Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Математическое моделирование радиотехнических устройств и систем

..pdf
Скачиваний:
140
Добавлен:
05.02.2023
Размер:
2.45 Mб
Скачать

1.3.3. Моделирование стационарных негауссовских процессов

В тех случаях, когда необходимо смоделировать стационарный не гауссовский процесс, используют способ, который заключается в про пускании белого шума через линейный формирующий фильтр и нели нейное безынерционное звено (рис. 1.9)

n(t)

45265 6

(t)

1234526572

(t)

 

7 4 46

 

829 52 475572

 

 

43

 

9 257

 

 

 

 

 

 

Рис. 1.9

При этом для решения задачи достаточно задать одномерную плот

ность распределения вероятности f1 1y2 моделируемого случайного про

цесса 31t2 и его корреляционную функцию R1

132 . Поскольку в общем

случае одним и тем же функциям f1 1y2 и R1 132

может соответствовать

бесконечное множество случайных процессов, отличающихся друг от друга многомерными плотностями распределения, то используемый метод, позволяющий создать выборку отсчетов с необходимыми свой ствами, является приближенным.

Рассматриваемая задача решается в два этапа, сначала находится вид нелинейности безынерционного звена, а затем – частотную харак теристику линейного формирующего фильтра.

Определим вид нелинейности. Поскольку белый шум подается сна чала на линейный фильтр, процесс (t) будет гауссовским. Без потери общности можно считать, что его математическое ожидание равно нулю, а дисперсия – единице, т. е. процесс (t) – стандартный гауссовский, и

его одномерная плотность распределения равна

 

f2

1x2 3

e x2 2

,

 

x

 

4 5.

(1.72)

 

 

 

 

26

 

 

 

 

 

 

Допустим, что входной и выходной сигналы нелинейного безынер

ционного звена связаны функциональной зависимостью

 

31t2 4 g151t22,

(1.73)

где g1x2 – некоторая функция, которую необходимо найти. Рассмот рим интегральную функцию распределения вероятностей процесса 31t2

F1 1y2 5 Pr36 7 y4 5 Pr3g182 7 y4.

41

Допустим, что g1x2 – неубывающая функция. Тогда для нее суще ствует обратная функция g 1 1x2 и последнее равенство может быть за писано в виде

 

 

 

2

1

 

2

 

 

 

3

1

 

4

3 1

 

 

1

 

2

2

 

(1.74)

 

 

 

F

y

5 Pr

 

6 7 g 1

y

2

5 F g

1

y

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где F1 1x2 7

1

3

 

 

 

5

x 6

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9

18 erf

 

 

– интегральная функция стандартного

 

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

нормального распределения. Вводя новую переменную y 3 g1x2

и диф

ференцируя (1.74), получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f2 1g1x22g31x2 4

e x2 2

.

 

 

 

 

 

 

(1.75)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

25

 

 

 

 

 

 

 

 

Уравнение (1.75) является обыкновенным дифференциальным урав нением относительно функции y 3 g1x2 , которое может быть решено если не аналитически, то численно. Таким образом определяется вид нелинейности безынерционного звена.

Найдем коэффициент передачи формирующего фильтра. В соответ ствии с определением корреляционная функция процесса 31t2 равна

R 132 4 51t251t 6 32 4 77g1x1 2g1x2 2f 1x1,x2 2dx1dx2,

где f1 1x1,x2 2 –двухмерная плотность распределения отсчетов случай ного процесса 31t2 в моменты времени t и t 1 2 . Учитывая, что 31t2 – стандартный гауссовский процесс

 

 

g1x1 2g1x2 2

3

x

2

5 2rx x

6 x

2

4

 

R1 182

9

7

 

 

7

 

 

 

 

exp 5

1

 

 

 

1

2

 

2

dx1dx2,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

1

2

2

 

 

 

2

1

1

5 r

 

2

 

 

 

(1.76)

 

 

2 1 5 r

 

7

 

 

 

 

 

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где r 3 r 142 – коэффициент корреляции (нормированная корреляцион ная функция) процесса 31t2 . Для определения коэффициента передачи формирующего фильтра необходимо, как это следует из материалов предыдущих разделов, найти коэффициент корреляции r 132 , если не аналитически, то численно. Для этого выбирается момент 1 , вычисля ется R1 132 и находится такое число r, которое удовлетворяет (1.76). В итоге получается последовательность значений r 132 в заранее выбран ных точках.

