Математическое моделирование радиотехнических устройств и систем

марковских процессов. Это объясняется математическими сложностя ми, возникающими при описании случайных процессов произвольной природы. Ограниченность методов генерации вышеназванными процес сами не вызывает серьезных затруднений при моделировании РТС, по скольку именно гауссовские и марковские процессы являются наибо лее близкими моделями случайных процессов, встречающихся на прак тике. Поэтому основное внимание в настоящем разделе будет уделено моделированию этих двух категорий случайных процессов. Если воз никает необходимость генерации случайного процесса, который не мо жет быть отнесен ни к одному из названных типов, то эту задачу реша ют приближенно. Один из методов приближенного решения рассмотрен

вподразд. 1.3.3.

1.3.1.Моделирование гауссовских случайных процессов с заданными корреляционными свойствами

Метод дискретного преобразования Фурье

Постановка задачи: требуется создать отрезок реализации комплек сного гауссовского случайного процесса 31t2 длительности Tн, если из вестна его корреляционная функция (КФ) R1 132 .

В соответствии с теоремой Винера–Хинчина спектральная плотность мощности (СПМ) случайного стационарного процесса S1 132 равна

Предположим, что процесс 31t2 поступает на вход узкополосного фильтра с прямоугольной частотной характеристикой, отличной от

где 21, 32 – средняя частота и ширина полосы пропускания фильтра. Тогда средняя мощность сигнала на выходе фильтра будет

31

причем (1.46) соблюдается тем точнее, чем меньше полоса 12 . После днее уравнение определяет физический смысл функции S1 132 : СПМ опи сывает распределение средней мощности случайного процесса 31t2 по частотам гармонических колебаний, входящих в его состав. Такая ин терпретация СПМ и равенства (1.46) дает возможность предложить следующий метод генерации процесса 31t2 .

H(i )

1

Рис. 1.7

Разобьем частотную область на соприкасающиеся между собой по лосы одинаковой ширины 12 . Средняя частота m полосы рав на 1m 2 3m 4 567891 . Пусть величина 12 взята настолько малой, что (1.46) выполняется с высокой точностью. Тогда сумму гармоник слу чайного процесса 31t2 , попадающих в m полосу, вследствие малости 12 можно заменить на одно гармоническое колебание частоты 1m , кото рое имеет случайную амплитуду Um и фазу 1m . При этом для всего про цесса будет справедливо следующее представление:

где xm 1 Umei1m – комплексная амплитуда m й гармоники.

Из теории вероятностей известно, что сумма произвольного числа гауссовских случайных величин также является гауссовской. Следова тельно, поскольку процесс 31t2 – гауссовский, т. е. в любой момент времени t1 случайная величина 4 1t32 распределена по нормальному за кону, гармонические составляющие в правой части (1.47) также долж ны быть гауссовскими случайными процессами. Для этого достаточно, чтобы случайные величины Um и 1m при различных индексах m были независимы и имели, соответственно, плотность распределения Релея Um и равномерную в интервале 10,232 плотность 1m . Это требование эквивалентно тому, что амплитуды xm 1 Umei1m должны быть комплек

32

где M 1 22В 34 – количество гармоник, необходимое для моделирова

где 12T 3 24N . Таким образом, отсчеты случайного процесса представ ляют собой дискретное преобразование Фурье (ДПФ) последовательно

1 2M/2 1

сти xm m21M/2 . Соответствующим выбором 12 и T можно сделать N

равным целой степени числа 2 ( N 1 2l 2 M , где l – целое число). Это дает возможность использовать для вычисления (1.50) алгоритм быстрого преобразования Фурье (БПФ).

33

Окончательно алгоритм генерации случайного процесса методом дис кретного преобразования Фурье может быть представлен последова тельностью следующих шагов:

1 й шаг. На основании заданной КФ (или СПМ) процесса выбирают ся 12, T, N и Mтак, чтобы N было целой степенью числа 2 ( N 1 2l 2 M ).

2 й шаг. Генерируется массив из M независимых комплексных слу чайных чисел zm с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией.

3 й шаг. Вычисляются комплексные амплитуды xm 1 Dmzm , где Dm определяются в соответствии с (1.48).

4 й шаг. На основании (1.50) с использованием алгоритма БПФ вы числяются дискретные отсчеты случайного процесса 31n2 .

Метод ДПФ позволяет моделировать случайные процессы с произ вольным видом СПМ. Однако данный метод имеет существенный недо статок – количество генерируемых отчетов моделируемого процесса ог раничено и должно быть определено заранее.

