Автоматизация конструкторского и технологического проектирования

41

·····························································

В ряде предметных областей удается использовать специфи-

ческие особенности функционирования объектов для упрощения ММ. Примером являются электронные устройства цифровой автоматики, в которых возможно применять дискретное представление таких фазовых переменных, как напряжения и токи. В результате ММ становится системой логических уравнений, описывающих процессы преобразования сигналов. Такие логические модели существенно более экономичны, чем модели электрические, описывающие изменения напряжений и сил токов как непрерывных функций времени. Важный класс ММ на метауровне составляют модели массового обслуживания, применяемые для описания процессов функционирования информационных и вычислительных систем, производственных участков, линий и цехов.

·····························································

Структурные модели также делятся на модели различных иерархических уровней. При этом на низших иерархических уровнях преобладает использование геометрических моделей, а на высших уровнях чаще используются топологические ММ.

·····························································

По степени детализации описания в пределах каждого иерар-

хического уровня выделяют полные ММ и макромодели.

·····························································

·····························································

Полная MM – модель, в которой фигурируют фазовые переменные, характеризующие состояния всех имеющихся межэлементных связей (т. е. состояния всех элементов проектируемого объекта). Полные ММ получают путем объединения всех ММ составляющих элементов в общую систему.

Макромодель – ММ, в которой отображаются состояния значительно меньшего числа межэлементных связей, что соответствует описанию объекта при укрупненном выделении элементов. Обычно макромодель представляет собой некоторую аппроксимацию полной ММ, выходные характеристики которой близки к характеристикам исходной модели. Применение макромоделей вместо

42

полных ММ обусловлено необходимостью сокращения временных затрат на моделирование достаточно сложных РЭУ [4].

·····························································

·····························································

Понятия «полная ММ» и «макромодель» относительны и

обычно используются для различения двух моделей, отображающих различную степень детальности описания свойств объекта.

·····························································

По способу представления свойств объекта функциональные ММ делятся на аналитические и алгоритмические.

·····························································

Аналитические ММ представляют собой явные выражения

выходных параметров как функций входных и внутренних параметров, т. е. имеют вид Y = ϕ(X, Q). Такие ММ характеризуются

высокой экономичностью, однако получение явной аналитической формы ММ удается лишь в отдельных частных случаях, как правило, при принятии существенных допущений и ограничений, снижающих точность и сужающих область адекватности модели.

Алгоритмические ММ выражают связи выходных параметров объекта с параметрами внутренними и внешними в форме алгоритма, т. е. известна последовательность шагов для определения выходных характеристик объекта Y по известным значениям векторов X и Q .

Имитационная MM – алгоритмическая модель, отражающая поведение исследуемого объекта во времени при задании внешних воздействий на объект. Примерами имитационных ММ могут служить модели динамических объектов в виде систем ОДУ или модели систем массового обслуживания, заданные в алгоритмической форме [4, 5].

·····························································

Для получения ММ используют методы неформальные и формальные.

·····························································

Неформальные методы применяют на различных иерархиче- ских уровнях для получения ММ элементов. Эти методы включают изучение закономерностей процессов и явлений, связанных с моделируемым объектом, выделение существенных факторов, принятие

44

треугольников и четырехугольников, трехмерные элементы типа параллелепипеда, тетраэдра и т. п. Примерами ММ геометрических элементов могут служить уравнения линий прямых, дуг окружностей, плоскостей и поверхностей второго порядка. Примерами ММ элементов на макроуровне являются модели элементов интегральных схем – транзисторов, диодов, резисторов, конденсаторов и т. д.

·······································································

·····························································

Формальные методы применяют для получения ММ систем

при известных математических моделях элементов.

·····························································

························· Выводы ·························

Таким образом, в программах автоматизированного анализа, используемых в САПР, получение ММ проектируемых объектов обеспечивается реализацией моделей элементов и методов формирования ММ системы в целом.

·······································································

При проектировании РЭС наиболее широкое применение получили электрические модели.

2.4Методика получения математических моделей

Вобщем случае процедура получения математических моделей элементов включает в себя следующие операции:

1. Выбор свойств объекта, которые подлежат отражению в модели. Этот выбор основан на анализе возможных применений модели и определяет степень универсальности ММ.

2. Сбор исходной информации о выбранных свойствах объекта. Источниками сведений могут быть опыт и знания инженера, разрабатывающего модель, научно-техническая литература, прежде всего справочная, описания прототипов – имеющихся ММ для элементов, близких по своим свойствам к исследуемому, результаты экспериментального измерения параметров и т. п.

3. Синтез структуры ММ. Структура MM – общий вид математических соотношений модели без конкретизации числовых значений фигурирующих в них параметров. Структура модели может быть представлена также в графической форме, например в виде эквивалентной схемы или графа. Синтез структуры – наиболее ответственная и с наибольшим трудом поддающаяся формализации

45

операция. При синтезе структура ММ определяется либо из анализа экспериментальных зависимостей выходных характеристик объекта, либо на основе теоретического изучения свойств объекта.

