3.11 АВТОМАТЫ С МАГАЗИННОЙ ПАМЯТЬЮ

107

Все КС-языки определяются недетерминированными автоматами с ма-

газинной памятью, а практически все языки программирования определяют-

ся детерминированными автоматами с магазинной памятью.

3.11.1 ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Автомат с магазинной памятью (МП-автомат) – это семерка

P = (Q, Σ, Γ, δ, q0, Z0, F),

где:

–Q – конечное множество символов состояния, представляющих все-

возможные состояния управляющего устройства;

–Σ – конечный входной алфавит;

–Γ – конечный алфавит магазинных символов;

–δ – отображение множества Q(Σ{e}) Γ во множество конечных подмножеств множества Q Γ*;

–q0 Q – начальное состояние управляющего устройства;

–Z0 Γ – символ, находящийся в магазине в начальный момент

(начальный символ);

–F Q – множество заключительных состояний.

Конфигурацией МП-автомата P называется тройка, содержащая (q, w,

α) Q Σ* Γ*, где:

–q – текущее состояние устройства;

–w – неиспользованная часть входной цепочки; первый символ це-

почки w находится под входной головкой; если w = e, то считается,

что вся входная лента прочитана;

–α – содержимое магазина; самый левый символ цепочки α считается верхним символом магазина; если α = e, то магазин считается пу-

стым.

108

Такт работы МП-автомата P будет представляться в виде бинарного отношения , определенного на конфигурациях. Будем писать

(q, aw, Zα) (q', w, α),

если множество δ(q, a, Z) содержит (q', ), где q, q'Q, a Σ{e}, w Σ*, Z Γ и α, Γ*.

Если δ(q, a, Z) = (q', ), то говорят о том, что МП-автомат P, находясь в состоянии q и имея a в качестве текущего входного символа, расположенного под входной головкой, а Z – в качестве верхнего символа магазина, может:

–перейти в состояние q';

–сдвинуть головку на одну ячейку вправо;

–заменить верхний символ магазина цепочкой магазинных симво-

лов.

Если = e, то верхний символ удаляется из магазина, тем самым мага-

зинный список сокращается.

Если a = e, будем называть этот такт e-тактом. В e-такте текущий вход-

ной символ не принимается во внимание, и входная головка не сдвигается.

Однако состояние управляющего устройства и содержимое памяти могут из-

мениться. Заметим, что e-такт может происходить тогда, когда вся цепочка прочитана.

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·

Начальной конфигурацией МП-автомата P называется конфигурация вида (q0, w, Z0), где w Σ*, т.е. управляющее устройство находится в начальном состоянии, входная лента содержит цепочку, которую нужно распознать, и в магазине есть только начальный символ Z0. Заключительная конфигура-

ция – это конфигурация вида (q, е, α), где q F и α Γ*.

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·

109

Говорят, что цепочка w допускается МП-автоматом P, если (q0, w,

Z0) * (q, е, α) для некоторых q F и α Γ*. А L(P) – т.е. язык, определяемый

автоматом P, – это множество цепочек, допускаемых автоматом P.

Основное свойство МП-автоматов можно сформулировать следующим образом: «То, что происходит с верхним символом магазина, не зависит от того, что находится в магазине под ним».

3.11.2ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ МП-АВТОМАТОВ И КС-ГРАММАТИК

Втеории перевода можно показать, что языки, определяемые МП-

автоматами, – это в точности КС-языки. Начнем с построения естественного

(недетерминированного) «нисходящего» распознавателя, эквивалентного данной КС-грамматике.

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·

Пусть G = (N, Σ, P, S) – КС-грамматика. По грамматике G

можно построить такой МП-автомат R, что Le(R) = L(G).

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·

Доказательство. Построим R так, чтобы он моделировал все левые вы-

воды в G.

Пусть R = ({q}, Σ, N Σ, δ, q, S, ), где δ определяется следующим об-

разом:

1)если A a принадлежит P, то δ(q, e, A) содержит (q, α);

2)δ(q, a, a) = {(q, e)} для всех a Σ.

Мы хотим показать, что A m w тогда и только тогда, когда (q, w, A) n

(q, e, e) для некоторых n, m 1.

