Введение в профессию 11.03.04, 09.03.01
.pdf
Введение в профессию 11.03.04, 09.03.01
Контрольные вопросы:
1.Чем отличаются понятия интерполяция и регрессия?
2.Какими средствами решения задач регрессии обладает MathCAD?
3.Как оценит погрешность интерполяции? Регрессии?
4.В чем идея сплайн-интерполяции?
5.Связана ли интерполяционная точность с количеством точек разбиения? Как?
6.Какими средствами решения задач интерполяции обладает MathCAD?
7.Связана ли интерполяционная точность с величиной шага сетки?
101
Глава 10. Обыкновенные дифференциальные уравнения
10.ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Большинство научно-технических задач в области электроники и наноэлектроники (особенно, относящихся к анализу динамических систем и их математическому моделированию) базируются на решении систем обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). Практически любой физический закон, включающее величины, изменяющиеся с течением времени содержит информацию о скорости изменения этих величин (производные), а следовательно описывается дифференциальными уравнениями.
Дифференциальным уравнением (ДУ) называется уравнение, включающее в себя не только неизвестные функции, но и их производные относительно некоторых свободных переменных.
Решить дифференциальное уравнение – это записать в явном виде все функции, входящие в ДУ и все их производные, сводящие уравнение к тождеству. Иногда решения ищутся в виде явных формул, но чаще их удается представить лишь в приближенном виде или же получить о них качественную информацию. Часто бывает трудно установить, существует ли решение вообще, не говоря уже о том, чтобы найти его, в этой связи использование математических пакетов незаменимо.
Если в уравнение входит только первая производная, то оно называется ДУ первого порядка, если еще и вторая производная, то – второго, и т.д.
Если уравнение имеет производные относительно только одной свободной переменной, то оно называется обыкновенным дифференциальным уравнением
(ОДУ), а если оно включает в себя производные по различным переменным, то называется дифференциальным уравнением в частных производных (ДУЧП). В этом курсе ДУЧП не рассматриваются.
|
dy(t) |
|
d 2 y(t) |
|
d n y(t) |
|
|
||||||
Общий вид ОДУ n-ного порядка: F t, y(t), |
|
, |
|
|
|
|
,..., |
|
|
|
|
0 . |
(59) |
|
|
|
2 |
|
|
n |
|
||||||
|
dt |
|
|
dt |
|
|
dt |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Рассмотрим для начала ОДУ первого порядка: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F t, y(t), y (t) 0 , где |
y (t) |
dy(t) |
. |
|
|
|
|
|
(60) |
||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
||
Если в уравнении (60) удается явно выразить производную |
y (t) |
и вынести ее в левую |
|||||||||||
часть, то такое дифференциальное уравнение называется явно заданным: |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(61) |
y (t) f (t, y(t)) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Процесс решения дифференциального уравнения называется интегрированием и это понятно, ведь для нахождения первообразной функции по известной производной требуется ее проинтегрировать. Но этим решение ДУ не ограничивается (!), поскольку известно, что первообразную можно найти только с точностью до константы:
dy(t) |
|
||
|
|
dt y(t) C . |
(62) |
|
|||
dt |
|
|
|
Таким образом, решением задачи (60) является не одна функция |
y(t) , а целое |
||
семейство таких функций, отличающихся константой (а в некоторых случаях – целый набор таких семейств функций). Каждая отдельная функция называется интегральной кривой (или частным решением), в то время как зависимость описывающая все (!) возможные частные решения – называется общим решением.
Решить ДУ, это значит описать именно общее решение, однако на практике, в задачах электродинамики и т. п., зачастую требуется выбрать из семейства решений одно единственное, обладающее дополнительными свойствами. Эти свойства позволяют задаться точным значением константы С из (62). Такая постановка задачи называется задачей Коши, а дополнительные свойства частного решения как правило задаются начальными условиями.
102
Введение в профессию 11.03.04, 09.03.01
Задача Коши для ОДУ первого порядка формулируется таким образом:
Найти функцию y(t) , удовлетворяющую ОДУ |
dy(t) |
f (t, y) |
|
dt |
|||
|
(63) |
и начальным условиям y(t0 ) y0 ,
где y0 – значение функции y(t) в момент времени t0.