Процедуру нахождения r 132 можно облегчить, если представить f1 1x1,x2 2 в виде обратного преобразования Фурье от характеристичес кой функции двухмерного нормального распределения

42

f3 1x1,x2 2 3

1

 

55e

0,51q12

2rq1q2

 

q22

2

 

i1x1q1

 

x2q2

2

 

 

 

2

 

2

 

 

e

 

2

 

dq1dq2.

(1.77)

124

22

 

 

 

 

 

Подставляя (1.77) в (1.76) и раскладывая e rq1q2 в ряд Тейлора, по лучим

 

 

1

15r2

k 3

1

1

 

2

42

 

 

 

R 162

7

8

 

 

 

qkG1q2e20,5q

 

dq9

,

(1.78)

 

k!

 

 

 

 

 

 

 

3

k40

 

82

 

 

9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

21

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где G1q2

3 4 g1x2e2iqxdx – преобразование Фурье функции g1x2 . С уве

 

21

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

личением k коэффициент 1

3r

2

k

убывает очень быстро. Поэтому, заме

 

 

 

k!

няя бесконечный ряд в (1.77) конечной суммой, получим уравнение

 

 

 

 

K

 

 

 

 

 

 

 

 

5ckrk 132 4 R 132,

 

(1.79)

 

 

 

 

k 0

 

 

 

 

 

6 1512

k 3

1

1

2 42

 

 

 

где ck

7

qkG1q2e20,5q

dq8

– независящие от r 13

2

коэффици

29

 

k!

7

21

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

енты, которые могут быть вычислены заранее после того, как найдена нелинейная функция g1x2 . При фиксированном 1 (1.79) является ал гебраическим уравнением K го порядка относительно неизвестно го r 132 .Численные методы решения таких уравнений хорошо извест ны. Поэтому решить (1.79) и найти функцию r 13 2 не представляет тру да. После нахождения r 132 можно воспользоваться рассмотренными методами генерации гауссовских случайных процессов и получить вы борку отсчетов случайного процесса 31t2 нужной длины. После этого искомая выборка отсчетов процесса 31t2 получается как результат не линейного преобразования отсчетов 31t2 в соответствии с (1.73).

43

2. МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СИГНАЛОВ И ПОМЕХ ЛИНЕЙНЫМИ

ИНЕЛИНЕЙНЫМИ ЗВЕНЬЯМИ

2.1.Моделирование линейных звеньев

Любое преобразующее радиосигнал устройство может быть представ лено в виде совокупности линейных и нелинейных звеньев. Формально различие между этими двумя категориями заключается в типе диффе ренциальных уравнений, описывающих связь входных и выходных сигналов: для первой категории эти уравнения линейные, а для второй – нелинейные. Неформально различие между ними проявляется при ана лизе реакции системы на входное воздействие, которое может быть пред ставлено в виде суммы (суперпозиции) сигналов

x1t2 3 4xk 1t2.

(2.1)

k

 

Для линейных систем реакция y1t2 на воздействие x1t2

является

суммой реакций на каждый из сигналов xk 1t2

 

y1t2 3 4yk 1t2,

(2.2)

k

 

где yk 1t2 – реакция системы на сигнал xk 1t2 .

 

Таким образом, для линейной системы выполняется принцип супер позиции. Для нелинейной системы (2.2) не выполняется, а, следова тельно, не справедлив и принцип суперпозиции. В связи со значитель ной разницей физических свойств линейных и нелинейных звеньев при их моделировании используются различные методы.

Пусть линейное звено (ЛЗ) описывается линейным дифференциаль

ным уравнением с постоянными коэффициентами

 

aMy1M2 1t2 3 aM 1y1M 12 1t2 313 a0y1t2 4

 

4 bNx1N2 1t2 3 bN 1x1N 12 1t2 313 b0x1t2,

(2.3)

где x1t2 и y1t2 – входной и выходной сигналы.

