Анализ временных характеристик аналоговых устройств

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

b b ) e t .

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.02.2023

Размер:

3 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 119 10 11 > Следующая >>>

В последнем дробно-рациональном выражении степень числителя превысила степень знаменателя, и взятие предела дает значение , не раскрывая ее составляющие. Раскрыть конечные и бесконечные составляющие этого предела можно путем последовательного деления числителя на знаменатель, до тех пор, пока степень остатка не станет равной степени знаменателя. При этом, целые части от деления дают составляющие

(0), '(0), ''(0), и так далее, а остаток деления в пределе при p

дает конечную часть начального условия.

Следуя указанной модификации теоремы о начальном значении, получаем

b1 p b0

(0)

lim v

(t)

lim

V ( p)

lim

) p

(0)

(b1

) .

Отметим, что дифференцируя решение полученное операторным методом, мы теряли слагаемое (0) . Эта ситуация может быть пояснена тем,

что для нахождения производной следовало воспользоваться теоремой операционного исчисления о дифференцировании оригинала. Другими словами, мы математически определили производную выходной реакции, а не реакцию на производную, от входного воздействия, которая ищется по теореме о дифференцировании оригинала.

Применяя теорему о дифференцировании оригинала v'(t) p V ( p) v( 0)

для определения производной выходной реакции, то есть производной переходной характеристики, перепишем его в виде

p V ( p) v'(t) v( 0) (0) .

Так как реакция на выходе в области изображений теперь соответствует p V ( p) , то последнее соотношение можем переписать в виде

v'(t) h'(t) (0)	h(0) .
Используя полученное выражение, и,	учитывая, что h(0) 1, вновь

получаем выражение для производной переходной характеристики, дифференцируя переходную характеристику и учитывая ее начальное значение

v'(t) g(t)	1		b		(	2	b	b )	e	t	(0) 1
						2				t

	2		0				1	0
	2
	(0)	1		b	(	2	b	b )	e	t .
						2

			0				1	0

Так как начальное значение ненулевое, то производная переходной характеристики определенная таким образом содержит - функцию и

соответствует импульсной характеристике, исследуемой аналоговой системы второго порядка.

Начальное значение производной переходной характеристики, определенной таким образом, соответствует значению импульсной

характеристики, при t 0 , и равно v'(0) g(0)	(0) (b	) .
	1

Таким образом, выражение, полученное по теореме о начальном значении производной функции, совпало с выражением начального значения производной переходной характеристики, полученной на основании теоремы о дифференцировании оригинала.

Приступаем к интегрированию дифференциального уравнения с целью определения отклика, исследуемой аналоговой системы второго порядка, на единичный скачок на входе.

Метод Лагранжа или метод вариации произвольных постоянных.

Согласно методу Лагранжа, общее решение неоднородного дифференциального уравнения, записывается аналогично решению однородного уравнения, только константы при фундаментальных решениях заменяются неизвестными функциями времени

	v(t) C1(t) f1(t) C2 (t) f2(t) C1(t) e				1 t		C2	(t) e	2 t
	v(t) C1(t) f1(t) C2 (t) f2(t) C1(t) e						C2	(t) e
		C (t) C (t) e t ,
		1	2
где	C1(t), C2 (t) -		неизвестные	функции -	варьируемые					постоянные;
f1(t),	f2 (t) -	фундаментальная		система		решений				однородного
дифференциального уравнения второго порядка;							1	0,	2	- корни
							1		2

характеристического уравнения.

Варьируемые или произвольные постоянные C1(t), C2 (t) находятся из

определяющей системы уравнений Лагранжа, представляющей собой условия, ограничивающие появление производных от неизвестных функций, выше первого порядка, при дифференцировании решения общего вида и результат подстановки общего решения в исходное уравнение

C'	(t)	f (t) C'		(t) f	2	(t) 0
1		1	2		2		,
C'		f '(t) C'		(t) f '			,
C'	(t)	f '(t) C'		(t) f '		(t) F (t)
1		1	2		2

где F(t) - правая часть дифференциального уравнения.

