Раздел 12. Законы распределения и числовые характеристики функции случайных величин

Пусть Х – непрерывная случайная величина, задана ее плотность распределения W(x). Известно, что другая случайная величина Y связана с нею функциональной зависимостью

Y (x) ,

где – дифференцируемая функция, монотонная на всем участке возможных значений аргумента Х. Тогда плотность распределения случайной величины Y выражается формулой

g( y) W[x ( y)] ( y) ,

где ( y) – функция, обратная по отношению к ( y) .

Если – функция немонотонная, то обратная функция неоднозначна и плотность распределения случайной величины определяется в виде суммы стольких слагаемых, сколько значений (при данном у) имеет обратная функция

k

g( y) W[x i ( y)] i ( y) ,

i 1

где 1( y), 2 ( y), 3 ( y),..., k ( y) – значения обратной функции для данного у. Плотность распределения суммы двух случайных величин

Z = Х + Y,

с плотностью распределения W(x, y), выражается любой из формул:

W (z) W (x, z x)dx;

W (z) W (z y, y)dy.

Плотность распределения произведения Z = Х Y находится по формуле:

Если Х – дискретная случайная величина, ряд распределения которой задан, а величина Y связана с Х функциональной зависимостью Y ( X ) , то математическое ожидание величины Y равно

88

Для непрерывных случайных величин аналогичные формулы имеют вид

mz M [ ( X ,Y )] (x, y)W (x, y)dxdy;

Dz D[ ( X ,Y )] [ (x, y)]2W (x, y)dxdy mz2.

Если c – неслучайная величина, то M[c] = с; D[c] = 0. Если c – неслучайная величина, а Х – случайная, то

M[cХ] = cM[Х]; D[cX ] c2D[ X ].

Теорема сложения математических ожиданий

Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме их математических ожиданий

M[Х + Y] = M[Х] + M[Y]

89

и в общем случае

Математическое ожидание линейной функции нескольких случайных величин

n

Y ai Xi b,

i 1

где ai и b – неслучайные коэффициенты, равно той же линейной функции от их математических ожиданий

где mxi M[ Xi ] (i = 1,…,n).

Теорема умножения математических ожиданий

Математическое ожидание произведения двух случайных величин (Х, Y) выражается формулой

M[X ,Y ] M[X ]M[Y ] Kxy ,

где Kxy – ковариационный момент величин (Х, Y).

Математическое ожидание произведения двух не коррелированных случайных величин (Х, Y) равно произведению их математических ожиданий

Теорема сложения дисперсий

Дисперсия суммы двух случайных величин выражается формулой

D[X Y ] D[X ] D[Y ] 2Kxy .

Дисперсия суммы нескольких случайных величин выражается формулой

90

Дисперсия суммы двух некоррелированных случайных величин (Х, Y) равна сумме их дисперсий

D[X Y ] D[X ] D[Y ]

и в общем случае для некоррелированных случайных величин X1, X2...Xn

Пример 1

Дискретная случайная величина Х задана законом распределения

Найти закон распределения случайной величины Y X 2 .

Решение. Задать закон распределения случайной величины – значит, задать ее возможные значения и вероятности, с которыми их принимает случайная величина. Возможные значения функции мы получим, если подставим возможные значения аргумента, причем две пары значений отличаются лишь знаком. Отличающиеся лишь знаком возможные значения Х дают одно и то же значение случайной величины Y, причем вероятность того, что Y примет это возможное значение, равна сумме вероятностей того, что случайная величина Х примет соответствующее возможные значения, отличающиеся знаком

y1 ( 2)2 4; y2 ( 1)2 1.

Пример 2

Случайная величина Х распределена по закону Коши с плотностью

Найти плотность распределения обратной величины Y X1 .

Решение. Плотность распределения функции Y и аргумента Х связаны между собой соотношением

случайная величина Y также распределена по закону Коши.

Пример 3

Случайная величина Х равномерно распределена в интервале (0,2), случайная величина Y равномерно распределена в интервале (–1, 1); Х и Y независимы. Найти плотность распределения величины Z = Х + Y.

Решение. Плотность распределения суммы случайных величин Х и Y выражается формулой

W (z) W (x, z x)dx .

Поскольку Х и Y независимы, то последнюю формулу запишем в виде

12.5. Определить плотность распределения случайной величины Y X ,

если Х – нормальная случайная величина, у которой mx 0 .

а) случайные величины Х и Y независимы и подчиняются одному и тому же закону нормального распределения с математическим ожиданием, равным нулю, и средним квадратическим отклонением, равным .

б) Х и Y – независимые нормальные случайные величины, плотность распределения которых

12.7. Дан случайный вектор (Х, Y) с плотностью W(x,y). Найти плотность вектора (U, V), где U = x + y, V = x – y.

