Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Анализ временных характеристик аналоговых устройств

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.02.2023

Размер:

3 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1110 11 > Следующая >>>

v'(t) g'(t)	(0)		g( 0)
'(0)	(	2	b	b )	e	t	(0)	(b		)
			1	0				1
'(0)		(0)	(b	) (	2	b	b )		e	t .
			1			1		0
Так как импульсная		характеристика				содержала			- функцию, то ее
производная содержит	производную			-	функции,			а	так	как начальное

значение импульсной характеристики ненулевое, то производная импульсной

характеристики содержит		- функцию.
Начальное	значение	производной импульсной характеристики, при
t 0 , равно g'(0)	'(0)	(0) (b	) ( 2	b	b ) .
		1		1	0

Заметим, что импульсная характеристика, исследуемой аналоговой системы второго порядка, как и переходная характеристика, имеет более сложный вид, по сравнению с характеристиками цепей первого порядка.

Далее, переходим к формированию дифференциального уравнения с целью получения импульсной характеристики путем его аналитического интегрирования.

Формирование и интегрирование дифференциального уравнения.

Дифференциальное уравнение цепи относительно выходного напряжения, как и в предыдущем случае, формируем на основе его операторного выражения, путем замены изображений оригиналами, а оператора Лапласа p

оператором дифференцирования d / dt .

Так, используя операторное выражение для изображения выходного напряжения и, учитывая, что в данном случае E( p) 1, получаем

(0)

[(

)

b ]

E( p) ( p

p b0 )

V ( p)

v(t)

p ( p

)

(

)

''(0)

'(0)

(0)

(

)

где (0) 1-

дельта

функция, как

результат

обратного

преобразования

Лапласа от 1 в области

изображений; '(0)

p -

производная дельта

функции, как результат обратного преобразования Лапласа от

p в области

изображений;

''(0)

p2 -

вторая

производная

дельта

функции, как

результат обратного преобразования Лапласа от p2 в области изображений.

Перегруппировывая полученное выражение, приходим к записи дифференциального уравнения относительно выходного напряжения, исследуемой аналоговой системы второго порядка

v''(t)	v'(t)	''(0) b	'(0) b	(0) .
		1	0

Дифференциальное уравнение цепи относительно выходного напряжения можно получить также из коэффициента передачи по напряжению, путем замены изображений входного воздействия и реакции оригиналами, а оператора Лапласа p оператором дифференцирования d / dt .

Так, используя операторное выражение для изображения коэффициента передачи напряжения, получаем

(

)

V ( p)

p b0

v(t)

K ( p)

E( p)

p ( p

)

(0)

(

)

''(0)

'(0)

(0)

(

)

Перегруппировывая

полученное

выражение

и, учитывая, что

d 2( (0)) / dt2

''(0) ,

d (

(0)) / dt

'(0)

и (0)

приходим

к той же

форме дифференциального уравнения относительно выходного напряжения, исследуемой аналоговой системы второго порядка

v''(t)	v'(t)	''(0) b	'(0) b	(0) .
		1	0

Данное уравнение является неоднородным обыкновенным дифференциальным уравнением второго порядка. В нормальной форме Коши, уравнение, разрешенное относительно старшей производной, имеет вид

v''(t)	v'(t)	''(0) b	'(0) b	(0) .
		1	0

Прежде, чем приступить к интегрированию полученного неоднородного обыкновенного дифференциального уравнения, с целью получения частного решения, необходимо определить начальные условия v(0) и v'(0) .

Определение начальных условий. Для определения начальных условий удобно воспользоваться модифицированной теоремой операционного исчисления о начальном значении функции оригинала

b p

v(0)

lim v(t)

lim p V ( p)

lim

;

b1 p2

(0)

lim v

(t)

lim p

V ( p)

lim

Отметим, что в обоих дробно-рациональных выражениях степень числителя превышает степень знаменателя, и взятие предела дает значение , не раскрывая ее составляющие. Раскрыть конечные и бесконечные составляющие этого предела можно путем последовательного деления числителя на знаменатель, до тех пор, пока степень остатка не станет равной степени знаменателя. При этом, целые части от деления дают составляющие

	93
(0), '(0), ''(0),	и так далее, а остаток деления в пределе при p

дает конечную часть начального условия.

