Устройства СВЧ и антенны

161

где det(t) = t11t22 – t 12t21 - определитель матрицы [t] и аналогично det(S). Например,

Рекомендуется формулы (6.13) получить самостоятельно. Конечно, элементы Sik могут быть также выражены через Zik или Yik, однако, эта связь получается достаточно громоздкой и используется сравнительно редко. При желании можно обратиться к рекомендуемой литературе [4,6].

6.3. Нормированные напряжения, токи и матрицы

Напряжения и токи, о которых шла речь выше, имеют определенный физический смысл лишь для линий передач с Т – волнами. Для металлических или диэлектрических волноводов они фактически не определены. По этой и некоторым другим причинам, о которых речь пойдет ниже, полезно

Исходным соотношением для введения нормированных величин является выражение для средней по времени мощности, переносимой по линии бегущей волной

S

где S – площадь поперечного сечения линии передачи, n -единичная нормаль к поверхности S, направленная в сторону распространения волны.

Вклад в интеграл формулы (6.14) вносят лишь поперечные составляю-

ны между собой через характеристическое сопротивление линии передачи Zx, то выражение (6.14) может быть упрощено

переносимая бегущей волной, может быть выражена для таких линий через амплитуды напряжения и тока

Введем нормированные напряжение и ток так, чтобы квадраты их модулей были равны мощности бегущей волны

щей волне. Размерность V и i одинакова - Вт . Таким образом, для линий передач с Т-волнами нормированные напряжение V и ток i вводятся как

комплексная амплитуда компоненты Еy, а и b – размеры поперечного сечения

данном случае воздуха (предполагается волновод с воздушным заполнением). Очевидно, что нормированное напряжение в любом поперечном сечении линии передачи с координатой z может быть представлено как сумма нормированных напряжений падающей и отраженной волн в этом сечении

сопротивления линий передач на входах многополюсника будем для общности считать различными.

163

Аналогично проводится нормировка матриц [ t ], [ Z ], и [Y ].

Можно показать [4,6], что для нормированных матриц справедливы следую-

рицу. Убедитесь самостоятельно, что нормировка матриц не меняет соотно-

6.4. Зависимость элементов матрицы [S] от положения входов (плоскостей отсчета фаз)

Во многих случаях положение входов многополюсника является достаточно условным, т.е. плоскость отсчета может быть передвинута на новое место. Как при этом изменятся элементы Sik? Рассмотрим это на примере четырехполюсника (рис.6.3)

Пусть [ Sa ] - матрица рассеяния четырехполюсника с входами “ а”, [ Sb ] – матрица рассеяния четырехполюсника с входами “b”. Напряжения в сечениях “a” и “b” могут быть выражены друг через друга, если учесть, что в бегущей волне изменение фазы на расстоянии l описывается множителем

164

e− jγl в направлении распространения волны и e+ jγl - в противоположном направлении, где γ − постоянная распространения в линии.

Таким образом, при отодвигании плоскостей отсчета от многополюсника меняются лишь фазы коэффициентов Sik, уменьшаясь на величины γ1l1 и γ2 l2 согласно (6.24). Это свойство можно использовать для выбора положения плоскостей отсчета, чтобы изменять фазы коэффициентов Sik.

6.5.Свойства многополюсников и их матриц [S]

Нормированные матрицы ~ обладают двумя замечательными свойст-

[S ]

вами, связанными с физическими свойствами многополюсников.

Свойство 1. Взаимному многополюснику соответствует симметричная

нормированная матрица рассеяния [~]

S .

Из общей теории электрических цепей известно, что для взаимного

т.е. матрица проводимости взаимного многополюсника симметрична относительно главной диагонали. Аналогичным свойством будет обладать согласно

диагонали. Соотношение (6.26) означает, что внутри многополюсника пере-

165

внутри его невзаимных элементов: диодов, транзисторов, намагниченных ферритов и плазмы и обычно легко определяется самим типом многополюс-

Недиссипативным (реактивным) многополюсником называется многополюсник, внутри которого отсутствуют потери энергии. Конечно, реально внутренние потери всегда присутствуют, но они могут быть пренебрежимо малы по сравнению с общей мощностью на входах многополюсника.

Очевидно, что для недиссипативного многополюсника закон сохранения энергии может быть записан так

т.е. суммы мощностей всех падающих и отраженных волн должны быть равны. Обозначим

отраженных волн, сумма их мощностей во всех плечах может быть записана в виде

транспонировании произведения матриц меняется их порядок в произведении

Приравнивая (6.28) и (6.30) приходим к соотношению

166

Из него следует, что для недиссипативных (реактивных) многополюсников и их нормированных матриц рассеяния должно быть справедливо следующее утверждение:

Произведение транспонированной матрицы на комплексносопряженную матрицу должно давать единичную матрицу (матричную единицу), т.е.