Из курса высшей математики (раздел «Теория дифференциальных уравнений») известно, что ОДУ n-ного порядка (59) может быть без ограничения общности сведено к системе n дифференциальных уравнений первого порядка. Для этого достаточно произвести следующие обозначения (замены):
y (t) y(t), |
y (t) |
dy(t) |
, y (t) |
d 2 y(t) |
, ..., y |
|
(t) |
d n 1 y(t) |
. |
(64) |
|
|
n |
|
|||||||
1 |
2 |
dt |
3 |
dt2 |
|
|
dtn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
И, подставив их в задачу Коши (63), получить n уравнений относительно n функций
y1 (t)
y (t)2
. . .
y (t)n 1
yn (t)
y2 (t); |
|
|
|
|
y1 (t0 ) y0,1; |
|
||||
y3 (t); |
|
|
|
|
|
|
(t0 ) y0,2 |
; |
||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
y2 |
||||||
|
|
|
|
с начальными условиями |
|
|
|
|
|
(65) |
|
|
|
|
. . . |
|
|||||
yn (t); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
yn 1 (t0 ) y0,n 1; |
||||||
f (t, y , y |
2 |
,...y |
n 1 |
). |
y |
(t |
0 |
) y |
. |
|
1 |
|
|
|
n |
|
0,n |
|
|||
Проблема аналитического поиска решений задач (63) и (65) рассматривается в курсе высшей математики в разделе «Теория дифференциальных уравнений», а методы поиска численных решений задач (63) и (65) изучаются в разделе «Вычислительная математика».
10.1.Численные методы решения ОДУ
Численные методы решения ОДУ основаны на замене производных, входящих в уравнение, разностными функциями различного вида и поиске приближенных значений функции y(t) на некотором наборе точек ti , i 0..m – сетке. Интервал между
соседними точками называется шагом интегрирования t ti 1 ti . Значения функции
y(t) в точке t0 задается начальными условиями задачи Коши y(t0 ) y0 . |
|
Метод Эйлера. |
|
Зададим интервал, на котором будем искать решение t0 ,tm , |
где m – число |
точек разбиения интервала на узлы сетки с шагом t (tm t0 ) / m . Построим сетку: |
|
ti 1 ti t . Для каждого узла сетки ti 1 будем искать значение y(ti 1 ) |
как некоторую |
рекуррентную зависимость от значений функции y(ti ) в предыдущей точке ti .
По определению, производная функции – это предел отношения приращения функции y(t t) y(t) к приращению аргумента t , когда последний стремится к
нулю. Заменим производную, входящую в (63) рекуррентным соотношением в соответствии с определением:
|
|
|
|
dy(t) |
|
|
y(t t) y(t) |
. |
|
(66) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
dt |
|
|
t |
|
|
|
|
Запишем теперь Задачу Коши (63) в точках ti |
и ti 1 сетки с учетом замены (66): |
||||||||||
|
dy(t) |
|
y(t t) y(t) |
|
yi 1 yi |
f (t , y ), i 0,.., m 1 . |
(67) |
||||
|
|
|
|
||||||||
|
dt |
|
t |
|
|
t |
i |
i |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Отсюда следует:
103
Глава 10. Обыкновенные дифференциальные уравнения
yi 1 yi f (ti , yi ) t |
|
|
y(t0 ) y0 ; |
. |
(68) |
ti 1 ti t, i 0,.., m 1
Выражение (68) называется явным методом Эйлера. Решим в MathCAD простейшее
дифференциальное уравнение |
y (t) t y(t) по методу (68) на участке |
|
|
с |
|
0,1 |
начальными условиями y(0) 1. Аналитическое решение заданного ОДУ известно:
t
y(t) С e2 .
С учетом начальных условий вычислим С= 1. Точное решение позволит оценить погрешность данного численного метода, которая, в общем, пропорциональна ( t)2 .