Метод формирующего фильтра

Генерация нормального случайного процесса методом формирующе го фильтра основывается на двух положениях теории случайных про цессов:

–результатом произвольного линейного преобразования гауссовс кого случайного процесса также является случайный гауссовский про цесс;

–спектральные плотности мощности случайных и процессов на вхо де и выходе линейного фильтра с частотной характеристикой H1i32 связаны соотношением

Если предположить, что на вход фильтра поступает процесс типа белого шума ( Sвх (1) 2 N0/2, |1| 3 4 ), то СПМ процесса на выходе будет

Следовательно, для формирования гауссовского случайного процес са с заданной СПМ S1 132 необходимо на вход фильтра с частотной ха рактеристикой, модуль которой будет

34

подать белый шум с единичной спектральной плотностью N0/2 =1. При этом сигнал на выходе фильтра будет иметь нормальное распределение в силу первого из вышеназванных положений, так как фильтрация – операция линейная. Фильтр, амплитудно частотная характеристика (АЧХ) которого удовлетворяет (1.53), называется формирующим.

Равенство (1.53) дает возможность вычислить лишь АЧХ и не опре деляет его фазочастотную характеристику (ФЧХ). Поэтому этот вопрос остается открытым и требует дополнительного исследования.

Допустим, что ФЧХ фильтра 3142 5 0, |4| 6 7 . Тогда H1i32 4 H1i32 и импульсная характеристика фильтра будет

12

h(t) 1 213 4 H(i2) ei3 td2.

42

Так как h(t) 1 h(2t) , т. е. h(t) 1 0 при t < 0, фильтр является физичес ки нереализуемым (в физически реализуемом фильтре h(t) 1 0 при t < 0).

Данный пример свидетельствует о том, что ФЧХ формирующего фильтра не может быть произвольной, и ее выбор должен быть сделан таким образом, чтобы фильтр был физически реализуем. Синтез такого фильтра в общем случае сложен. Однако если СПМ процесса – дробно рациональная функция вида

где bm , m 1 0,M и an , n 1 0,N – действительные числа ( N 1 M ), то процедура синтеза формирующего фильтра проста и состоит в следую щем:

Из теории алгебраических уравнений известно, что неотрицатель ный полином степени 2K имеет лишь K пар комплексно сопряженных

корней. Пусть 1n ,1*n, n 21,N и 1m ,1*m, m 21,M – корни полиномов, стоящих в знаменателе и числителе (1.54) соответственно. Тогда (1.54) можно переписать

такими, что 1n и 1m будут иметь положительные мнимые части

35

Сделаем в (1.55) замену переменной 1 2 3is в первой дроби и 1 2 is* во второй (это возможно, так как 1 – действительная переменная). Тогда

ют корни в левой полуплоскости комплексной переменной s. Поэтому, если взять в качестве частотной характеристики формирующего фильтра

получим устойчивый реализуемый фильтр, АЧХ которого в силу (1.57) и (1.60) соответствует условию (1.53).

Таким образом, алгоритм моделирования гауссовского случайного процесса с заданными корреляционными (спектральными) свойствами состоит в пропускании реализации белого шума с единичной спектраль ной плотностью через линейный фильтр, частотная характеристика которого соответствует (1.60). Для успешного решения задачи модели рования методом формирующего фильтра необходимо, чтобы СПМ слу чайного процесса описывалась дробно рациональной функцией от пе ременной 1 вида (1.54). В ходе синтеза формирующего фильтра нахо дят корни полиномов, стоящих в числителе и знаменателе (1.54), и приводят выражения для СПМ к виду (1.55). Затем определяют корни

полиномов – 1n ,n 21,N и 1m ,m 21,M , которые имеют положительные мнимые части (1.56), и составляют полиномы F1s2 и G1s2 в соответ ствии с (1.58) и (1.59). Частотная характеристика формирующего филь тра получается на основании (1.60). Необходимо заметить, что для по лучения отрезка случайного процесса с заданными свойствами на выхо де формирующего фильтра необходимо, чтобы переходные процессы в фильтре закончились. Поэтому к сохранению выборки случайного про

36

цесса нужно перейти только после того, как модель проработала неко торое время на «холостом ходу». Обычно это время оценивается как 12..32/3fэф , где 1fэф – эффективная ширина полосы пропускания формирующего фильтра.

Полученный в ходе такого синтеза фильтр является аналоговым. Кроме того, белый шум, который подается на вход формирующего филь тра, также является «аналоговым» сигналом. Поэтому необходимо со здать математические модели формирующего фильтра и белого шума. Первая задача – синтез математической модели формирующего анало гового фильтра, т.е. цифрового фильтра, рассмотрена в гл. 2. Поэтому сейчас рассмотрим вопрос о генерации белого шума при цифровом моде лировании.

Случайный процесс, который в научной литературе называется бе лым шумом, имеет спектральную плотность мощности N0/2, постоян ную во всей частотной области. Следовательно, его средняя мощность (дисперсия) бесконечна. Поэтому белый шум не является физически реальным процессом, а представляет собой удобную математическую абстракцию. При создании его цифровой модели необходимо сохранить два его основных свойства: постоянство СПМ в частотной области и статистическую независимость временных отсчетов, взятых в произ вольные моменты времени. Второе свойство реализуется при моделиро вании весьма просто: за реализацию дискретного белого шума берется набор независимых случайных чисел, получающихся на выходе гене ратора случайных величин с нормальным законом распределения, с нулевым математическим ожиданием и некоторой дисперсией 12 . Оче видно, что величина этой дисперсии (т. е. средняя мощность процесса) должна быть каким то образом связана со спектральной плотностью мощности «аналогового» белого шума N0/2 , дискретную модель кото рого создаем. Для того чтобы связать эти величины воспользуемся тре бованием постоянства СПМ в частотной области.