Таким образом, определяющая система Лагранжа имеет вид

	C'	(t) C' (t) e				t	0
	1		2							.
		C'				t	'(0) b			.
	0	C'	(t)		e	t	'(0) b		(0)	b
		2					1			0
Определим	C' (t)		и		C' (t)	из		предыдущей		системы уравнений,
	1				2
воспользовавшись правилом Крамера
				1	e	t			t ;
						t
								e
							t	e
				0		e	t
				0		e

					83
	0	e		t
				t

C'	F (t)		e		t
	F (t)		e


1
	[ '(0)	b1 (0) b0 ] e t 1					'
							(0) b1	(0) b0 ;
				e		t	(0) b1	(0) b0 ;
						t

1 0

C2' 0 F (t)

'(0)

(0)

Интегрируя полученные выражения, найдем варьируемые постоянные

C (t)

'(0)

(0)

;

C (t)

'(0)

(0)

tdt

(0)

t C

где C1, C2 - новые постоянные интегрирования. Здесь при интегрировании

учтено селектирующее свойство

- функции и ее производной

f (t)

(0)

f (0) ;

f (t)

'(0)

f '(0) .

Подставим полученные значения C1(t) и C2 (t) в общее решение

неоднородного дифференциального уравнения

v(t)

(0)

t ;

v(t)

(0)

C2 e

Дифференцируя общее решение, находим выражение для его производной

v'(t)

'(0)

t .

Значения постоянных интегрирования C1

и C2

определим

из

начальных условий v(0)

1 и v'(0)

(0)

) , при t

v(0) 1

(0)

C2 ;

v'(0)

(0)

)

'(0)

(

b )

C .

Перепишем данную систему в более удобном виде

(0)

;

'(0)

(0) b .

Из второго уравнения следует, что

'(0)

(0)

b .

Подставляя полученное значение C2

в первое уравнение, получим

(0)

'(0)

(0)

'(0)

(0)

Подстановка найденных констант в общее решение, дает

v(t)

(0)

'(0)

(0)

;

(0)

(

b1)

v(t)

;

'(0)

[

'(0)

(0)]

(

b0 )

b0 t (

b0 ) e

v(t)

(0)

t )

'(0)

t )

Так

как

(0)

'(0)

существуют

только

при

0 и при этом

(1 e t )

0 , то последние два слагаемых в выражении равны нулю.

t 0

Таким образом, частное решение дифференциального уравнения, соответствующее переходной характеристике, исследуемой аналоговой системы второго порядка с учетом начальных условий, принимает вид

Заметим, что полученное методом Лагранжа выражение совпадает с решением операторным методом.

Метод Коши – интегрирования дифференциальных уравнений.

Метод Коши позволяет, используя начальные условия, сразу записать

частное решение дифференциального уравнения. Согласно методу Коши, решение системы дифференциальных уравнений первого порядка

		Y '(t)	A Y (t) F (t) ,
где	Y (t), Y '(t), F (t) - в	общем	случае векторы	функций; A- матрица
коэффициентов, может быть представлено в виде или форме Коши
			t
	Y (t)	e A t Y (0) e A (t ) F ( )		d ,
			0
где	- параметр времени; Y (0) -		начальное значение вектор-функции либо

вектор начальных значений системы дифференциальных уравнений; eA t - в случае системы дифференциальных уравнений, экспонента от матрицы коэффициентов.

При этом подразумевается, что система дифференциальных уравнений не вырождена, то есть отсутствуют нулевые и кратные корни характеристического уравнения. В данном случае один корень

характеристического уравнения равен нулю, поэтому, для того чтобы воспользоваться методом Коши, положим корни отличными от нуля и разными. Далее, доведем аналитическое решение до конца, а затем совершим предельный переход к реальным значениям корней 1 0 и

2 .

Реализуя данную идею, получим заново дифференциальное уравнение характеристике, исследуемой аналоговой системы второго порядка, по трансформированной передаточной характеристике.