Следуя указанной модификации теоремы о начальном значении, получаем

b p

v(0)

lim

v(t)

lim p V ( p)

lim

(b1

) p b0

(0)

(b1

) ;

b1 p2

b0 p

(0)

lim

(t)

lim

V ( p)

lim

(b1

)

(b1

)

'(0)

)

(0)

)] .

Таким образом, полученные выражение совпали с начальными значениями импульсной характеристики и ее производной, полученными на основании теоремы о дифференцировании оригинала.

Приступаем к интегрированию дифференциального уравнения с целью определения отклика, исследуемой аналоговой системы второго порядка, на единичный скачок на входе.

Метод Лагранжа или метод вариации произвольных постоянных.

Согласно методу Лагранжа, общее решение неоднородного дифференциального уравнения, записывается аналогично решению однородного уравнения, только константы при фундаментальных решениях заменяются неизвестными функциями времени

	v(t) C1(t) f1(t) C2 (t) f2(t) C1(t) e				1 t		C2	(t) e	2 t
	v(t) C1(t) f1(t) C2 (t) f2(t) C1(t) e						C2	(t) e
		C (t) C (t) e t ,
		1	2
где	C1(t), C2 (t) -		неизвестные	функции -	варьируемые					постоянные;
f1(t),	f2 (t) -	фундаментальная		система		решений				однородного
дифференциального уравнения второго порядка;							1	0,	2	- корни
							1		2

характеристического уравнения.

Варьируемые или произвольные постоянные C1(t), C2 (t) находятся из

определяющей системы уравнений Лагранжа, представляющей собой условия, ограничивающие появление производных от неизвестных функций, выше первого порядка, при дифференцировании решения общего вида и результат подстановки общего решения в исходное уравнение

C'	(t)	f (t) C'		(t) f	2	(t) 0
1		1	2		2		,
C'		f '(t) C'		(t) f '			,
C'	(t)	f '(t) C'		(t) f '		(t) F (t)
1		1	2		2

где F(t) - правая часть дифференциального уравнения.

Таким образом, определяющая система Лагранжа имеет вид

C' (t) C'

(t) e

''(0)

'(0)

(t)

(0)

Определим

C' (t)

и C'

(t)

из

предыдущей

системы

уравнений,

воспользовавшись правилом Крамера

t ;

F (t)

[

''(0)

'(0)

(0)]

e t

(0)

b0 (0) ;

C2' 0 F (t)

''(0)

'(0)

(0)

(0) e

Интегрируя полученные выражения, найдем варьируемые постоянные

C (t)

''(0)

'(0)

(0)

'(0)

(0)

;

C (t)

(0)

tdt

где C1, C2 - новые постоянные интегрирования. Здесь при интегрировании

учтено селектирующее свойство

- функции и ее производных

f (t)

(0)

f (0) ;

f (t)

'(0)

f '(0) ;

f (t)

''(0)

f ''(0) .

Подставим полученные значения C1(t) и C2 (t) в общее решение

неоднородного дифференциального уравнения

v(t)

''(0)

'(0)

(0)

(

b ) b

;

			v(t)	1					'(0)					b	(0)					b					(				b )	e		t	b			e		t
																																t						t

														1						0									1					0
					C				C		e			t .
				1					2
Дифференцируя общее решение, находим выражение для его производной
v'(t)	1							''(0) b						'(0)			2			(			b )		e				t		b		e t					C	e	t .
																	2												t

									1														1								0							2
	Значения постоянных интегрирования C1																														и		C2				определим			из
начальных												условий														v(0)				(0)			(b1			)				и
v'(0)	'(0)			(b					)			(0) [b								(b				)] , при t							0
				1											0							1
		v(0)		(0)					(b					)	1					'(0)				b			(0)				(b			)			C	C	;


									1														1									1				1		2
			v'(0)						'(0)			(b			)			(0)				[b					(b			)]
														1									0						1
									1		''(0)				b					'(0)			2		(				b )			b					C .
																							2