Известно, что при дискретизации непрерывного сигнала с периодом взятия отсчетов T, спектральная функция дискретизированного сигна ла становится периодической с периодом 21T . Поэтому, если СПМ нашего дискретного белого шума будет постоянна и равна N0/2 на ин тервале 134/T, 4/T2 , то автоматически она будет постоянна и во всей частотной области. С другой стороны, дисперсия случайного процесса с равномерной в указанном интервале СПМ равна (1.45)

37

Отсюда при N0/2 = 1 получаем, что дисперсия независимых случай ных чисел, составляющих реализацию дискретного белого шума долж на быть

Следовательно, реализация дискретного белого шума размером в N отсчетов должна быть вычислена в соответствии со следующим равен ством:

где z1n2 – случайные независимые числа с нормальным стандартным распределением.

1.3.2. Моделирование марковских случайных процессов

Случайный процесс 31t2 называется марковским, если для любого M его M мерная плотность распределения вероятностей может быть записана в виде

где f1 1x1,t1 2 – безусловная (одномерная) плотность распределения; fm m 1 1xm,tm xm 1,tm 1 2 – условная плотность распределения отсчета про цесса в момент времени tm при условии, что 31tm 1 2 4 xm 1 . В теории мар

ковских процессов плотность распределения fm m 1 1xm,tm xm 1,tm 1 2 на зывается плотностью перехода.

На основании (1.63) можно сказать, что марковский случайный про цесс задан, если известны безусловная плотность распределения f1 1x1,t1 2

и плотность перехода fm m 1 1xm,tm xm 1,tm 1 2 . Причем плотность рас пределения отсчета 31tm 2 зависит лишь от значения процесса в преды дущий момент времени. Последнее свойство является особенностью мар ковских процессов, которая выделяет их из общего числа случайных функций. Сравнение (1.63) с записью многомерной плотности вероят ности (1.36) дает возможность предложить для моделирования мар ковских процессов метод условных плотностей, который при извест ных безусловной плотности и плотности перехода реализуется в дан ном случае весьма просто.

Среди множества марковских процессов особо выделяют диффузи онные процессы. Марковский процесс называется диффузионным, если среди множества коэффициентов

38

Для диффузионного процесса плотность перехода удовлетворяет пря мому

уравнениям Колмогорова. Здесь для плотности перехода введено обо

значение fm m 1 1xm,tm xm 1,tm 1 2 3 f1xm,tm;xm 1,tm 1 2 .

Коэффициенты a1x,t2 3 K1 1x,t2 и b1x,t2 3 K2 1x,t2 называются, со

ответственно. коэффициентом сноса и коэффициентом диффузии. Ко эффициент сноса a1x,t2 характеризует, как следует из (1.64), среднее значение локальной скорости изменения процесса 31t2 , а коэффициент диффузии b1x,t2 – локальную скорость изменения дисперсии процесса. Зная a1x,t2 и b1x,t2 , можно найти f1x,t;x0,t0 2 и воспользоваться мето дом условных вероятностей для моделирования случайного диффузи онного процесса. Однако даже для диффузионного процесса определить плотность перехода путем решения прямого или обратного уравнений Колмогорова бывает весьма сложно. Поэтому используют другой метод – метод формирующего фильтра.

Из теории марковских процессов известно, что при возбуждении не линейного нестационарного фильтра, описываемого дифференциаль ным уравнением вида

39

a1x,t2 и b1x,t2 , выраженная соотношениями (1.68), справедлива, если

дифференциальное уравнение (1.67) понимается в смысле Ито. Если уравнение (1.67) понимается в смысле Стратоновича, то связь между функциями f1x,t2 , g1x,t2 , a1x,t2 и b1x,t2 будет иметь вид

Подробнее о свойствах стохастических дифференциальных уравне ний можно узнать из книги Тихонова В. И., Харисова В. Н. Статисти ческий анализ и синтез радиотехнических устройств и систем: Учеб. пособие для вузов. М.: Радио и связь, 1991. Для моделирования урав нения (1.67) на ЭВМ необходимо перейти к дискретному времени

x1m25 x1m 512 6 Tf 3x1m 512,3m 514T4 7

где T – период дискретизации; n1m2– дискретный белый гауссовский шум

с нулевым математическим ожиданием и дисперсией N0/2T . Процесс (1.70) по сути является решением дифференциального уравнения (1.67) методом Эйлера, понимаемого в смысле Ито. При симметризованном уравнении (1.67) (уравнение Стратоновича) для решения следует ис пользовать метод Рунге–Кутта. Описание методов Эйлера и Рунге–Кут та будет дано в разд. 2.

40