Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Анализ временных характеристик дискретных и цифровых устройств

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.02.2023

Размер:

3.33 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 1413 14 > Следующая >>>

121

			1 b b					(d 2	b d b ) d k 1									(d 2			b d		2	b ) d k 1
hk	1		1	0				1		1	1				0	1		2			1		2	0		2	.
hk	1		(1 d1) (1 d2 )					(1 d1) (d2								d1)				(1 d2 ) (d1					d2 )		.
			(1 d1) (1 d2 )					(1 d1) (d2								d1)				(1 d2 ) (d1					d2 )
	Применяя			уравнение						связи, сразу получаем импульсную
характеристику дискретной системы
						(d b ) d k							(d		2	b ) d k				b (d k 1			d k 1)
		gk hk hk		1	1			1		1					2	1	2	0			1			2		,
		gk hk hk		1			d1		d2						d2	d1					d1		d2			,
							d1		d2						d2	d1					d1		d2
при k		1, или
				(d b ) d k 1							(d	2		b ) d k 1					b (d k			d k )
			gk 1	1 1				1				2			1	2			0		1		2	,
			gk 1					d2						d2		d1						d2		,
					d1			d2						d2		d1				d1		d2
при k		0.
	Таким образом, по известной переходной характеристике дискретной

или цифровой системы достаточно просто определяется импульсная характеристика.

Операторный метод. Операторный метод определения выходной реакции дискретной системы основан на теории Z - преобразования дискретных функций, как оригиналов, в непрерывные функции комплексного аргумента z , называемых изображениями и наоборот.

Оригиналу входного воздействия 10 , согласно теории Z -

преобразования, соответствует изображение в плоскости комплексной переменной z вида

ek 10 Ez 1.

Изображение выходной реакции дискретной системы будет иметь вид

	z2 b z b			z (z b )		b
Vz	1	0	1		0		.
	(z d1) (z d2)			(z d1) (z d2)		(z d1) (z d2)

Втаблицах обратного Z - преобразования соответствующее выражение отсутствует, поэтому разобьем его на два слагаемых.

Всоответствии с таблицами обратного Z - преобразования первому слагаемому соответствует оригинал

F1,z

z (z

b1)

f1,k

B1 e

1 t

2 t

d1)

(z d2 )

(d b ) d k

b ) d k

где 1

ln(d1)

;

ln(d2 )

;

1 t

;

2 t

;

T - период

входной последовательности.

Втаблицах обратного Z - преобразования выражение соответствующее второму слагаемому отсутствует, поэтому воспользуемся следующим приемом.

Всоответствии с теоремой о начальном значении функции

122

lim vk

lim Vz ,

находим

f2,0

lim F2,z

lim

0 .

(z d1) (z d2 )

Далее, используя теорему Z - преобразования об упреждении функции

на один такт

z Vz

v0 ,

находим

f2,1

b0 z

(z d1)

(z d2 )

Теперь,

используя

таблицы

обратного Z -

преобразования,

находим

оригинал выходной реакции

b (e

1 t

2 t )

b (d k

d k )

f2,k

при k

0 или

(d k

d k 1)

f2,k

ln(d1)

ln(d2 )

1 t

2 t

при k

1, где

; 2

; k

;

d2 ; T -

период входной последовательности.

В итоге, суммируя оригиналы первого и второго слагаемых изображения, получаем оригинал выходной реакции, соответствующий импульсной характеристике, исследуемой дискретной системы

gk 1

vk 1

f1,k 1

f2,k 1

(d b ) d k 1

b ) d k 1

b (d k

d k )

при k

0 или

(d b ) d k

b ) d k

b (d k 1 d k 1)

f1,k

f2,k

d1 d2

при k

Отметим, что при k

0 имеем v1

Построение разностного уравнения дискретной системы.