Так, используя операторное выражение для изображения коэффициента передачи напряжения, получаем

V ( p)

p2 b p b

b p b

K ( p)

E( p)

1/ p

p ( p

)

( p

1) ( p

(

)

(

)

v(t)

1(t)

(

1) (

2 ) (

)

(

2 )

1 2

Перегруппировывая

полученное

выражение и, учитывая, что

d (1(t)) / dt

(0) и

d 2 (1(t)) / dt2

' (0) ,

приходим

к полной форме

дифференциального уравнения относительно выходного напряжения, исследуемой аналоговой системы второго порядка

v''(t) (	1	2	) v'(t)	1	2	v(t)	'(0) b	(0) b .
	1	2		1	2		1	0

Данное уравнение является неоднородным обыкновенным дифференциальным уравнением второго порядка. В нормальной форме Коши, уравнение, разрешенное относительно старшей производной, имеет вид

v''(t)	(	1	2	) v'(t)	1	2	v(t)	'(0) b	(0) b .
		1	2		1	2		1	0

	86
Интегрирование	полученного	неоднородного	обыкновенного

дифференциального уравнения, с целью получения частного решения, выполним с прежними, то есть истинными начальными условиями v(0) 1 и

v'(0) (0) (b1 2) .

Метод Коши, применительно к дифференциальным уравнениям выше первого порядка подразумевает предварительный переход к системе дифференциальных уравнений первого порядка путем введения новых переменных.

Для перехода от исходного дифференциального уравнения второго порядка к системе двух дифференциальных уравнений первого порядка введем новые переменные

y (t)	y	v(t) ; y	y'	v'(t) , то есть		y'	v''(t) .
1	1	2	1			2
В результате приходим к системе вида
y1'	0	1		y1		0
y2'	1 2	( 1	2 )	y2	'(0)	b1	(0) b0
или
		Y '(t)	A Y (t) F (t) ,

где

	y1(t)	v(t)	; Y '(t)	'	'	(t) ;
Y (t)	y1(t)	v'(t)	; Y '(t)	y1(t)	v	(t) ;
	y2 (t)	v'(t)		y2' (t)	v''(t)
F (t)	0		; A	0		1
F (t)	'(0) b		; A		( 1		2 )
	'(0) b	(0) b		1 2	( 1		2 )
	1	0

Для нахождения функций от матричного аргумента решить проблему собственных значений и векторов, то каноническое разложение матрицы коэффициентов

необходимо есть найти

A H H 1,

где - диагональная матрица собственных значений, либо матрица Жордана при наличии кратных собственных значений; H - модальная матрица собственных векторов.

Аналитическая функция от матрицы при различных собственных значениях определяется выражением

F ( A) H F ( ) H 1,

где F ( ) - диагональная матрица, в которой элементы есть данная функция

от собственного значения.

Для определения собственных значений воспользуемся характеристическим уравнением

det[ A	] 0;			1		2	(		2 )	1 2 0.
								1
		1 2	( 1		2 )

Как видим, характеристическое уравнение, определенное таким образом, полностью совпадает с характеристическим уравнением, полученным из модифицированной передаточной функции.

Можно убедится, что корни характеристического уравнения или собственные значения равны

1	0		1	0	.

0		0
	2				2

Собственные вектора hi , то есть столбцы модальной матрицы H находятся,

с точностью до постоянных, из решения однородных систем [ A	i ] hi	0 ,
по известны собственным значениям, где i - диагональная матрица с		i

значением по диагонали. Можно показать, что модальная матрица собственных векторов определяется следующим образом

H	11(	1)	11(	2 )	,
H	12 (	1)	12 (	2 )	,

где 1i ( j ) - алгебраические дополнения одной из строк характеристической

матрицы [ A	j ] , например первой.
Раскрывая указанное соотношение, получаем модальную
собственных векторов в виде
H	( 1	2 )	1	( 1	2 )		2		2		1		.
H													.
	1	2		1	2			1	2	1		2
Определитель модальной матрицы равен						H	1	2	( 1	2 ) .
Далее, найдем обратную модальную матрицу
H 1	1			1 2		1		1		1	1/		2
				1 2		1							2
	1 2 ( 1		2 )	1 2		2	1		2	1		1/ 1
	1 2 ( 1		2 )	1 2		2	1		2	1		1/ 1

После этого выразим экспоненту от матрицы

матрицу

e A t H e

t H 1

1 t

2 ;

1 t

2 1

eA t

1 t

2 t

1 t

2 t

1 2 (e

1 t e

2 t )

1 e

1 t

2 e

2 t

Отметим, что матрица eA (t

) имеет аналогичную структуру.

