Анализ временных характеристик дискретных и цифровых устройств

51

Построение разностного уравнения дискретной системы.

Построение разностного уравнения дискретной системы осуществляется по системной функции путем замены изображений воздействия и реакции

оригиналами, а комплексной переменной zn дробно-рационального выражения - оператором сдвига En

Отметим, что переход от системной функции к разностному уравнению осуществляется в предположении нулевых начальных значений, а истинные начальные значения учитываются позже при решении уравнения.

Определение начальных условий. Для однозначного определения решения разностного уравнения необходимы дополнительные независимые условия, в качестве которых удобно воспользоваться начальными условиями. Так как исходное разностное уравнение второго порядка, необходимо определить v0 и v1.

Начальные условия могут быть определены по изображению выходной переменной, в соответствии с теоремой теории Z - преобразования о начальном значении функции оригинала

соответствующим значение индекса k , и, учитывая, что входное воздействие и реакция системы в отрицательные моменты времени отсутствуют. Так, при

52

Таким образом, получаем, что начальные значения равны v0 0 и

v1 1.

Решение разностных уравнений. Приступаем к определению переходной характеристики дискретной системы путем решения разностного уравнения.

Метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа).

Согласно методу Лагранжа, общее решение неоднородного разностного уравнения второго порядка

фундаментальная система решений соответствующего однородного уравнения; c1,k , c2,k - варьируемые постоянные – неизвестные пока функции.

Варьируемые постоянные находятся из определяющей системы уравнений Лагранжа

Напомним, что определяющая система уравнений Лагранжа образуется при подстановке предполагаемого общего решения в исходное разностное уравнение и наложении ограничения на сдвиг функций c1,k и c2,k . Первое

уравнение системы есть как раз данное ограничение, а второе уравнение есть результат подстановки предполагаемого решения в исходное разностное уравнение с учетом наложенного ограничения. Определитель системы уравнений есть определитель Касорати, построенный на основе

54

Полученное решение описывает переходную характеристику, исследуемой дискретной системы, и, как видим, совпадает с выражением, найденным операторным методом.

Решение в форме Коши (метод Коши). Рассматриваемый нами вариант метода Коши предполагает предварительное преобразование исходного неоднородного разностного уравнения

Согласно методу Коши, частное решение неоднородной системы разностных уравнений первого порядка следует искать в виде

функция от матрицы коэффициентов системы.

Как известно, любая аналитическая функция от матрицы, имеющей различные и отличные от нуля собственные значения, на основании ее модального представления

A H H 1,

может быть определена в виде

F ( A) H F ( ) H 1,

где - диагональная матрица собственных значений; H - модальная матрица собственных векторов; F ( ) k диагональная матрица указанной функции

от каждого собственного значения.

Собственные значения матрицы коэффициентов системы определяются из характеристического уравнения

Как видим, данное уравнение полностью совпадает с характеристическими уравнениями, определяемыми либо знаменателем системной функции, либо левой (однородной) частью разностного уравнения. Таким образом, собственные значения матрицы коэффициентов системы или корни характеристического уравнения представляются в виде

55

алгебраическими дополнениями элементов одной из строк, например первой,

Заметим, что структура матрицы Ak n аналогична и отличается лишь показателем степени.

Теперь все подготовлено для представления решения в форме Коши. Предварительно отметим, что в нашем случае вектор начальных условий X 0

и вектор правой части эквивалентной системы разностных уравнений Fk имеют вид

Кроме того, отметим, что нас интересует лишь первая компонента вектора решений x1,k vk .

В связи с отмеченными обстоятельствами, используя общее выражение для решения системы разностных уравнений первого порядка, и, учитывая структуры векторов X 0 и Fk , выразим выходное напряжение дискретной

системы

Используя для раскрытия сумм формулы арифметической и геометрической прогрессий, а также учитывая, что входное воздействие в данном случае определено при k 0 , получаем окончательное выражение для выходной реакции исследуемой дискретной системы

Полученное выражение совпадает с результатами, операторного метода и метода Лагранжа и описывает переходную характеристику, исследуемой дискретной системы.