Необходимость этого условия докажем индукцией по m. Допустим, что

A m w. Если m = 1 и w = a1a2…ak (k 0), то

(q1, a1…ak, A) (q, a1 …ak, a1…ak) k (q, e, e).

110

Теперь предположим, что A m w для некоторого m > 1. Первый шаг этого вывода должен иметь вид A X1X2…Xk, где Xi mi xi для некоторого mi

< m, 1 i k и x1x2…xk = w. Тогда (q, w, A) (q, w, X1X2…Xk). Если Xi N, то,

по предложению индукции, (q, xi, Xi) * (q, e, e).

Если Xi = xi N , то (q, xi, Xi) (q, e, e). Объединяя вместе эти последова-

тельности тактов, видим, что (q, w, A) + (q, e, e).

Для доказательства достаточности покажем индукцией по n, что, если

(q, w, A) n (q, e, e), то A + w.

Если n = 1, то w = e и A e принадлежит P. Предположим, что утвер-

ждение верно для всех n' < n. Тогда первый такт, сделанный МП-автоматом

R, должен иметь вид (q, w, A) (q, w, X1X2…Xk), причем (q, xi, Xi) ni (q, e, e)

для 1 i k и x1x2…xk = w. Тогда A X1X2…Xk – правило из P, и, по предло-

жению индукции, Xi + xi для Xi N. Если Xi Σ, то Xi 0 xi. Таким образом,

A X1…Xk

* x1X2…Xk* x1x2X3…Xk

……………

* x1x2…xk–1Xk

* x1x2…xk–1xk = w

– вывод цепочки w из A в грамматике G.

····················································································

Контрольные вопросы по главе 3

·· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·

1.Способы определения языков.

2.Грамматики.

111

3.Грамматики с ограничениями на правила.

4.Распознаватели.

5.Регулярные множества, их распознавание и порождения.

6.Алгоритм решения системы линейных выражений с регулярными выражениями.

7.Регулярные множества и конечные автоматы.

8.Проблема разрешимости.

9.Графическое представление конечных автоматов.

10.Минимизация конечных автоматов.

11.Алгоритм построения канонического конечного автомата. Кон-

текстно-свободные грамматики.

12.Деревья выводов. Преобразование КС-грамматик.

13.Алгоритм устранения недостижимых символов.

14.Алгоритм устранения бесполезных символов.

15.Алгоритм преобразования в грамматику без e-правил. Алгоритм устранения цепных правил.

16.Грамматики без циклов. Нормальная форма Хомского. Алгоритм преобразования к нормальной форме Хомского.

17.Нормальная форма Грейбах.

18.Алгоритм устранения левой рекурсии.

19.Автоматы с магазинной памятью.

112

4 КС-ГРАММАТИКИ И СИНТАКСИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ СВЕРХУ

ВНИЗ

В практических приложениях нас больше будут интересовать детерми-

нированные МП-автоматы, т.е. такие, которые в каждой конфигурации могут сделать не более одного очередного такта. Языки, определяемые детермини-

рованными МП-автоматами, называются детерминированными КС-языками,

а их грамматики – КС-грамматиками [3, 4, 5].

МП-автомат P = (Q, Σ, Γ, δ, q0, Z0, F) называется детерминированным

(ДМП), если для каждых q Q и Z Γ

–либо δ(q, a, Z) содержит не более одного элемента для каждого a Σ

и δ(q, e, Z) = ,

–либо δ(q, a, Z) = для всех a Σ и δ(q, e, Z) содержит не более одно-

го элемента.

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·

Так как ДМП-автоматы содержат не более одного элемента,

мы будем писать δ(q, a, Z) = (r, ) вместо δ(q, a, Z) = {(r, )}.

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·

Как уже отмечалось, однотактовые детерминированные МП-автоматы порождают КС-языки, которые описываются КС-грамматиками. Те, в свою очередь, являются частным случаем s-грамматик [2, 6], представляющих со-

бой грамматики, в которых:

1)правые части каждого порождающего правила начинаются с терми-

нала;

2)в тех случаях, когда в левой части более чем одного порождающего правила появляется нетерминал, соответствующие правые части начинаются с различных терминалов.