Листинг 74. Решение ОДУ по явному методу Эйлера
Вектор t содержит узлы сетки, а вектор y – найденные значения функции y(ti ) в узловых точках сетки. Построим эти точки на графике и для сравнения – значения аналитического решения z(ti ) заданного ОДУ в этих же точках:
Листинг 75. Погрешность решения ОДУ по явному методу Эйлера
Анализ полученных результатов подтверждает, что ошибка увеличивается квадратично с ростом t. Для уменьшения погрешности следует уменьшать шаг интегрирования или применять другие итерационные методы решения ОДУ.
104
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Введение в профессию 11.03.04, 09.03.01 |
|
Модифицированный метод Эйлера: |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
t |
|
t f (t , y ) |
|
|
|
||
yi 1 |
yi f |
ti |
|
, yi |
i i |
|
t, |
|
|
||
2 |
2 |
. |
(69) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
ti 1 |
ti t, |
|
i 0,.., m 1 |
|
|
|
|
||||
Метод Рунге-Кутты четвертого порядка:
|
|
k ti , yi |
|
|
|
t |
|
k (t, y) |
|
||
yi 1 |
yi |
|
, k1 (t, y) t f t, y , |
k2 |
(t, y) t f t |
|
, y |
1 |
|
, |
|
6 |
2 |
2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
t |
|
k |
2 |
(t, y) |
|
k4 (t, y) t f t t, y k3 |
(t, y) , |
. |
|
|
k3 (t, y) t f t |
|
, y |
|
|
|
, |
(70) |
|||||
2 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||
k(t, y) k1 (t, y) 2k2 (t, y) 2k3 (t, y) k4 (t, y); |
|
|
|
|||||||||
ti 1 ti t, |
i 0,.., m 1. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Встроенные методы решения ОДУ
В вычислительное ядро встроенной функции решения ОДУ – Оdesolve заложен метод Рунге-Кутты четвертого порядка (70). Данная функция имеет следующий формат:
Given
ОДУ или система ОДУ |
Равенства должны быть записаны в виде |
Начальные условия |
логических операторов |
Odesolve(t, tm, m) |
|
Здесь t – имя переменной, относительно которой решается уравнение, tm – конец интервала интегрирования, m – число шагов интегрирования.
Листинг 76. Решения ОДУ при помощи встроенной функции Odesolve
Визуально точное и численное решения полностью совпали. Читателю предлагается самостоятельно вычислить погрешность данного метода по аналогии с примером выше (см. Листинг 75).
Встроенные методы решения систем ОДУ
Для численного решения систем ОДУ (65) в MathCAD введен большой набор функций:
Функция MathCAD |
Численные методы |
rkfixed(y0, t0, tm, m, D) |
Метод Рунге-Кутты с постоянным шагом. |
rkadapt(y0, t0, tm, m, D) |
Метод Рунге-Кутты с переменным шагом. В зависимости |
|
от скорости изменения функции шаг интегрирования |
|
автоматически «подбирается». |
bulstoer(y0, t0, tm, m, D) |
Метод Булирша-Штера – позволяет получать более |
|
точные решения, чем rkfixed, затрачивая на это меньшее |
|
число шагов (для гладких, медленно меняющихся |
|
систем) |
BDF(y0, t0, tm, m, D) |
Неявный многошаговый метод для решения жестких, |
105
Глава 10. Обыкновенные дифференциальные уравнения
|
быстро изменяющихся систем ОДУ |
AdamsBDF(y0, t0, tm, m, D) |
Комбинированный метод, использующий BDF для |
|
жестких систем и метод Адамса – для нежестких |
Stiffr(y0, t0, tm, m, D, АJ) |
Метод Розенброка с расширенной функцией Якоби АJ |
|
для жестких систем |
Здесь t0, tm – границы интервала интегрирования, y0 – вектор начальных условий (65), m – число шагов интегрирования. D – векторная функция размера N×1 скалярного аргумента t и векторного y, причем, вектор y0 и искомая функция y(t) так же имеют размерность N×1.
N – порядок системы уравнений.
