Фоторефрактивные эффекты в электрооптических кристаллах

деляются распределением электрического поля E( ). Для нахождения распределения упругого поля подставим Tij из (2.7)

в уравнение (2.10) и учтем соотношения (2.9), (2.12) и (2.13). Используя также свойства симметрии тензора CiEjkl , получаем

где Ai — компоненты не зависящего от координаты векто-

ра А, который может быть определен из граничных условий. В дальнейшем будем полагать Ai 0. В этом случае связь упру-

гих смещений Uk с наведенным полем E выражается из уравнения (2.14) в следующем виде:

где ki — компоненты тензора, обратного к компонентам тензора Кристоффеля ik CiEjkl p j pl , хорошо известного в теории аку-

стических волн [78, 79].

Отметим, что соотношение (2.14) для Uk , полученное

впервые в работе [4], не накладывает ограничений на форму распределения наведенного электрического поля E( ). Оно являет-

ся более общим, чем соотношения для Skl [10, 23] и Uk [24],

полученные для фоторефрактивных решеток с гармонической зависимостью E( ).

2.3. Материальные уравнения для фоторефрактивных пьезокристаллов

С использованием соотношения (2.15) материальное уравнение для вектора электрической индукции (2.8) может быть представлено в виде

Последний член в сумме в правой части уравнения (2.16) представляет пьезоэлектрическую поляризацию среды, которая пропорциональна наведенному полю пространственного заряда

41

и определяет дополнительный вклад пьезоэффекта в электрическую индукцию кристалла, наведенную световым излучением.

Принимая во внимание соотношения (2.12) и (2.16), систему материальных уравнений (2.1)–(2.5), (2.7)–(2.9) можно преобразовать к следующему виду:

От аналогичных уравнений (1.21)–(1.23), широко используемых и подробно анализируемых в литературе, система уравнений (2.17)–(2.20) отличается использованием эффективной подвижности mn pm pn и эффективной статической диэлек-

трической проницаемости фоторефрактивного пьезокристалла [3, 6, 11, 23, 24], которая определяется выражением

мость среды без учета пьезоэффекта для механически зажатого кристалла; ek enkl pl pn — компоненты некоторого вектора e .

2.4. Эффективная статическая диэлектрическая проницаемость фоторефрактивных пьезокристаллов

С эффективными параметрами и связано время макс-

велловской (диэлектрической) релаксации, характеризующее скорость формирования фоторефрактивной решетки (см. подразд. 1.3), которое в рассматриваемом случае может быть выражено как di , где nk pn pk — эффективная прово-

димость кристалла в направлении вектора решетки K . Пьезо-

42

электрический вклад в электрическую поляризацию среды перенормирует эффективную диэлектрическую проницаемость и изменяет время диэлектрической релаксации di .

Величина определяет и скорость записи голограммы на начальном участке, когда токи проводимости малы и ими можно пренебречь. В этом случае для фотогальванического механизма формирования голограммы в разомкнутом кристалле из уравне-

ний (2.17), (2.19) и (2.20) получаем

Соотношение (2.22) использовалось авторами работ [96, 97] для определения фотогальванических постоянных lij кристалла

LiNbO3:Fe исходя из экспериментальных зависимостей дифракционной эффективности голографических решеток от времени записи. Точность определения постоянных lij зависит и от ис-

пользуемых значений эффективной статической диэлектрической проницаемости . Сравним ниже значения эффективной статической диэлектрической проницаемости , определяемой формулой (2.21), со значениями эффективных проницаемостей

значениям компонент тензоров диэлектрической проницаемости для механически зажатого и свободного кристаллов соответственно. Проведем рассмотрение для нескольких характерных случаев ориентации вектора решетки K в кристаллах LiNbO3 и BaTiO3 [6], а также для кубических фоторефрактивных кристаллов [6, 25].

2.4.1. Ниобат лития

Вектор решетки K ориентирован вдоль полярной оси z.

Учитывая вид материальных тензоров CiEjkl и emkl (см., напри-

43

Здесь мы перешли от тензорных обозначений CiEjkl и emkl к матричным CE и e , пользуясь известными правилами [79].

