Анализ временных характеристик дискретных и цифровых устройств

11

Полученное решение разностного уравнения описывает переходную характеристику дискретной системы и, как видим, совпадает с ранее полученным операторным методом выражением.

Решение в форме Коши (метод Коши). Согласно методу Коши,

частное решение неоднородного разностного уравнения первого порядка

вынесен за знак суммы. В результате, выражение суммы соответствует геометрической прогрессии со знаменателем 1/ d .

Используя формулу геометрической прогрессии

Полученное решение разностного уравнения описывает переходную характеристику дискретной системы и, как видим, совпадает с выражениями, ранее полученными операторным методом и методом Лагранжа.

Определение импульсной характеристики. Импульсная характеристика представляет собой реакцию системы, находящейся в исходном состоянии покоя, на одиночный единичный - импульс 10 , при

k 0.

Отметим, что импульсная характеристика дискретных и цифровых систем определена при k 1.

Определение импульсной характеристики по переходной характеристике. Импульсная характеристика дискретной системы может быть определена по известной переходной характеристике в соответствии с соотношением

gk hk hk hk 1 hk 1.

Учитывая, что переходная характеристика имеет вид

или цифровой системы достаточно просто определяется импульсная характеристика.

Операторный метод. Оригиналу входного воздействия 10 , согласно

теории Z - преобразования, соответствует изображение в плоскости z вида ek 10 Ez 1.

В соответствии с этим, изображение выходного напряжения совпадает с выражением системной функции

z Vz z d .

Согласно таблицам обратного Z - преобразования, оригинал выходного напряжения имеет вид

Переход от системной функции к разностному уравнению. Далее,

рассмотрим методы, основанные на решении разностных уравнений, описывающих поведение дискретных систем, в связи с чем, рассмотрим переход от системной характеристики к соответствующему разностному уравнению.

13

При переходе от системной функции к разностному уравнению входное воздействие и выходная реакция заменяются оригиналами, комплексная переменная z , как оператор заменяется оператором сдвига E , в предположении нулевых начальных значений.

Так, используя выражение для изображения выходной переменной

в соответствии с указанной методикой, получаем разностное уравнение vk 1 d vk 11 fk .

Иногда переход к разностному уравнению от системной функции отображают следующей формализованной записью

Преобразуя полученное выражение, приходим к разностному уравнению вида

vk 1 d vk 11 fk

или

vk 1 d vk 11 d vk fk .

Определение начальных условий. Для однозначного определения решения разностного уравнения необходимы независимые условия, в качестве которых удобно воспользоваться начальными условиями.

Начальные условия могут быть определены по изображению выходной переменной, в соответствии с теоремой теории Z - преобразования о начальном значении функции

Так как импульсная характеристика для дискретных и цифровых систем определена при k 1, найдем значение v1, используя теорему Z -

преобразования об упреждении на один такт

Учитывая, что входное воздействие и выходная реакция при отрицательных

14

v1 d v0 11.

Учитывая, что входное воздействие существует только в нулевой момент времени k 0, начальное значение v0 1, окончательно получаем v1 d .

Метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа). В

соответствии с методом Лагранжа, общее решение неоднородного разностного уравнения первого порядка записывается в виде

где c1,k - варьируемая постоянная, то есть неизвестная пока дискретная

функция; y1,k d1k - фундаментальное решение однородного уравнения; d1 d - корень характеристического уравнения.

Определяющее уравнение Лагранжа, позволяющее найти варьируемую постоянную, запишется в виде

Применяя, обратный разностный оператор, приходим к выражению

где c1- новая постоянная суммирования.

Учитывая то факт, что входное воздействие существует только в нулевой момент времени, получаем, что значение суммы соответствует первому слагаемому, то есть равно нулю

уравнения необходимо из независимых условий, например начальных условий, определить постоянную суммирования c1. Так как импульсная

характеристика для дискретных и цифровых систем определена при k 1,

15

Полученные решения разностного уравнения описывают импульсную характеристику дискретной системы и, как видим, совпадают с ранее полученными операторным методом выражениями.

Решение в форме Коши (метод Коши). Согласно методу Коши,

частное решение неоднородного разностного уравнения первого порядка

Учитывая то факт, что входное воздействие существует только в нулевой момент времени, получаем, что значение суммы соответствует первому слагаемому, то есть равно нулю

Полученные решения разностного уравнения описывают импульсную характеристику дискретной системы и, как видим, совпадают с выражениями, ранее полученными операторным методом и методом Лагранжа.