Учитывая тот факт, что вектор начальных условий

Y (0)

и вектор

внешних воздействий F ( )

имеют вид

Y (0)

y1(0)

v(0)

2 ) ;

F ( )

y2 (0)

v'(0)

(0)

(b1

'(0)

(0)

а также, то, что нас интересует первая компонента вектора решения y1(t) v(t) , получаем из полной формулы Коши выражение для выходного

напряжения в виде

										2	e		1 t			1	e		2 t
										2	e					1	e
v(t)				1			(			e			1 t		e	2 t ) [			(0)				(b						)]				.
																											2

		1			2																		1
		1			2			t
								t						(t	)			2 (t			)				'
										(	e		1	(t	)		e	2 (t			)	) (			'	(0)			b1	(0)		b0) d
										(	e						e					) (				(0)			b1	(0)		b0) d
							0
	Раскрывая интеграл и приводя подобные, получаем
														2	e	1 t			1	e			2 t
														2	e				1	e
																t		0
													(	e	1 t		e		2 t )		[		(0)				(b			2	)]
							1																						1	2
		v(t)					1													t	0											.
																				t	0
					1		2						1		2		b1		(	1	1)
					1		2						1		2		b1		(	1	1)
																t		0
													b (1 e					1 t ) /		1			b (1 e							2 t ) /		2
													0							1			0									2
																					t		0
При	1	0		и	2				и t				0 выражение перепишется в виде
	1				2
													(1		e		t )	[	(0)			(b					)]
							1																1
					v(t)		1								b0									b0								.
													lim			(1		e		1 t )							(1		e	t )



													1	0	1
	Учитывая						тот			факт,				что				lim		b0		(1			e			1 t )		b t		и,	приводя
	Учитывая						тот			факт,				что				lim				(1			e			1 t )		b t		и,	приводя
																			0	1										0
																		1	0	1
слагаемые к общему знаменателю, получаем
					1		(			b1			b0 )				b0 t (				2						b1		b0 ) e			t
			v(t)																													.
			v(t)		2							(0)		(1		e		t )														.
					2

Так	как			(0)		существует								только			при			t		0			и		при			этом		(1 e	t ) 0 ,
																																t	0

последнее слагаемое тождественно равно нулю.

В результате, окончательно получаем решение, соответствующее переходной характеристике, исследуемой аналоговой системы второго порядка с учетом начальных условий, в виде

Как видим, полученное выражение переходной характеристики методом Коши, как реакции на единичный скачок на входе, полностью

совпадает с решениями, полученными операторным методом и методом Лагранжа.

Импульсная характеристика. Перейдем к определению импульсной характеристики. В качестве входного воздействия, в данном случае используется единичный импульс

	E( p)	1	(0)	e(t) .
Операторный метод. При воздействии на вход единичного импульса
изображение выходного напряжения запишется в виде
	E( p) ( p2	b p b )			p2	b p b
V ( p)		1	0			1	0	.
	p ( p		)		p	( p	)

Переходя к правильной дроби, путем деления числителя на знаменатель и, используя таблицы обратного преобразования Лапласа, устанавливаем соответствие между изображением и оригиналом


p2 b	p b						(b		)		p b
1			0	1				1			0
p ( p	)			1					p ( p		)
p ( p	)								p ( p		)
(0)		b1				b0				[		b0	]	e	t
(0)					b1					[		b1	]	e
					b1							b1
(0)	1		b	( 2						b	b ) e			t .