Построение разностного уравнения дискретной системы осуществляется по системной функции путем замены переменной z на k , в левой части

выражения и заменой оператора zn на оператор сдвига En , в правой части выражения

123

b z b

(z d1) (z d2 )

(d d

) z d d

b E

(d d

) E d d

Преобразуя выражение, получаем неоднородное разностное уравнение

второго порядка

vk 2

(d1

d2 ) vk 1 d1 d2 vk 12

b1 11

b0 10 fk

или

vk 2

(d1

d2 ) vk 1

d1 d2 vk

b1 11

b0 10 .

Отметим, что переход от системной функции к разностному уравнению осуществляется в предположении нулевых начальных значений, а истинные начальные значения учитываются позже при решении уравнения.

Определение начальных условий. Для однозначного определения решения разностного уравнения необходимы дополнительные независимые условия, в качестве которых удобно воспользоваться начальными условиями. Так как исходное разностное уравнение второго порядка и импульсная характеристика определена при k 1, необходимо определить v0 , v1 и v2 .

Начальные условия могут быть определены по изображению выходной переменной, в соответствии с теоремой теории Z - преобразования о начальном значении функции оригинала

lim v

lim V

lim

k 0 k

(z d ) (z d

)

В соответствии с теоремой упреждения,

значение

функции vk 1

определится выражением

(z2 b

b )

vk 1

z Vz

z v0

z 1

d1) (z

d2 )

(d d

b ) z2

(b d d

) z

d1) (z

d2 )

Применяя повторно теорему о начальном значении функции, получаем

lim vk 1

lim (z Vz

v0 )

k 0

(d d

b ) z2

(b d d

) z

lim

d1 d2 b1 .

(z d1) (z d2 )

Применяя еще раз теорему упреждения на один такт к последнему результату

124

vk	2		z Vz				z				v1
					z [(d d							2	b ) z2			(b d d						2	) z]
							1					2	1							0	1	2			z (b1		d1 d2 )
												(z d1) (z							d2 )						z (b1		d1 d2 )
												(z d1) (z							d2 )
				[(d d					2		)2		b (d d					2		) b ] z2				(b d d			2		) d d		2	z
						1			2				1		1			2			0			1	1		2		1		2
																(z					d1) (z			d2 )
и теорему о начальном значении функции, получим
v2	lim vk				2		lim (z Vz								z	v1)
	k	0					z
			[(d d					2		)2			b (d d				2		) b ] z			2		(b d d		2		) d d		2		z
	lim					1		2					1		1		2				0			1	1	2			1	2
	lim															(z d1) (z d2 )
	z															(z d1) (z d2 )
	(d d				2	)2	b (d d							2	) b .
		1			2		1					1		2		0
С другой стороны, для определения начальных условий можно
воспользоваться							исходным									разностным									уравнением,							полагая

соответствующим значение индекса k , и, учитывая, что входное воздействие и реакция системы в отрицательные моменты времени отсутствуют. Так, при

2 , k

1 и k 0, последовательно получаем

(d1

d2 ) v 1

d1 d2 v 2

b1 1 1

b0 1 2

(d1

d2 ) 0 d1 d2 0 1 b1 0 b0 0 1;

(d1

d2 ) v0

d1 d2 v 1

b1 10

b0 1 1

(d1

d2) 1 d1 d2 0 0 b1 1 b0 0 d1

b1 ;

(d1

d2 ) v1

d1 d2 v0

b1 11

b0 10

(d1

d2 ) (d1 d2

b1) d1 d2 1 0 b1 0 b0 1

(d d

b (d d

) b .

Таким образом, получаем,

что

начальные

значения

равны v0 1,

v d d

и v (d d

b (d d

) b .

Решение разностных уравнений. Приступаем к определению переходной характеристики дискретной системы путем решения разностного уравнения.

Метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа).

Согласно методу Лагранжа, общее решение неоднородного разностного уравнения второго порядка

vk 2 (d1 d2 ) vk 1 d1 d2 vk 12 b1 11 b0 10 fk

следует искать в виде

d k

d k ,

1,k

2,k

1,k

2,k

где

d ,

- корни

характеристического

уравнения;

d k ,

d k -

1,k

2,k

фундаментальная система решений соответствующего однородного уравнения; c1,k , c2,k - варьируемые постоянные – неизвестные пока функции.