Импульсная характеристика дискретной системы. Приступаем к определению импульсной характеристики дискретной системы различными методами.

Как известно, импульсная характеристика представляет собой реакцию дискретной системы, находящейся в исходном состоянии покоя, на входной одиночный единичный - импульс, при k 0, то есть 10 . Под исходным

состоянием покоя следует понимать полное установление реакции на предыдущие воздействия и отсутствие сторонних источников.

Отметим, что импульсная характеристика дискретных и цифровых систем определена при k 1.

Определение импульсной характеристики по переходной характеристике. Импульсная характеристика дискретной системы может быть определена по известной переходной характеристике в соответствии с соотношением

gk hk hk hk 1 hk 1.

Учитывая, что переходная характеристика имеет вид

запишем выражение соответствующей функции, отстающей на один такт

57

Применяя уравнение связи, сразу получаем импульсную характеристику дискретной системы

Таким образом, по известной переходной характеристике дискретной или цифровой системы достаточно просто определяется импульсная характеристика.

Операторный метод. Операторный метод определения выходной реакции дискретной системы основан на теории Z - преобразования дискретных функций, как оригиналов, в непрерывные функции комплексного аргумента z , называемых изображениями, и наоборот.

Оригиналу входного воздействия 10 , согласно теории Z -

преобразования, соответствует изображение в плоскости комплексной переменной z вида

ek 10 Ez 1.

Изображение выходной реакции дискретной системы будет иметь вид

Втаблицах обратного Z - преобразования соответствующее выражение отсутствует, поэтому разобьем его на два слагаемых.

Всоответствии с таблицами обратного Z - преобразования первому слагаемому соответствует оригинал

В таблицах обратного Z - преобразования выражение соответствующее второму слагаемому отсутствует, поэтому воспользуемся следующим приемом.

В соответствии с теоремой о начальном значении функции

58

Теперь, используя таблицы обратного Z - преобразования, находим оригинал выходной реакции

последовательности.

В итоге, суммируя оригиналы первого и второго слагаемых изображения, получаем оригинал выходной реакции, соответствующий импульсной характеристике, исследуемой дискретной системы

Построение разностного уравнения дискретной системы.

Построение разностного уравнения дискретной системы осуществляется по системной функции путем замены изображений воздействия и реакции

оригиналами, а комплексной переменной zn дробно-рационального выражения - оператором сдвига En

Преобразуя выражение, получаем неоднородное разностное уравнение второго порядка

Отметим, что переход от системной функции к разностному уравнению осуществляется в предположении нулевых начальных значений, а истинные начальные значения учитываются позже при решении уравнения.

59

Определение начальных условий. Для однозначного определения решения разностного уравнения необходимы дополнительные независимые условия, в качестве которых удобно воспользоваться начальными условиями. Так как исходное разностное уравнение второго порядка и импульсная характеристика определена при k 1, необходимо определить v0 , v1 и v2 .

Начальные условия могут быть определены по изображению выходной переменной, в соответствии с теоремой теории Z - преобразования о начальном значении функции оригинала

Применяя еще раз теорему упреждения на один такт к последнему результату

соответствующим значение индекса k , и, учитывая, что входное воздействие и реакция системы в отрицательные моменты времени отсутствуют. Так, при

Решение разностных уравнений. Приступаем к определению импульсной характеристики дискретной системы путем решения разностного уравнения.

Метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа).

Согласно методу Лагранжа, общее решение неоднородного разностного уравнения второго порядка

vk 2 (1 d ) vk 1 d vk 11 b 10 fk

60

следует искать в виде

фундаментальная система решений соответствующего однородного уравнения; c1,k , c2,k - варьируемые постоянные – неизвестные пока функции.

Варьируемые постоянные находятся из определяющей системы уравнений Лагранжа