															1														1				0			2
	Перепишем данную систему в более удобном виде
															'(0)						(b		)				(0)
									C1		C2											1								(b1			) ;
									C1		C2																			(b1			) ;
														''(0)					(b				)		'(0)
										C2										1									(b1			)		(0) .
										C2																			(b1			)		(0) .
	Из второго уравнения следует, что
											''(0)					(b				)			'(0)					(b			)	(0)
									C2								1												1					.
									C2					2								2												.
														2								2
Подставляя полученное значение C2																						в первое уравнение, получим
	'(0)					(b			)		(0)
C1				1											(b1					)		C2
C1															(b1					)		C2
	'(0)						(b		)					(0)									''(0)						(b		)		'(0)				(b	)	(0)
				1											(b1					)									1							1				;
															(b1					)			2								2									;
																							2								2
															''(0)						b		'(0)
												C1										1							(b1		) .
												C1			2								2						(b1		) .
															2								2
Подстановка найденных констант в общее решение, дает
			v(t)	1					'(0)					b	(0)					b				(b					)	e	t		b			e t
																															t

														1						0					1								0
				''(0)							b			'(0)
											1						(b1						)
									2					2			(b1						)
									2					2
									''(0)				(b1		)			'(0)						(b1			) (0)					e		t	;
									2						2																	e			;
									2						2

	''(0) (e		t	1)		(b	) '(0)	(e	t 1) b	(0) (e t 1)
v(t)					1				1
v(t)		2					2
		2					2
		[b	(	2		b	b )] e	t
	(0)	0			1		0		.
	(0)								.

Так как (0) , '(0) и ''(0) существуют только при t 0 и при этом

(e	t	1) 0	, то первые три слагаемых в выражении равны нулю.

t 0

Таким образом, частное решение дифференциального уравнения, соответствующее импульсной характеристике, исследуемой аналоговой системы второго порядка с учетом начальных условий, принимает вид

v(t) g(t)	(0)	1	b (	2	b	b ) e t .


			0		1	0

Заметим, что полученное методом Лагранжа выражение совпадает с решением операторным методом.

Метод Коши – интегрирования дифференциальных уравнений.

Метод Коши позволяет, используя начальные условия, сразу записать частное решение дифференциального уравнения. Согласно методу Коши, решение системы дифференциальных уравнений первого порядка

		Y '(t)	A Y (t) F (t) ,
где	Y (t), Y '(t), F (t) - в	общем	случае векторы	функций; A- матрица
коэффициентов, может быть представлено в виде или форме Коши
			t
	Y (t)	e A t Y (0) e A (t ) F ( )		d ,
			0
где	- параметр времени; Y (0) -		начальное значение вектор-функции либо

вектор начальных значений системы дифференциальных уравнений; eA t - в случае системы дифференциальных уравнений, экспонента от матрицы коэффициентов.

При этом подразумевается, что система дифференциальных уравнений не вырождена, то есть отсутствуют нулевые и кратные корни характеристического уравнения. В данном случае один корень

характеристического уравнения равен нулю, поэтому для того чтобы воспользоваться методом Коши положим корни отличными от нуля и разными. Далее, доведем аналитическое решение до конца, а затем совершим предельный переход к реальным значениям корней 1 0 и

2 .

Реализуя данную идею, получим заново дифференциальное уравнение характеристике, исследуемой аналоговой системы второго порядка, по трансформированной передаточной характеристике.

Так, используя операторное выражение для изображения коэффициента передачи напряжения, получаем

V ( p)

p2 b p b

b p b

K ( p)

E( p)

p ( p

)

( p

1) ( p

2 )

(

)

(

)

v(t)

(0)

(

1) (

2 )

(

)

(

2 )

1 2

Перегруппировывая

полученное

выражение

и,

учитывая, что

d ( (0)) / dt

'(0)

и d 2(

(0)) / dt2

''(0) ,

приходим

полной форме

дифференциального уравнения относительно выходного напряжения, исследуемой аналоговой системы второго порядка

v''(t) (	1	2	) v'(t)	1	2	v(t)	''(0) b	'(0) b	(0) .
	1	2		1	2		1	0

v''(t)	(	1	2	) v'(t)	1	2	v(t)	''(0) b	'(0) b	(0) .
		1	2		1	2		1	0

Интегрирование полученного неоднородного обыкновенного дифференциального уравнения, с целью получения частного решения, выполним с прежними, то есть истинными начальными условиями

v(0)	(0) (b	2	)	и v'(0)	'(0) (b	2	) (0) [b	2	(b	2	)] , при
	1	2			1	2	0	2	1	2
t 0 .