125

Варьируемые постоянные находятся из определяющей системы

уравнений Лагранжа
c	d k 1	c		d k 1	0 ;
1,k	1	2,k		2
c d k 2	c	d k 2	1 b 1 b 1			f	k	.
1,k 1	2,k	2	2	1 1	0 0		k

Напомним, что определяющая система уравнений Лагранжа образуется при подстановке предполагаемого общего решения в исходное разностное уравнение и наложении ограничения на сдвиг функций c1,k и c2,k . Первое

уравнение системы есть как раз данное ограничение, а второе уравнение есть результат подстановки предполагаемого решения в исходное разностное уравнение с учетом наложенного ограничения. Определитель системы уравнений есть определитель Касорати, построенный на основе фундаментальной системы решений и их сдвигов.

Выразим разности					варьируемых										постоянных											c1,k и c2,k из
определяющей системы уравнений, используя правило Крамера
				d k		1		d k	1				d k 1 d k 1 (d
				d k		1		d k	1
C					1		2																2		d ) ;
				d k		2	d k		2					1				2					2			1
				d k		2	d k		2
					1		2
	0				d2k		1
c1,k		fk			d2k 2				(12					b1 11				b0 10 ) d2k 1

													d k	1	d k			1	(d	2				d )
												1			2					2				1
										(12				b1 11					b0 10 )						;
																									;
													d k	1	(d		2		d )
												1					2		1
			d k		1		0
			1
c2,k			d1k 2				fk		(12					b1 11				b0 10 ) d1k 1

													d k	1	d k			1	(d		2				d )
												1			2						2			1
											12			b1 11				b0 10				.
																						.
													d k	1	(d	2			d )
												2				2			1

Для определения варьируемых постоянных c1,k и c2,k применим

обратный разностный оператор в виде суммы функциональной последовательности, используя для раскрытия сумм формулу геометрической прогрессии. Учитывая тот факт, что входное воздействие в данном случае существует только при k 0, получаем значения сумм равные первым слагаемым

126

k 1n 1

b1 1n

b0 1n 1

c1,k

d1n (d2

d1)

n 1

d1 n 1

d1n

d1 (d2

d1)

k 1n 1

b1 1n

b0 1n 1

c2,k

d2n (d2

d1)

n 1

d1 n 1

d2n

d2 (d2

d1)

где c1, c2 - новые постоянные суммирования.

Подставляя найденные значения c1,k и c2,k в предполагаемое

c1 ;

c2 ,

общее

решение разностного уравнения, получаем его в виде

b0 d1k

b0 d2k

;

c1 d1

c2 d2

(d1

d2 )

d2 (d1

d2 )

b0 (d1k 1

d2k 1)

c1 d1

c2 d2 .

Для определения постоянных суммирования c1 и c2

воспользуемся,

найденными

ранее,

начальными

условиями

d2 b1

)

, так как решение разностного уравнения в

виде импульсной характеристики определено при k

1. Так, приравнивая

общее решение, при k

1 и k

2 , начальным условиям, находим

0 c1 d1

c2 d2 ;

v (d d

b (d d

) b b c d 2

c d

или

d1 c1

d2 c2

Q1;

d 2

c d

c (d d

b (d d

) Q .

Постоянные суммирования

и c2

найдем из полученной системы,

используя правило Крамера

d2 (d2

d1) ;

Q d 2

d d

(d b )

d b

1 ;

d1 d2 (d2

d1)

127

d 2

d d

b )

1 .

d1 d2 (d2

d1)

Подставляя найденные значения постоянных суммирования в общее решение, получаем частное решение исходного неоднородного разностного уравнения

b (d k 1

d k 1)

(d b ) d k

b ) d k

d1 d2

(d b ) d k

b ) d k

b (d k 1

d k 1)

при k

1 или

(d b ) d k 1

b ) d k 1

b (d k

d k )

1 1

k 1

при k

Полученное

решение

описывает

импульсную

характеристику,

исследуемой дискретной системы, и, как видим, совпадает с выражениями, найденными операторным методом.