12.8. На плоскости даны два независимых случайных вектора: орт с фазой, равномерно распределенной в промежутке (0,2), и произвольный случайный вектор. Как распределена фаза суммы этих векторов?

12.9. Дана последовательность zi независимых случайных величин,

принимающих значение 0 и 1 с вероятностями 0,5. Найти распределение слу-

12.10. Имеется непрерывная случайная величина Х с плотностью распределения W(x). Найти закон распределения случайной величины

и ее числовые характеристики.

12.11. Какому функциональному преобразованию надо подвергнуть случайную величину Х, распределенную равномерно в интервале (0,1), чтобы получить случайную величину Y, распределенную по показательному закону

g( y) e y (при y > 0)?

95

12.12. Дискретная случайная величина Х имеет ряд распределения

Y 2X .

12.13. Ряд распределения случайной величины Х имеет вид

Вычислить математическое ожидание и дисперсию случайной величины

Y 1 X 2 .

12.14. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины Х равны соответственно mx и Dx . Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Y = – Х.

12.15. Система случайных величин Х, Y подчинена закону нормального распределения

ем Y = 2 – 3Х. Числовые характеристики величины Х заданы: mx 1, Dx 4.

96

Определить: а) математическое ожидание и дисперсию величины Y; б) корреляционный момент и коэффициенты корреляции величины Х и Y.

12.18. Показать, что для одностороннего нормального распределения

тическое ожидание функции Y X 2 .

12.20. Имеется две независимые случайные величины Х и Y. Величина Х распределена по нормальному закону

Величина Y распределена равномерно в интервале (0,2). Определить:

а) М[Х + Y]; б) M[ХY]; в) M[ X 2 ]; г) M[ X Y 2 ]; д) D[Х + Y]; е) D[Х – Y]. 12.21. Какому условию должны удовлетворять независимые случайные

величины Х и Y, чтобы D[ХY] = D[Х]D[Y]?

12.22. Светящаяся точка, изображающая наблюдаемый объект на круглом экране радиолокатора, может случайным образом занимать любое положение на экране (плотность распределения постоянна). Диаметр экрана равен D. Найти математическое ожидание расстояния R от светящейся точки до центра экрана.

12.23. На оси абсцисс имеются два соседних отрезка длиной по единице; в пределы одного из них случайным образом попадает точка Х, в пределы второго – точка Y, причем координаты точек Х и Y независимы. Плотность распределения каждой из случайных величин Х, Y в пределах соответствующего отрезка постоянна. Найти математическое ожидание, дисперсию и второй начальный момент расстояния R между ними.

97

12.24. Случайные величины Х и Y имеют числовые характеристики mx 1, my 2, Dx 0,01, Dy 0,04, rxy 0,5 . Определить математическое ожи-

дание случайной величины Z = 2ХY + 1.

12.25. Имеется случайная величина Х с плотностью распределения W(x). Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Y X .

12.26. Найти математическое ожидание mxy и дисперсию 2xy произведе-

ния двух независимых случайных величин Х и Y, равномерно распределенных соответственно в промежутках (a,b) и (c,d).

12.27. Число элементов электронной машины, выходящих из строя за некоторый промежуток времени, подчинено закону Пуассона с параметром а. Длительность ремонта машины зависит от числа m вышедших из строя эле-

ментов и определяется формулой tm T (1 e am ) . Определить математическое ожидание длительности ремонта и ущерба, причиненного простоем ма-

шин, если ущерб пропорционален квадрату длительности ремонта Sm ktm2 . 12.28. Стрельба по некоторой цели начинается в момент ее обнаружения

и продолжается вплоть до некоторого момента t*, в который цель покидает зону обстрела и становится уже недоступной. Момент T, в который обнаруживается цель, представляет собой случайную величину, распределенную равномерно в промежутке от 0 до t*. Число выстрелов, которое может быть осуществлено по цели за время ее обстрела t* – T, есть случайная величина, распределенная по закону Пуассона с математическим ожиданием a (t * T ) . При каждом выстреле цель поражается с вероятностью р. Найти полную вероятность поражения цели с учетом случайности момента обнаружения.

12.29. Угол упреждения Y при воздушной стрельбе определяется форму-

лой

Y UV sin X ,

где U – скорость цели, V – скорость полета снаряда, Х – курсовой угол цели. Найти математическое ожидание my и среднее квадратическое отклонение

Dy угла упреждения, если Х – случайная величина, равномерно распределен-

98

ная в интервале 600–700 км/час, а V = 1 км/см и постоянна (U и Х независимы).

12.30. Случайная величина Х подчиняется нормальному закону распределения

12.32. Случайная величина Х имеет математическое ожидание mx и дис-

персию 2x . Величина Y связана с Х соотношением Y = 3Х – 2, величина Z, в свою очередь, связана с Х соотношением Z = 3 – 4Х. Определить: а) корреляционный момент величин Х и Z; б) коэффициент корреляции Y и Z.

99