Метод Коши, применительно к дифференциальным уравнениям выше первого порядка подразумевает предварительный переход к системе дифференциальных уравнений первого порядка путем введения новых переменных.

Для перехода от исходного дифференциального уравнения второго порядка к системе двух дифференциальных уравнений первого порядка введем новые переменные

	y (t)	y		v(t) ;	y	y'	v'(t)	, то есть	y'	v''(t) .
	1	1			2	1			2
В результате приходим к системе вида
y1'	0			1			y1		0
y2'	1	2		( 1	2 )		y2	''(0) b1	'(0) b0 (0)
или
				Y '(t)		A Y (t) F (t) ,
где
			y1(t)		v(t)			'	'	(t) ;
	Y (t)		y1(t)			; Y '(t)		y1(t)	v	(t) ;
			y2 (t)		v'(t)			y2' (t)	v''(t)

F (t)		0		;	A	0	1
F (t)	''(0) b	'(0)		;	A		( 1
	''(0) b	'(0)	b	(0)		1 2	( 1
	1		0

Для нахождения функций от матричного аргумента решить проблему собственных значений и векторов, то каноническое разложение матрицы коэффициентов

A H H 1,

2 ) .

необходимо есть найти

где - диагональная матрица собственных значений, либо матрица Жордана при наличии кратных собственных значений; H - модальная матрица собственных векторов.

Аналитическая функция от матрицы при различных собственных значениях определяется выражением

F ( A) H F ( ) H 1,

где F ( ) - диагональная матрица, в которой элементы есть данная функция

от собственного значения.

Для определения собственных значений воспользуемся характеристическим уравнением

det[ A	] 0;			1		2	(		2 )	1 2 0.
								1
		1 2	( 1		2 )

Как видим, характеристическое уравнение, определенное таким образом, полностью совпадает с характеристическим уравнением, полученным из модифицированной передаточной функции.

Можно убедится, что корни характеристического уравнения или собственные значения равны

1	0		1	0	.

0		0
	2				2

Собственные вектора hi , то есть столбцы модальной матрицы H находятся,

с точностью до постоянных, из решения однородных систем [ A	i ] hi	0 ,
по известны собственным значениям, где i - диагональная матрица с		i

значением по диагонали. Можно показать, что модальная матрица собственных векторов определяется следующим образом

H	11(	1)	11(	2 )	,
H	12 (	1)	12 (	2 )	,

где 1i ( j ) - алгебраические дополнения одной из строк характеристической матрицы [ A j ] , например первой.

Раскрывая указанное соотношение, получаем модальную матрицу собственных векторов в виде

H	(	1	2 ) 1	( 1	2 )	2		2	1	.
H										.
		1	2	1	2		1	2	1	2
Определитель модальной матрицы равен						H	1 2	( 1	2 ) .

Далее, найдем обратную модальную матрицу

H 1			1						1	2		1			1			1		1/	2 .
									1	2		1

		1 2 ( 1					2 )		1 2			2			1		2	1		1/ 1
После этого выразим экспоненту от матрицы
e A t H e t H 1						2			1		e	1 t			0			1			1		1/	2
											e				0			1			1		1/		;

					1	2 1			2			0		e		1 t	1		2		1		1/	1
																1 t					1		1/

eA t		1				2	e	1 t		1	e	2 t				e	1 t	e		2 t
		1					e				e					e		e					.