Решение в форме Коши (метод Коши). Рассматриваемый нами вариант метода Коши предполагает предварительное преобразование исходного неоднородного разностного уравнения

	vk 2	(d1	d2 ) vk 1		d1 d2 vk		12 b1 11 b0 10			fk
в эквивалентную систему двух разностных уравнений первого порядка.
Так,	вводя		новые	переменные			x1,k	vk ;	x2,k	x1,k 1 vk 1;
x3,k v2,k	1 vk	2 , получаем эквивалентную систему разностных уравнений
первого порядка
	x1,k	1	0		1	x1,k		0
	x2,k 1		d1 d2	d1	d2	x2,k	12	b1 11	b0 10
или

X k 1 A X k Fk .

Согласно методу Коши, частное решение неоднородной системы разностных уравнений первого порядка следует искать в виде

					Ak X			k
			X	k	Ak X		0	Ak n F	1	,
				k			0	n	1
								n 1
где X0	x1,0 x2,0	t	v0		v1	t - вектор начальных условий; Ak - степенная
где X0	x1,0 x2,0		v0		v1	t - вектор начальных условий; Ak - степенная

функция от матрицы коэффициентов системы.

Как известно, любая аналитическая функция от матрицы, имеющей различные и отличные от нуля собственные значения, на основании ее модального представления

128

A H H 1,

может быть определена в виде

F ( A) H F ( ) H 1,

где - диагональная матрица собственных значений; H - модальная матрица собственных векторов; F ( ) k диагональная матрица указанной функции

от каждого собственного значения.

Собственные значения матрицы коэффициентов системы определяются из характеристического уравнения

det([ A	])			1	2	(d1	d2 )	d1 d2 0 .

		d1	d2	d1 d2

Как видим, данное уравнение полностью совпадает с характеристическими уравнениями, определяемыми либо знаменателем системной функции, либо левой (однородной) частью разностного уравнения. Таким образом, собственные значения матрицы коэффициентов системы или корни характеристического уравнения представляются в виде

1	0	d1	0	.
0		0	d2
	2

Собственные вектора, как столбцы модальной матрицы H , по известным собственным значениям матрицы A, определяются из решения однородных систем уравнений

A	i hi 0 ,
где i - диагональная матрица, составленная из		i .
Доказывается, что модальная	матрица	H может быть определена

алгебраическими дополнениями элементов одной из строк, например первой,

матрицы [ A

i ]

11(

11( 2 )

12 ( 1)

12 ( 2 )

d1 d2

Определитель модальной матрицы равен

H d1 d2

(d2

d1) .

Используя

определитель, выразим матрицу обратную модальной

1/ d

H 1

2 .

d1 d2 (d2

d1)

d1 d2

1 1/ d1

В результате, получаем выражение степенной функции от матрицы

коэффициентов

d k

1/ d

Ak H

k H

d1 d2

0 d2k

1 1/ d1

d2 d1k

d1 d2k

d1k

d2k

d1 d1 d2 (d1k

d2k )

d1 d1k

d2 d2k

129

Заметим, что структура матрицы Ak n аналогична и отличается лишь показателем степени.

Теперь все подготовлено для представления решения в форме Коши. Предварительно отметим, что в нашем случае вектор начальных условий X 0

и вектор правой части эквивалентной системы разностных уравнений Fk имеют вид

X0	x1,0	v0	1	; Fk	0	0	.
	x2,0	v1	d1 d2 b1		fk	12 b1 11 b0 10

Кроме того, отметим, что нас интересует лишь первая компонента вектора решений x1,k vk .

Обратим внимание на тот факт, что, несмотря на определение импульсной характеристики при k 1, в отличие от метода Лагранжа, где в качестве начальных условий используются значения v1 и v2 , в методе Коши

вкачестве начальных условий используются значения v0 и v1.

