают поверхностные токи

( jSN ), векторы напряженности магнитного поля H претерпевают разрыв при переходе из одной среды в другую: H1 H2 jSN .

Таким образом, на поверхности раздела любых двух изотропных сред должны выполняться следующие граничные условия:

Уравнения (2.38) составляют полную систему граничных условий. Они справедливы для любых электромагнитных процессов, рассматриваемых в макроскопической электродинамике. Не включенные в систему (2.38) граничные условия для составляющих D , En , B ,è Hn являются следствиями со-

отношений (2.38) и материальных уравнений.

При изучении переменных электромагнитных полей вблизи поверхно-

сти металлических тел часто предполагают, что рассматриваемое тело является идеально проводящим.

При этом граничные условия упрощаются, так как в среде с поле отсутствует. Действительно, плотность тока проводимости должна быть ограниченной величиной. Поэтому из закона Ома в дифференциальной форме следует, что напряженность электрического поля внутри идеального проводника должна быть равна нулю. Полагая во втором уравнении Максвел-

ла E 0 , получаем B / t 0 . Так как поле считается переменным, то по-

3 ПЛОСКИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ В ОДНОРОДНОЙ ИЗОТРОПНОЙ СРЕДЕ [2-5, 6]

Плоской волной называют поперечную электромагнитную волну,

векторы E è H , которой перпендикулярны направлению распростра-

нения волны.

При этом различают плоскую волну поляризованную (линейно) и неполяризованную. Плоская (линейно) поляризованная волна является простей-

28

шим случаем волн электромагнитного поля. Она соответствует полю, векторы

E è H которого являются функциями только одной переменной, напри-

мер z. Физически это означает, что векторы E è H лежат в каждое мгно-

вение в плоскости, перпендикулярной к направлению распространения волны, а их модули постоянны на всей плоскости. Такая волна является абстрактным понятием, однако во многих случаях очень близка к реальности. Например, если рассматривается малый участок большого шара, образуемого фронтом радиоволны удаленного точечного источника. Если векторы

E è H электромагнитной волны являются синусоидальными функциями времени, то такую волну называют монохроматической.

3.1Волновой характер электромагнитного поля. Плоские волны

Рассмотрим основные свойства плоской волны, распространяющейся в безграничной однородной изотропной среде. Источники, создающие волну, находятся за пределами рассматриваемой области (условно) В этом случае

плоскости P . Предположим, что источник O так далеко от P, что OM1 ║OM2. Это значит, что все точки в плоскости P, являющаяся фронтом волны, т.е. при перемещении в плоскости P не происходит изменения состояния процесса, т.е. поле не зависит от координат x и у. В этом случае трехмерные уравнения преобразуются в однородные

Решение волновых уравнений для реальных векторов хорошо известно [1,2,3] и имеет следующий вид:

30

Заменяем векторные уравнения скалярными в декартовой системе координат