Допустим, что на вход подается гармонический сигнал x1t2 3 ei1 t . Из теории электрических цепей известно, что сигнал на выходе систе мы через некоторое время, равное интервалу затухания переходных процессов, тоже будет иметь вид гармонического сигнала, но с отлич

44

ной от входного амплитудой и фазой – y1t2 3 Aei1 t . Подставляя выра

жения для x1t2

и y1t2

в (2.3), получим

 

 

A 5

 

bN 1i32N 4 bN 1 1i32N 1 414 b0

.

 

aM 1i32M 4 aM 1 1i32M 1 414 a0

 

 

 

Амплитуда A является комплексной функцией только частоты 1 . Поскольку при гармоническом сигнале на входе выполняется равен ство y1t2 3 Ax1t2 , то A может рассматриваться как коэффициент пере дачи звена. Тогда, вводя переменную s 1 i2 , для коэффициента переда чи ЛЗ, получим

H1s2 4 bNsN 3 bN 1sN 1 313 b0 .

 

aMsM 3 aM 1sM 1 313 a0

(2.4)

Функция H1s2 полностью характеризует ЛЗ. В частности, частот ная характеристика ЛЗ равна H1i32 , а импульсная характеристика может быть получена как обратное преобразование Фурье от H1i32 или обратное преобразование Лапласа от H1s2

 

1

1

i

 

t

 

1

23i1

s t

 

h1t2 3

 

6

H1i42e

4

 

d4 3

 

6 H1s2e

ds,

(2.5)

25

 

25i

 

 

51

 

 

 

 

 

25i1

 

 

причем контур интегрирования во втором интеграле, представляющий собой параллельную мнимой оси прямую на комплексной плоскости переменной s, выбором 1 смещается так, чтобы все особенности функ ции H1s2 были расположены слева от него.

Существует и обратная связь, позволяющая по импульсной харак теристике, определить коэффициент передачи или частотную характе ристику ЛЗ

 

1

1

 

H1i32

4 5h1t2e2i3 tdt,H1s2 4

5h1t2e2s tdt.

(2.6)

 

0

0

 

При записи (2.6) предполагается, что h1t2 3 0 при t 1 0 , т. е. ЛЗ яв ляется реализуемым (удовлетворяет принципу причинности). Можно показать, что необходимым условием для реализуемости ЛЗ является расположение всех особых точек функции H1s2 , а такими в соответ ствии с (2.4) могут быть только полюсы, слева от мнимой оси комплек сной плоскости переменной s.

При цифровом моделировании ЛЗ его входной x1t2 и выходной y1t2 сигналы представляются в виде решетчатых функций x1n2 и y1n2 , ко торые отличны от нуля для дискретных моментов времени nT,

45

n=0,1,2,..., где T – период дискретизации. Точное равенство входных x1n2 5 x3nT4 и выходных сигналов y1n2 5 y3nT4 ЛЗ и его цифровой мо дели не достижимо. На практике возможно лишь приближенное равен ство y1n2 5 y3nT4 . Задачей синтеза цифровой модели является нахож дение такого алгоритма вычисления y1n2 по x1n2, при котором это при ближенное равенство выполняется как можно точнее. В такой поста новке задача моделирования ЛЗ ничем не отличается от задачи синтеза цифрового фильтра (ЦФ) по его аналоговому прототипу. При этом само ЛЗ будет эквивалентно фильтру аналоговому (прототипу), а его цифро вая модель – фильтру цифровому. Рассмотрим некоторые методы со ставления цифровых моделей линейных звеньев.

2.1.1. Метод инвариантности импульсной характеристики

При синтезе модели этим методом обеспечивается равенство импуль сных характеристик аналогового фильтра и цифрового фильтра

h1n2 5 h3T4, n 5 0,1,...

(2.7)

Передаточная функция ЦФ при этом равна z преобразованию от импульсной характеристики

 

1

 

 

H1z2

5 6h3n4 z2n.