4. Расчет числовых значений параметров ММ. Эта задача ставится как задача минимизации погрешности модели заданной структуры, т. е.

где X – вектор параметров модели; ХД – область варьирования (область допустимых значений) параметров X ; εММ – погрешность ММ, которая вычисляется в соответствии с (2.6) и (2.7), где y j ММ – функция от X , а y j ист определяет-

ся по результатам экспериментов либо физических, либо численных (с использованием более точных ММ, если таковые имеются в иерархическом ряду ММ).

5. Оценка точности и адекватности ММ. Для оценки точности должны использоваться значения y j ист , которые не фигурировали при решении зада-

чи (2.8) [4].

·····························································

Большую ценность для пользователя представляют не оценки

погрешности εММ , выполненные в одной-двух случайных точках пространства внешних переменных, а сведения об области адекватности (ОА). Однако определение ОА требует больших затрат машинного времени. Поэтому расчет ОА выполняется только при тщательной отработке ММ унифицированных элементов, предназначенных для многократного применения.

·····························································

2.5 Математические модели

для задач конструирования электронных средств

·····························································

При решении задач в АСКП (автоматизированные системы конструкторского проектирования) возникает необходимость выбора совокупности математических моделей, обеспечивающих необходимой информацией каждый алгоритм решения конкретной задачи.

·····························································

47

рых можно сказать, что они находятся в заданном отношении.

E = m, находящихся в заданном бинарном отношении.

·····························································

В схеме имеются внешние и внутренние выводы: С.

C = {c0,1,c0,2 ,...,c0, p ,c1,1,c1,2 ,...,cn,1,cn,2 ,...,cn,m}. Внутренние выводы соединяют элементы схемы между собой.

Внешние выводы соединяют элементы данной схемы с элементами другой схемы.

Множество C будем называть множеством контактов.

Два контакта Ci, j и Ck,e считаются связанными (соединенными), если они

объединяются одной электрической цепью.

·····························································

Электрическая цепь – это некоторое подмножество контактов C′ множества контактов C , т. е. C′ C, принадлежа-

щих к одному эквипотенциалу.

·····························································

Контакты подмножества C′ имеют равный потенциал в принципиальной электрической схеме.

Такое представление схемы называют схемой соединений или коммутационной схемой.

При построении математической модели в коммутационной схеме каждой однопотенциальной цепи ставят в соответствие число из натурального ряда.

Для решения задач компоновки, размещения и трассировки коммутационную схему можно представлять структурными математическими моделями различного вида.

Математические модели схем РЭС для решения задач конструкторского проектирования разделяют на три вида:

1)модели, использующие аппарат теории графов;

2)модели, использующие аппарат теории гиперграфов;

3)модели, использующие аппарат теории множеств [1, 4].

48

·····························································

В настоящее время наиболее широко используются структурные математические модели, построенные на основе аппарата теории графов и в первую очередь для решения оптимизационных задач конструкторского проектирования.

·····························································

························· Пример ·························

Рассмотрим структурные математические модели, использующие аппарат теории графов на примере условного фрагмента схемы электрической принципиальной, представленной на рисунке 2.1.

e1

Рис. 2.1 – Фрагмент коммутационной схемы

Одним из способов представления схемы устройства структурной математической моделью является ее интерпретация неориентированным связным

графом G = (X ,U) , где X = {xi } i = 1,n множество вершин G, U – множество ребер U = {uij}, определяющих отношения между элементами множества X .

Для построения графа G необходимо задать между элементами множества X = {xi } и элементами схемы (к элементам схемы относятся сами приборы и внешние контакты схемы) взаимооднозначное соответствие, в том числе

49

между элементами множества ребер U = {uij} и элементами множества электрических цепей E = {ei }.

·······································································

························· Пример ·························

Для примера (рис. 2.2) математическая модель М1, интерпретирующая схему (рис. 2.1), представляет неориентированный граф G1 = (X,U) с мультичислом, равным 3.

Модель М1 удобна для решения задач компоновки и размещения.

Для решения задач определения планарности и трассировки математическая модель М1 неудобна из-за больших искажений между моделью и коммутационной схемой.

Модификацией математической модели М1 является математическая модель

Рис. 2.3 – Математическая модель М2

50

Разновидностью математической модели М2 является представление коммутационной схемы графом G = (X ,U) , в котором все покрывающие деревья яв-

ляются звездными подграфами с центральной вершиной xi , соответствующей началу цепи ei (рис. 2.4).

Рис. 2.4 – Математическая модель М3

Общий недостаток приведенных математических моделей: фиксированные деревья могут ухудшить качество компоновки. Тем не менее приведенные модели М1, М 2, М3 наиболее просты при решении практических задач.

Коммутационная схема также может быть представлена в виде двудольного ориентированного графа D = (X ,C, E,U) , где X – множество вершин, интерпретирующих элементы схемы, C – множество контактов (входов и выходов, схемы), E – множество вершин, интерпретирующих эквипотенциальные электрические цепи, связывающие группы элементов схемы, U – множество