Расширенная матрица Якоби AJ имеет размерность N×(N+1). Её первый столбец
содержит производные Di |
t , остальные строки и |
столбцы |
представляют собой |
|||||
матрицу Якоби Di |
yk системы ОДУ. Например, если |
|
|
|
||||
|
|
ty |
|
y |
t |
0 |
|
|
D(t, y) |
1 |
, то AJ (t, y) |
1 |
|
|
. |
||
|
2 y1 y2 |
|
0 |
2 y2 |
2 y1 |
|||
Каждая из |
приведенных |
функций |
возвращает решение в виде матрицы |
|||||
(m+1)×(N+1): в ее левом столбце находятся значения узлов сетки ti, а в остальных N столбцах – значения искомых функций y1(t), y2(t), …, yN(t), рассчитанные в этих узлах. Поскольку всего точек помимо начальной m, то строк в матрице – m+1.
10.2.Переходный процесс в электрической схеме
Переходные процессы – это процессы, возникающие в электрических цепях при различных воздействиях, приводящих к изменению их режима работы, то есть при действии различного рода коммутационной аппаратуры, например, ключей, переключателей для включения или отключения источника или приёмника энергии, при обрывах в цепи, при коротких замыканиях отдельных участков цепи и т. д.
Физическая причина возникновения переходных процессов в цепях — наличие в них катушек индуктивности и конденсаторов, то есть индуктивных и ёмкостных элементов в соответствующих схемах замещения. Объясняется это тем, что энергия магнитного и электрического полей этих реактивных элементов не может изменяться скачком при коммутации (процесс замыкания или размыкания выключателей) в цепи.
Реактивные элементы – элементы, способные накапливать электрическую энергию и отдавать ее либо источнику, от которого эта энергия была получена, либо передавать другому элементу. В любом случае этот элемент не превращает электрическую энергию в тепловую.
Переходный процесс в цепи описывается системой дифференциальных уравнений. Переходный процесс бывает неоднородным, если схема замещения цепи содержит источники ЭДС и тока, и однородным – если не содержит. Переходный процесс называется линейным (нелинейным) для линейной (нелинейной) электрической цепи.
Подчеркнем еще раз, что переходные процессы не могут протекать мгновенно,
так как невозможно в принципе мгновенно изменять энергию, накопленную в электромагнитном поле цепи. Теоретически переходные процессы заканчиваются за время t→∞. Практически же переходные процессы являются быстропротекающими, и их длительность обычно составляет доли секунды. Так как энергия магнитного WМ и электрического полей WЭ описывается выражениями
|
i2 |
|
u2 |
(71) |
|
W L |
|
и W C |
|
, |
|
M |
2 |
Э |
2 |
|
|
|
|
|
|
||
то ток в индуктивности и напряжение на емкости не могут изменяться мгновенно. На этом основаны законы изменения тока и напряжения.
106
Введение в профессию 11.03.04, 09.03.01
Законы изменения тока и напряжения в активных (резистор) реактивных (катушка индуктивности и конденсатор) элементах описываются формулами (72):
iR (t) |
uR (t) |
|
iC (t) C |
duC (t) |
|
iL (t) |
1 |
uL (t)dt |
(72) |
|||||||
R |
dt |
L |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
uR (t) R iR (t) |
u (t) |
1 |
|
i (t)dt |
u |
|
(t) |
L |
diL (t) |
|
|
|||||
|
|
|
dt |
|
||||||||||||
|
|
|
С |
C C |
|
L |
|
|
|
|
||||||
С использованием известных законов Ома и Кирхгофа, с учетом формул (72), строится система обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающая процесс изменения токов и напряжений в реактивных элементах – переходный процесс от начальных условий X0 до установившегося режима работы.
В качестве примера решения ОДУ рассчитаем переходный процесс в электрической схеме, приведенной на Рис. 62.
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L = 0.01 Гн |
|
|
|
iL |
|
|
|
|
|
|
C = 10-6 Ф |
|
E |
|
|
|
|
|
|
C |
R = 100 |
Ом |
|
|
|
iR |
|
R |
iC |
|
E = 100 |
В |
||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 62 – Схема замещения
Система дифференциальных уравнений, описывающих данную схему строится на основе законов (26)-(28), а так же зависимостей относительно тока и напряжения в L
и C (72).