Пример B. Системная (передаточная) характеристика дискретной системы имеет вид

Требуется определить переходную и импульсную характеристики системы. Выразим изображение выходного напряжения дискретной системы

16

исходном состоянии покоя, на последовательность единичных - импульсов 1k , при k 0 и периодом T .

Операторный метод. Оригиналу входного воздействия 1k , согласно теории Z - преобразования, соответствует изображение в плоскости z вида

z ek 1k Ez z 1 .

В соответствии с этим, изображение выходного напряжения получаем в виде

Из таблиц обратного Z - преобразования находим оригинал выходного напряжения, то есть переходную характеристику дискретной системы

Переход от системной функции к разностному уравнению. Далее,

рассмотрим методы, основанные на решении разностных уравнений, описывающих поведение дискретных систем, в связи с чем, рассмотрим переход от системной характеристики к соответствующему разностному уравнению.

При переходе от системной функции к разностному уравнению входное воздействие и выходная реакция заменяются оригиналами, комплексная переменная z , как оператор, заменяется оператором сдвига E , в предположении нулевых начальных значений.

Так, используя выражение для изображения выходной переменной

в соответствии с указанной методикой, получаем разностное уравнение vk 1 d vk T 1k fk .

Иногда переход к разностному уравнению от системной функции отображают следующей формализованной записью

Преобразуя полученное выражение, приходим к разностному уравнению вида

vk 1 vk T 1k fk

или

vk 1 vk T 1k vk fk .

Определение начальных условий. Для однозначного определения решения разностного уравнения необходимы независимые условия, в качестве которых удобно воспользоваться начальными условиями.

17

Начальные условия могут быть определены по изображению выходной переменной, в соответствии с теоремой теории Z - преобразования о начальном значении функции оригинала

Учитывая, что входное воздействие и выходная реакция при отрицательных значениях k равны нулю, окончательно получаем v0 0 .

Метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа). В

соответствии с методом Лагранжа, общее решение неоднородного разностного уравнения первого порядка записывается в виде

yk c1,k y1,k c1,k d1k c1,k 1k ,

где c1,k - варьируемая постоянная, то есть неизвестная пока дискретная

член последовательности, находим выражение для варьируемой постоянной

c1,k

c1,k k T c1.

Подставляя полученное выражение в общее решение, находим vk k T 1k c1 1k .

18

Для определения частного решения неоднородного разностного уравнения необходимо из независимых условий, например начальных условий, определить постоянную суммирования c1. Учитывая начальное

Полученное решение разностного уравнения описывает переходную характеристику дискретной системы и, как видим, совпадает с ранее полученным операторным методом выражением.

Решение в форме Коши (метод Коши). Согласно методу Коши,

частное решение неоднородного разностного уравнения первого порядка

где 1- корень характеристического уравнения.

Подставляя начальное значение и, раскрывая правую часть разностного уравнения, получаем решение в виде

быть вынесен за знак суммы. В результате, выражение суммы соответствует

член последовательности, находим частное решение разностного уравнения vk k T 1k k T t hk .

Полученное решение разностного уравнения описывает переходную характеристику дискретной системы и, как видим, совпадает с выражениями, ранее полученными операторным методом и методом Лагранжа.

Определение импульсной характеристики. Импульсная характеристика представляет собой реакцию системы, находящейся в исходном состоянии покоя, на одиночный единичный - импульс 10 , при

k 0.

характеристике. Импульсная характеристика дискретной системы может быть определена по известной переходной характеристике в соответствии с соотношением

или цифровой системы достаточно просто определяется импульсная характеристика.

Операторный метод. Оригиналу входного воздействия 10 , согласно

теории Z - преобразования, соответствует изображение в плоскости z вида ek 10 Ez 1.

В соответствии с этим, изображение выходного напряжения совпадает с выражением системной функции

T Vz z 1 .

В таблицах обратного Z - преобразования подобное выражение отсутствует, поэтому воспользуемся следующим приемом. В соответствии с теоремой о начальном значении функции оригинала

z T f1 z 1 .

Теперь, используя таблицы обратного Z - преобразования, находим fk 1 T 1k ,

Полученные выражения описывают импульсную характеристику дискретной системы

получаем v1 g1 T .

Переход от системной функции к разностному уравнению. Далее,

рассмотрим методы, основанные на решении разностных уравнений, описывающих поведение дискретных систем, в связи с чем, рассмотрим переход от системной характеристики к соответствующему разностному уравнению.

При переходе от системной функции к разностному уравнению входное воздействие и выходная реакция заменяются оригиналами, комплексная переменная z , как оператор, заменяется оператором сдвига E , в предположении нулевых начальных значений.

Так, используя выражение для изображения выходной переменной

Преобразуя полученное выражение, приходим к разностному уравнению вида