			0						1		0

На основании установленного соответствия, находим оригинал выходного напряжения, соответствующий импульсной характеристике, исследуемой аналоговой системы второго порядка

		p2	b	p b				(b	)	p	b
	V ( p)		1		0	1		1			0
	V ( p)	p ( p			)	1			p ( p	)
		p ( p			)				p ( p	)
		(0)		1	b (		2		b	b )	e t v(t) g(t) .
							2

					0				1	0
	Заметим, что в этом случае							начальное			значение, при t 0 , равно
g(0)	(0) (b1	) . Установившееся значение импульсной характеристики,
при t	, равно g(		)	b0 / .
	Как видим, в соответствии с теоремами операционного исчисления о

начальном и конечном значении функции, выполняются соотношения вида

v(0)	g(0)	lim	p V ( p)	(0)	(b1	) ;
		p
v(	)	g( )	lim p V ( p)		b0 / .
			p 0

Отметим также, что импульсная характеристика может быть получена по переходной характеристике на основании теоремы о дифференцировании оригинала

v'(t) p V ( p) v( 0) ,

так как входное воздействие при исследовании импульсной характеристики, есть производная от входного воздействия при исследовании переходной характеристики. Данное интегральное соотношение может быть переписано в виде

p V ( p)	v'(t)	v(	0) (0) .
Так как реакция на	выходе	в	области изображений теперь

соответствует p V ( p) , то последнее соотношение можем переписать в виде

g(t) h'(t) (0)	h(0) .
Используя полученное выражение, и,	учитывая, что h(0) 1, вновь

получаем выражение для импульсной характеристики, дифференцируя переходную характеристику

Поскольку начальное значение не равно нулю, то импульсная характеристика

содержит

- функцию.

Отметим, что начальное значение импульсной

характеристики, при

0 , равно g(0)

(0)

(b1

) , а

установившееся

значение

импульсной

характеристики, при t

, равно g(

)

b0 / .

Выразим производную от выходной реакции

v'(t)

g'(t)

'(0)

( 2

b )

отметим,

что

значение

производной,

при

0 ,

равно

g'(0)

'(0)

( 2

b ) , а при t

, равно g'(

)

0 .

Заметим, что здесь мы математически определили производную выходной реакции, а не реакцию на производную, от входного воздействия, которая ищется по теореме о дифференцировании оригинала.

Применяя теорему о дифференцировании оригинала v'(t) p V ( p) v( 0)

для определения производной выходной реакции, то есть производной импульсной характеристики, перепишем его в виде

p V ( p) v'(t) v( 0) (0) .

Так как реакция на выходе в области изображений теперь

соответствует p V ( p) , то последнее			соотношение можем переписать в виде
		v'(t) g'(t)	(0) g( 0) .
Используя		полученное	выражение,	и,	учитывая,	что
g( 0)	( 0) (b1	) , и тот факт, что (0)		( 0)	0 , в силу их	-

смещения, вновь получаем выражение для производной импульсной характеристики, дифференцируя импульсную характеристику и, учитывая ее начальное значение

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 119 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
05.02.2023765.77 Кб15Алгоритмы и структуры данных..pdf
#
05.02.2023305.29 Кб12Алгоритмы решения нестандартных задач.-1.pdf
#
05.02.2023488.32 Кб17Алгоритмы решения нестандартных задач.-2.pdf
#
05.02.2023488 Кб15Алгоритмы решения нестандартных задач..pdf
#
05.02.2023201.42 Кб8Амплитудная электрооптическая модуляция лазерного излучения..pdf
#
05.02.20233 Mб8Анализ временных характеристик аналоговых устройств..pdf
#
05.02.20233.33 Mб9Анализ временных характеристик дискретных и цифровых устройств..pdf
#
05.02.2023456.1 Кб12Анализ данных.-1.pdf
#
05.02.2023950.4 Кб15Анализ данных.-2.pdf
#
05.02.20231.01 Mб13Анализ данных..pdf
#
05.02.2023862.94 Кб3Анализ денежных потоков..pdf