(2.8)

 

n

0

 

 

3

 

 

Допустим, что аналоговый фильтр имеет передаточную функцию вида

H1s2 4 H0

1s 3 S1 21s 3 S2

211s 3 SM 2

,

(2.9)

 

1s 3 s1 21s 3 s2

211s 3 sN 2

 

 

где Sm, m 11,M и sn, n 11,N – нули и полюсы передаточной характери стики. Импульсная характеристика аналогового фильтра однозначно определяется как преобразование Лапласа функции H1s2 , и в случае,

когда полюсы sn, n 11,N простые, равна

 

N

 

h1t2

3 4 Akeskt,

(2.10)

 

k11

 

где Ak 3 H1s21s 4 sk 2 s1sk ; Re 1sk2 3 0, k 41,N . Тогда на основании (2.7) импульсная характеристика ЦФ равна

 

N

 

h1n2

3 4 AkeskT n.

(2.11)

 

k11

 

46

11

 

 

 

21

 

12345657 86795

 

 

 

 

12 5 54

 

 

 

 

1

 

 

1122

12345657 86795

 

3122

213

 

412

 

12 5 54

 

 

4

 

 

 

 

3

 

 

 

 

12345657 86795

 

 

12345657 86795

 

 

 

12 5 54

 

12 5 54

 

 

 

1

 

 

 

Рис. 2.1

Подставляя (2.11) в (2.8), получим коэффициент передачи ЦФ

N

H1z2 3 5 4 Ak . (2.12)

k211 eskTz 1

Учитывая, что умножение z преобразования цифрового сигнала на z–1 эквивалентно задержке сигнала на период дискретизации T, полу чим схему реализации фильтра в виде N параллельно включенных циф ровых звеньев первого порядка (рис. 2.1).

Докажем, что рассматриваемый метод дает устойчивый реализуемый цифровой фильтр. Для доказательства устойчивости обратимся к

(2.11). Поскольку Re 1sk2 3 0, k 4 1,N , то экспоненциальные члены eskTn при увеличении n будут убывать, и h1n2 3 0 при n 12 . Следователь но, получающийся в результате использования метода инвариантнос ти импульсной характеристики ЦФ будет устойчив. Рассмотрим теперь вопрос о реализуемости. Из теории цифровых фильтров известно, что для реализуемости необходимо, чтобы полюсы коэффициента передачи ЦФ лежали внутри круга единичного радиуса на плоскости перемен ной z . Из (2.12) следует, что коэффициент передачи H1z2 синтезируе мого фильтра имеет N полюсов zk 1 eskT, k 11,N . В силу того, что Re 1sk2 3 0, k 4 1,N , получаем zk 3 eRe1sk 2T 4 1, k 3 1,N , Следовательно, все полюсы фильтра лежат внутри круга единичного радиуса, и синте зируемый фильтр реализуем.

Рассмотренный метод не может быть использован, когда коэффици ент передачи аналогового фильтра H1s2 не имеет полюсов ( N 1 0 ) или когда число полюсов меньше числа нулей ( N 1 M ).

47

2.1.2. Метод билинейного преобразования

Пусть коэффициент передачи аналогового фильтра задан в виде

H1s2 4 bMsM 3 bM 1sM 1 313 b0 ,

(2.13)

aNsN 3 aN 1sN 1 313 a0

причем N 1 M . Без потери общности можно считать, что aN 11 . Разде лим числитель и знаменатель (2.13) на sN . В результате получим

H1s2 4 bM 11 s2N M 3 bM 1 11 s2M N 1 313 b0 11 s2N .

(2.14)

13 aN 1 11 s2 313 a0 11 s2N

Фильтр с коэффициентом передачи (2.14) может быть реализован по схеме, приведенной на рис. 2.2.

6376

12345 1165

 

 

 

12345 1165

 

31

 

451

 

7589

 

7589

 

 

 

 

 

12345231456165

32

 

452

12345231456165

 

7589

 

 

 

7589

 

12345231426165

31

 

45232

12345 5165

 

7589

 

7589

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8376

 

 

 

Рис. 2.2

 

 

Основным элементом структурной схемы на рис. 2.2 является звено n го порядка с коэффициентом передачи Hn 1s2 3 1sn , которое представ ляет собой последовательное соединение n интеграторов (рис. 2.3).