Выражая из полученных зависимостей относительно I и II законов Кирхгофа токи в активных элементах (резисторах) до тех пор, пока не останется столько дифференциальных уравнений, сколько реактивных элементов в схеме (в нашем примере – 2).
|
duC |
|
|
1 |
i |
u C |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
C |
L |
|
|
|
iL t |
|
|
0 |
|
||||
dt |
|
|
R |
. |
, |
(73) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X t |
uC t |
|
X 0 . |
|||
|
|
di |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
||||
|
L |
|
|
|
|
E uC . |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
dt |
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
После того, как система ОДУ выписана в явном виде – в левой части только производные, в правой (73) – все остальное, строится матрица системы D(t,x). И решается система ОДУ изученными ранее методами.
Решим полученную систему дифференциальных уравнений первого порядка с заданными начальными условиями, результат вычислений будет представлять собой графики переходного процесса тока и напряжения в электрической схеме, приведенной на Рис. 62. Решение будем искать численно по методу Рунге-Кутта.
Полученный результат будет представлять собой массив точек, который, при необходимости, можно сгладить методами интерполяции.
107
Глава 10. Обыкновенные дифференциальные уравнения
Листинг 77. Решения ОДУ. Построение переходного процесса
Вданном примере переходный процесс имеет перерегулирование и завершается
втечении приблизительно 2*10-4 с, сходясь к постоянному значению тока и напряжения, которые не имеют гармонических колебаний.
Контрольные вопросы:
1.Какое уравнение называется дифференциальным?
2.Что понимается под термином решение дифференциального уравнения?
3.Что такое задача Коши?
4.Как влияют начальные условия на решение дифференциального уравнения?
5.Что такое общее (полное) решение дифференциального уравнения?
6.Что является частным решением задачи Коши?
7.Какие численные методы решения ДУ вы знаете? В чем их смысл?
8.Что такое интегральная кривая?
9.Какое уравнение называется обыкновенным дифференциальным уравнением?
10.Что называется дифференциальным уравнением в частных производных?
11.Что такое система дифференциальных уравнений?
12.Что является решением системы дифференциальных уравнений?
13.Как задаются начальные условия для системы дифференциальных уравнений?
14.Как связана система дифференциальных уравнений первого порядка и дифференциальное уравнений высшего порядка?
15.В чем суть численных методов решения ДУ?
16.Что такое переходный процесс электрической цепи?
17.Могут ли переходные процессы в электрической схеме протекать мгновенно? Почему?
18.Как влияют реактивные элементы схемы на дляительность переходного процесса?
108
Введение в профессию 11.03.04, 09.03.01
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ПРОВЕДЕНИЮ ПРОВЕРОЧНЫХ РАБОТ
Для студентов направления 11.03.04 Электроника и наноэлектроника (профиль - Промышленная электроника) и 09.03.01 Информатика и вычислительная техника (профиль - Микропроцессорные системы обработки информации и управления) с
Томского университета систем управления и радиоэлектроники данный курс входит в образовательную программу и содержит следующие дидактические единицы:
-лекционную составляющую (аудиторно);
-практические занятия (аудиторно);
-самостоятельная работа студентов (электронный курс).
Учебно-методический комплект дидактических (УМКД) материалов по настоящему курсу включает:
- настоящее учебное пособие «Введение в профессию: Учебное пособие / С. Г. Михальченко; Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники, Кафедра промышленной электроники – Томск: ТУСУР, 2019»
-«Введение в профессию: Учебно-методическое пособие для проведения практических занятий / С. Г. Михальченко; Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники, Кафедра промышленной электроники – Томск: ТУСУР, 2019» [5].
-«Введение в профессию: Учебно-методическое пособие для организации самостоятельной работы студентов / С. Г. Михальченко; Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники, Кафедра промышленной электроники – Томск: ТУСУР, 2019» [6].
-электронный курс (в среде moodle), размещенный на сайте ТУСУР.
Лекции №№ 1-7 завершаются выполнением практических работ №№ 1-7, содержание которых, а также описание с примерами решения задач и индивидуальные задания для студентов содержит одноименное учебно-методическое пособие [5].