		1	2		1 2 (e				1 t		e	2 t )			1 e		1 t	2 e 2 t
		1	2		1 2 (e				1 t		e	2 t )			1 e		1 t	2 e 2 t
Отметим, что матрица eA (t							) имеет аналогичную структуру.
Учитывая тот факт, что вектор начальных условий																				Y (0)		и вектор
внешних воздействий F (						)	имеют вид
	y (0)			v(0)									(0) (b1				2 )
Y (0)	1																						;
Y (0)	y2	(0)		v'(0)				'(0)															;
	y2	(0)		v'(0)				'(0)		(b		2	)	(0)			[b	2	(b			2	)]
											1	2					0	2		1		2
					0
F ( )	''(0)				'(0)						,
	''(0)		b		'(0)			b	(0)
			1					0
а также, то,		что	нас		интересует					первая				компонента				вектора				решения

y1(t) v(t) , получаем из полной формулы Коши выражение для выходного напряжения в виде

					(		2	e		1 t		1	e	2 t )		[	(0)	(b		2	)]
							2					1							1	2
					(		e		1 t		e	2 t )
	v(t)			1			'(0)			(b1		2 )		(0)	[b0			2	(b1		2 )]	.
	v(t)		1		2		'(0)			(b1		2 )		(0)	[b0			2	(b1		2 )]	.
			1		2
						t	( e			1 (t		) e		2 (t			) )		d
									''(0)				'(0)						d
					0		(		''(0)		b		'(0)		b		(0))
											1				0
	Раскрывая интеграл и, приводя подобные, получаем
					(		2	e		1 t		1	e	2 t )		[	(0)	(b		2	)]
							2					1							1	2
				1	(		e		1 t		e	2 t )
	v(t)			1																		.
							'(0)			(b1		2 )		(0)	[b0				(b1		2 )]
			1		2													2
			1		2													2
					(			2		b	1	b )		(	2		b	2	b )
								1		1	1		0		2		1	2	0
При	1	0	и	2		выражение перепишется в виде
	1			2

100

[ (0)

(b1

)]

v(t)

[

'(0)

)

(0)

)] (1

t )

;

(b1

) b0

t 0

[

'(0)

) (0)]

(1 e

t )

(0)

(b1

)

v(t)

t 0

[b0

(b1

)] e

(b1

)

(b1

)

t 0

Приводя подобные и, сращивая слагаемые по времени, получаем

[

'(0)

)

(0)]

e t )

)]

v(t)

(0)

'(0)

t )

Так как

(0) и

существуют только при t

0 и при этом (1 e

0 ,

второе слагаемое тождественно равно нулю.

В результате, окончательно получаем решение, переходной характеристике, исследуемой аналоговой порядка с учетом начальных условий, в виде

v(t) g(t)	(0)	1	b (	2	b	b ) e


			0		1	0

соответствующее системы второго

t .

Как видим, полученное методом Коши решение совпадает с предыдущими решениями операторным методом и методом Лагранжа и представляет импульсную характеристику, исследуемой аналоговой системы второго порядка, где в качестве реакции на единичный импульс на входе, рассматривается напряжение на выходе.

Таким образом, все три метода, предлагаемой методики исследования временных характеристик (операторный, Лагранжа и Коши), дают совпадающие результаты при их корректном применении.

Применение конкретного метода, определяется, как уже отмечалось, субъективными и объективными факторами. Так операторный метод отличается своей простотой, но проблематичен при автоматизации численноаналитических исследований. Метод Коши, напротив, наиболее формализуем и прост для реализации в современных системах аналитических исследований. Метод Лагранжа занимает в этом отношении промежуточное положение. Овладение каждым из проиллюстрированных методов позволит приобрести навык математических исследований, который пригодится при освоении специальных дисциплин и последующей инженерной и исследовательской деятельности.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1110 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
05.02.2023765.77 Кб15Алгоритмы и структуры данных..pdf
#
05.02.2023305.29 Кб12Алгоритмы решения нестандартных задач.-1.pdf
#
05.02.2023488.32 Кб17Алгоритмы решения нестандартных задач.-2.pdf
#
05.02.2023488 Кб15Алгоритмы решения нестандартных задач..pdf
#
05.02.2023201.42 Кб8Амплитудная электрооптическая модуляция лазерного излучения..pdf
#
05.02.20233 Mб8Анализ временных характеристик аналоговых устройств..pdf
#
05.02.20233.33 Mб9Анализ временных характеристик дискретных и цифровых устройств..pdf
#
05.02.2023456.1 Кб12Анализ данных.-1.pdf
#
05.02.2023950.4 Кб15Анализ данных.-2.pdf
#
05.02.20231.01 Mб13Анализ данных..pdf
#
05.02.2023862.94 Кб3Анализ денежных потоков..pdf