2

 

1

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

1

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

1

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

21334565327341

Рис. 2.3

48

Следовательно, базовым элементом для реализации аналогового фильтра (2.14) является интегратор – звено с коэффициентом переда чи H1 1s2 3 1s . Поэтому при цифровом моделировании фильтра за базо вый элемент может быть взят цифровой аналог интегратора.

При построении цифрового интегратора может быть использована рекуррентная процедура, реализующая один из наиболее точных мето дов численного интегрирования – метод трапеций. В соответствии с этим методом интеграл от некоторой функции f1t2 на интервале 1t0,tn 2 вычисляется на основании следующего соотношения:

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

g1tn 2 3 n f 1t2dt 4

 

 

 

 

 

 

 

 

t0

 

 

 

 

 

 

5 f 1t0 2 7 f 1t1 2

 

f1t1 2

7 f1t2

2

 

 

f1tn 1 2 7 f1tn 2

6

(2.15)

4 T 8

 

7

 

 

 

71

7

 

9,

 

2

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где tk 1 t0 2 kT , k 1 0,n 21 – n равномерно распределенных на интервале 1t0,tn 2 узлов интегрирования.

Пусть на вход интегрирующего звена подается процесс f1t2 . Тогда на основании (2.15) сигналы на выходе цифрового интегратора в мо менты tn и tn11 связаны следующим рекуррентным соотношением:

g

n 51 6 g

n

2

5 T

3

f

1

n

2

5 f

1

n 51

 

.

(2.16)

1

2

 

 

 

1

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

2

4

 

Взяв z преобразование от (2.16), получим

1

 

24

 

 

 

1

 

2

 

 

 

 

1

 

2

 

 

2

3

 

 

1

 

2

 

 

 

 

 

zG

 

z

 

5 G

 

z

 

6 T

 

 

F

 

z

 

6 zF

 

z

 

.

 

Тогда коэффициент передачи цифрового интегратора равен

 

 

H1

1z2 4

G1z2

 

4 T 1 3 z 1 .

 

 

 

 

(2.17)

 

F1z2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 1 5 z 1

 

 

 

 

Следовательно, переменной s в выражении для коэффициента пере дачи аналогового фильтра может быть поставлено в соответствие сле дующее выражение:

s 2 2 11 z T 13 z

1

1

(2.18)

при записи коэффициента передачи ЦФ. Преобразование (2.18) в тео рии функций комплексной переменной называется билинейным. Отсю да следует и название метода. Особенность билинейного преобразова ния заключается в том, что левая полуплоскость переменной s отобра

49

жается во внутренность окружности единичного радиуса в плоскости переменной z. Поэтому, если аналоговый фильтр с коэффициентом пе редачи H(s) имел полюсы в левой полуплоскости переменной s (т. е. был устойчив и реализуем), то эти полюсы преобразованием (2.18) бу дут отображены во внутренность окружности единичного радиуса в плос кости переменной z. Следовательно, метод билинейного преобразова ния позволяет получить устойчивые и реализуемые цифровые фильт ры, если этими свойствами обладали их аналоговые прототипы.

Применение метода билинейного преобразования для синтеза (моде лирования) ЦФ приводит к явлению деформации шкалы частот. Суть данного явления в следующем. Пусть 1 и 1 – круговые частоты при записи частотных характеристик аналоговых и соответствующих им цифровых фильтров. Учитывая, что s 1 i2 и z 1 ei1 , получим следую щую связь 1 и 1 :

2 3

2

tg

1.

(2.19)

 

T

2

 

При малых 1 в силу того, что tg 1 2 1 , 1 2 3T . Следовательно, 2 2

при 1 221 аналоговый и цифровой фильтры будут иметь примерно оди наковые амплитудно частотные характеристики. Однако для более вы соких частот соотношение между 1 и 1 становится нелинейным, т. е. происходит деформация шкалы частот (рис. 2.4).

 

 

3

 

2

 

1

 

|H(i )|

 

1

2

3

|H(ei )|

Рис. 2.4

50

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]