Всвязи с отмеченными обстоятельствами, используя общее выражение для решения системы разностных уравнений первого порядка, и, учитывая структуры векторов X 0 и Fk , выразим выходное напряжение дискретной

системы

				(d	2	d k	d
		1			2	1	1
vk		1			k
						( d k	n
	d2		d1			( d k	n
						1
				n 1

				(d1
v		1		d k


k	d2		1
	d2		d1
				d2k

d2k ) 1 ( d1k d2k ) (d1 d2 b1)

d k	n ) (1					;
d k	n ) (1	b	1	b	1	)
2	n 1	1	n	0	n 1

b ) d k			(d	2	b )	d k
1	1			2	1	2
k	1		b	1	b	1
		n 1	1	n	0	n 1	.
n 1				d1n			.
n 1				d1n
k	1		b	1	b	1
		n 1	1	n	0	n 1
n 1				d2n

Используем для раскрытия сумм формулу геометрической прогрессии. Учитывая тот факт, что входное воздействие в данном случае существует только при k 0, получаем значения сумм равные первым слагаемым. В результате, получаем окончательное выражение для выходной реакции, исследуемой дискретной системы, как частное решение исходного разностного уравнения

130

d1k b0

d2k b0

gk vk

(d1

b1) d1

(d2

b1) d2

(d b ) d k

b ) d k

b (d k 1

d k 1)

d1 d2

при k

1 или

(d b ) d k 1

b ) d k 1

b (d k

d k )

1 1

k 1

при k

Полученные

выражения

совпадают

результатами,

операторного

метода и метода Лагранжа и описывают импульсную характеристику, исследуемой дискретной системы.

Таким образом, все три метода, предлагаемой методики исследования временных характеристик (операторный, Лагранжа и Коши), дают совпадающие результаты при их корректном применении.

Применение конкретного метода, определяется, как уже отмечалось, субъективными и объективными факторами. Так операторный метод отличается своей простотой, но проблематичен при автоматизации численноаналитических исследований. Метод Коши, напротив, наиболее формализуем и прост для реализации в современных системах аналитических исследований. Метод Лагранжа занимает в этом отношении промежуточное положение. Овладение каждым из проиллюстрированных методов позволит приобрести навык математических исследований, который пригодится при освоении специальных дисциплин и последующей инженерной и исследовательской деятельности.

Рассмотренные нами примеры определения временных характеристик дискретных устройств и систем второго порядка, призваны проиллюстрировать основные понятия и определения, предлагаемую методику исследования, а также подчеркнуть актуальность математического обоснования элементов методики исследования.

В заключение, еще раз обратим внимание, на целесообразность приведения системных характеристик исследуемых устройств к нормированному каноническому виду, что существенно упрощает анализ и позволяет сразу отнести устройство к определенному классу устройств, характеристики которых совпадают с точностью до множителей.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 1413 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
05.02.2023305.29 Кб12Алгоритмы решения нестандартных задач.-1.pdf
#
05.02.2023488.32 Кб17Алгоритмы решения нестандартных задач.-2.pdf
#
05.02.2023488 Кб15Алгоритмы решения нестандартных задач..pdf
#
05.02.2023201.42 Кб8Амплитудная электрооптическая модуляция лазерного излучения..pdf
#
05.02.20233 Mб7Анализ временных характеристик аналоговых устройств..pdf
#
05.02.20233.33 Mб8Анализ временных характеристик дискретных и цифровых устройств..pdf
#
05.02.2023456.1 Кб12Анализ данных.-1.pdf
#
05.02.2023950.4 Кб15Анализ данных.-2.pdf
#
05.02.20231.01 Mб13Анализ данных..pdf
#
05.02.2023862.94 Кб3Анализ денежных потоков..pdf
#
05.02.2023194.39 Кб2Анализ и диагностика финансово-хозяйственной деятельности предприятия.-1.pdf