где [Е] – единичная матрица, у которой все элементы главной диагонали равны 1, остальные есть 0. Матрицы, удовлетворяющие условию (6.32), в математике называются унитарными.

мере недиссипативного четырехполюсника. Запишем исходную, транспонированную и комплексно-сопряженную матрицы, а также условие унитарности

(6.32)

ски имеем три независимых уравнения. Общее правило их составления можно сформулировать в виде:

1.Сумма квадратов модулей элементов каждого столбца унитарной матрицы равна 1.

2.Сумма произведений элементов одного столбца на комплексносопряженные элементы другого равна 0.

Нетрудно видеть, что первое правило отражает закон сохранения энергии для каждого входа многополюсника при условии согласования остальных плеч.

Действительно, представим, что на 1-ый вход 2Nполюсника падает

167

т.е. сумма мощностей, уходящих от многополюсника волн, должна давать 1 Вт.

~ 2

S21

2

Pпад = 1 Вт

1

~ 2

S11

Рис.6.4

Свойство недиссипативности, так же как взаимности, в большинстве случаев является очевидным. Использование этих свойств в сочетании с использованием свойства симметрии многополюсника значительно облегчают

задачу определения его матрицы [~] Далее мы рассмотрим применение этих

S .

общих положений теории многополюсников для анализа конкретных устройств СВЧ, разделяя их по числу полюсов (входов).

6.6. Двух и четырехполюсники СВЧ

Двухполюсники СВЧ.

Двухполюсники, т.е. устройства, имеющие один вход, являются оконечными нагрузками линий передач. Для описания их свойств достаточно одного параметра – сопротивления нагрузки ZН и связанного с ним комплексного коэффициента отражения Г, который играет роль матрицы рассеяния двухполюсника. Связанные с этим вопросы согласования с использованием диаграммы Вольперта были рассмотрены выше в главе 2 данного курса. В диапазоне СВЧ двухполюсниками являются различные нагрузки линий передач: согласованные нагрузки коаксиальные и волноводные, короткозамыкатели, детекторные секции и т.п. Передающие антенны для линий передачи являются нагрузками и, таким образом, также двухполюсниками. Описание волноводных, коаксиальных и полосковых короткозамыкателей и согласованных нагрузок можно найти в [2,4,5,6]

Элементарные четырехполюсники СВЧ.

К четерехполюсникам СВЧ относятся многочисленные устройства:

168

∙переходы с одной линии передачи на другую: волноводно – коаксиальные, волноводно – полосковые и т.п.;

∙переходы между линиями одного типа, но разных размеров, так называемые, скачки волновых сопротивлений;

∙фильтры;

∙фазовращатели, аттенюаторы, вентили;

∙согласующие устройства, рассмотренные в главе 2;

∙резонаторы, включенные на проход.

Усилители также являются четырехполюсниками, но активными. Здесь мы ограничимся лишь пассивными устройствами. Описание конструкций конкретных типов четырехполюсников можно найти в [2,3,4,5]. При анализе сложных устройств их обычно разделяют на простейшие элементы с известными матрицами [S ] или [t], по которым затем определяют общую (объединенную) матрицу рассеяния (метод декомпозиции, рассмотренный ниже, в разделе 6.9).

Четырехполюсник – взаимный, реактивный, симметричный. Матрица – симметричная, унитарная.

б) Отрезок линии передачи с потерями с комплексной постоянной распространения γ& = β + jα и длиной- l

169

ца – симметричная, неунитарная.

в) Идеальный трансформатор с коэффициентом трансформации n, ZВ1 и ZВ2- волновые сопротивления входной и выходной линий передач

Четырехполюсник – взаимный, реактивный, антиметричный. Нормированная матрица – симметричная, унитарная.

Запишите ненормированную матрицу рассеяния и обьясните причину того, что она стала несимметричной и неунитарной.

г) Идеальный вентиль – устройство, которое пропускает энергию без поглощения в одном направлении и полностью поглощает в другом.

Матрица – несимметричная, неунитарная. ϕ - сдвиг фазы волны в прямом направлении.

д) Идеальный невзаимный фазовращатель – устройство, создающее сдвиг по фазе между входным и выходным напряжением, зависящий от направления распространения волны.

Четырехполюсник – невзаимный, реактивный, несимметричный. Матрица – несимметричная, унитарная.

е) Сопротивление Z= R+jX , последовательно включенное в линию с волновым сопротивлением ZB. Длина подводящих отрезков линий считается равной 0.