Материал, излагаемый в лекциях №№ 8-10 не подразумевает выполнения практических работ в данном учебном курсе, однако, может использоваться в качестве дополнительной литературы при проведении занятий по дисциплинам «Математика», «Теоретические основы электротехники» и «Теория автоматического управления».
Организация и контроль за проведением самостоятельной работы студентов по настоящей дисциплине обеспечивает электронный курс, выполненный в среде moodle), размещенный на сайте ТУСУР. Доступ к материалам электронного курса студенты получают автоматически в своем личном кабинете.
Также организации проведения самостоятельной работы студентов сопутствует учебно-методическое пособие по СРС [6].
109
Литература
ЛИТЕРАТУРА
1.Mathematica. Система компьютерной алгебры компании Wolfram Research. Официальный сайт компании Wolfram Research http://www.wolfram.com. Способ доступа: http://www.wolfram.com/mathematica/.
2.Maple. Программный пакет компьютерной алгебры компании Waterloo Maple Inc.
Официальный сайт: http://www.maplesoft.com/. Способ доступа: http://www.maplesoft.com/products/Maple/index.aspx.
3.MatLab. Пакет математических и инженерных вычислений. Официальный сайт компании-разработчика MathWorks http://www.mathworks.com/. Способ доступа: http://www.mathworks.com/products/matlab/.
4.MathCAD. Система компьютерных вычислений. Официальный сайт компании-
разработчика Mathsoft http://www.mathsoft.com/, в составе PTC Community http://communities.ptc.com. Способ доступа: http://www.mathcad.com/, http://communities.ptc.com/community/mathcad
5.Михальченко, Сергей Геннадьевич. Введение в профессию: Учебно-методическое пособие по проведению практических работ / С.Г. Михальченко; Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники, Кафедра промышленной электроники – Томск: ТУСУР, 2019. – 102 с. : ил., табл., прил. – Библиогр.: с. 96.
6.Михальченко, Сергей Геннадьевич. Введение в профессию: Учебно-методическое пособие по проведению практических работ / С. Г. Михальченко; Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники, Кафедра промышленной электроники – Томск: ТУСУР, 2019. – 87 с. : ил., табл. – Библиогр.: с. 86.
7.Дьяконов В. П. Mathematica 5/6/7. Полное руководство. — М.: «ДМК Пресс»,
2009. — С. 624. — ISBN 978-5-94074-553-2
8.Дьяконов В. П. Mathematica 5.1/5.2/6 в математических и научно-технических расчетах. Изд-е второе дополненное и переработанное. — М.: «СОЛОН-Пресс»,
2008. — С. 744. — ISBN 978-5-91359-045-9
9.Говорухин В. Н., Цибулин В. Г. Введение в Maple. Математический пакет для всех. — М.: Мир, 1997. — С. 208. — ISBN 5-03-003255-X
10.Дьяконов В. П. Maple 9.5/10 в математике, физике и образовании. — М.: СОЛОН Пресс, 2006. — С. 720. — ISBN 5-98003-258-4
11.Васильев А. Н. Maple 8. Самоучитель. — М.: Диалектика, 2003. — С. 352. — ISBN 5-8459-0452-8
12.Матросов А. В. Maple 6: Решение задач высшей математики и механики: Практическое руководство. 2001 г. 528 с. ISBN 5-94157-021-X
13.Дьяконов В. П. MATLAB R2006/2007/2008 + Simulink 5/6/7. Основы применения.
Изд-е 2-е, переработанное и дополненное. Библиотека профессионала. —
Москва.: «СОЛОН-Пресс», 2008. — С. 800. — ISBN 978-5-91359-042-8
14.Дьяконов В. П. MATLAB и SIMULINK для радиоинженеров. — Москва.: «ДМК-
Пресс», 2011. — С. 976. — ISBN 978-5-94074-492-4
15.Курбатова Екатерина Анатольевна. MATLAB 7. Самоучитель. — М.: «Диалектика», 2005. — С. 256. — ISBN 5-8459-0904-X
110