Отсюда, полагая равным нулю получающийся при интегрировании (2.23) компонент A3 не зависящего от координаты z вектора

A, находим

С учетом (2.24) из уравнения состояния (2.8) получаем

Такое же выражение для получается и из формулы (2.21). Используя значения компонент материальных тензоров ниобата лития из работы [80], находим значение эффективной ста-

тической диэлектрической проницаемости Ф/м, отличающееся от диэлектрической проницаемости зажатого кристалла S всего на 3 % и практически равное диэлектрической проницаемости T свободного кристалла.

Вектор решетки K ориентирован вдоль оси x. В этом случае составляющие вектора p равны: p1 1, p2 p3 0 . Учи-

тывая вид тензоров CiEjkl и emkl для ниобата лития (класс симметрии 3m), находим компоненты симметричного тензора Кристоффеля ik CiEjkl p j pl :

11 C11E , 22 C66E , 33 C44E , 23 C14E , 12 13 0,

и вектора ek enkl pl pn :

e1 0, e2 e22 , e3 e15.

Отсюда легко находятся нужные для расчета компоненты тензора ki , обратного к ik :

44

трический вклад, заметно отличается как от эффективной диэлектрической проницаемости S , вычисленной без учета пьезоэффекта по материальным константам mnS механически зажа-

того кристалла, так и от эффективной проницаемости T , рассчитанной по константам Tmn свободного кристалла. Отметим,

что эти эффективные параметры удовлетворяют неравенству

T S [6].

2.4.2. Титанат бария

Вектор решетки K ориентирован в плоскости XZ под углом к оси z. В этом случае составляющие единичного вектора p равны:

Для тетрагональной модификации BaTiO3 (класс симметрии 4mm), широко используемой в динамической голографии, компоненты вектора e и тензора Кристоффеля Γ имеют вид

11 C11E sin2 C44E cos2

(CE CE )sin cos ,

13 44

12 23 0.

46

Расчеты показывают, что при ориентации вектора решетки вдоль полярной оси z ( 0 ) эффективная статическая диэлек-

трическая проницаемость Ф/м принимает промежуточное значение относительно проницаемостей зажатого

( S 4,958 10 10 Ф/м) и свободного ( T 11,42 10 10 Ф/м) кри-

сталла. Для фоторефрактивной решетки, вектор которой направлен вдоль оси x ( 900 ), проницаемость Ф/м

кристалла BaTiO3 получены авторами работы [38].

47

тотной диэлектрической проницаемости среды, вызываемые фоторефрактивной голограммой [4, 5, 7, 10, 11]. Возмущения компонент тензора диэлектрической непроницаемости кристалла на частоте световой волны Bij низкочастотными электрическими

и упругими полями определяются известным выражением [79]

и фотоупругого эффектов, то есть вторичный вклад. Связь возмущений Bij с модуляцией относительной диэлектрической

проницаемости кристалла определяется выражением [79]

где 0mi — высокочастотная относительная диэлектрическая про-

ницаемость невозмущенного кристалла. Отметим, что из формул (2.34) и (2.35) нетрудно получить соотношение (1.66) для mn .

Поскольку глубина модуляции оптических свойств среды фоторефрактивной голограммой однозначно определяется электрическим полем, во многих случаях дополнительный вклад пьезоэлектрического и упругого эффектов может быть учтен введением эффективных электрооптических постоянных rijp :

2.5.2. Анизотропия электрооптической

ифотоупругой компонент фоторефрактивной решетки

вкристаллах ниобата лития и арсенида галлия

Численный анализ анизотропии электрооптического и фотоупругого эффекта в электрооптических кристаллах был проведен в работах [4, 23] для кристалла ниобата лития и в работе [11]

49

для кубических кристаллов. Результаты численных расчетов [4, 23] некоторых угловых зависимостей величин Bmn и

в плоскостях YZ и XZ, приведены на рис. 2.3.

Рис. 2.3. Угловые зависимости Bmn и BmnЭО для плоскостей XZ и YZ кристалла LiNbO3:

50