10.4.Кодирование в системах передачи дискретных сообщений

Кодирование

-

процесс

преобразования

элементов

дискретного

сообщения в

числа(знаки), выраженные кодовыми

словами.

Полную

совокупность

символов, применяемую

для

кодирования

сообщений,

называют кодом.

Если источник выдает дискретное сообщениеa% ; рассматриваемое как

последовательность элементарных сообщений ai , i =1...k, то совокупность зна-

ков (элементарных сообщений) {ai }

образует алфавит источника.

Кодирование состоит в замене последовательности знаков сообщения a%

последовательностью

b%

кодовых

символов, т.е. кодовым

словом.

При от-

сутствии помех

такое

преобразование сообщения

в кодовое слово является

m = 2 . При

m > 2 код

называют многопозиционным

( m -ичным). Число

символов в

кодовой

комбинации определяетзначность

кода n . Если все

называют

неравномерным. Примером

неравномерного

кода

является

телеграфный

код

Морзе, в

котором

буквам, используемым

чаще,

присваиваются короткие кодовые комбинации,

редко

используемым-

длинные.

Для

равномерного

кода

общее

число

различных, кодовых

комбинаций Nk

= mn .

Например,

для равномерного

кода Бодоm = 2 ,

n = 5 ,

Nk = 32 .

значимостью n должно удовлетворять условию Nk

= mn

> K . Если Nk = K , все

кодовые

комбинации

будут

использованы. Обычно

число K

не

бывает

кратным

степеням выбранной системы счисления, поэтому, как правило,

должно

выполняться

условиеNk > K .

По

этой

причине

часть

кодовых

комбинаций не используется и оказывается лишней(избыточной). Код, в

котором

нельзя

уменьшить

значимость

кодовых

комбинаций(при

уменьшении значности

кода

на

единицу

число

комбинаций

становится

меньше

числа

элементарных

сообщений), называют

простым

или

первичным.

Первичные

коды

позволяют

экономно

представить

множество

дискретных величин кодовыми комбинациями. Если обозначить энтропию

источника через H ( X ) и энтропию соответствующей ему последовательности

кодовых

символов

черезH (B ) ,

то

H (X ) = H (B ) ,

т.е.

энтропия

при

88

может как

возрастать, так

и

уменьшаться. При

H (X ) << Hmax ( X ) ,

где

Hmax (X ) = log m , ставится

задача

обэффективном (экономичном)

кодировании, обеспечивающем уменьшение избыточности k . Это позволяет

повысить

скорость

передачи

сообщений по

каналу с

ограниченно

помехоустойчивости

приёма

сообщений.

В

корректирующих

кодах

используемые

комбинации

называютразрешёнными,

а

оставшиеся

комбинации запрещёнными. Ошибки

обнаруживаются

тогда,

когда

на

приемной

стороне

получают

запрещенную

комбинацию. Свойства

источника

разбивается

на

отрез,

киаждый

из

которых

независимо

преобразуется в определенную последовательность (блок) кодовых символов

{bi } равной

длины M .

Непрерывные

коды

представляют непрерывную

расстоянием d и числом обнаруживаемых или исправляемых

ошибок. По

аналогии с выражением (9.2) избыточностью равномерного кода называют

величину, определяемую соотношением kk = (n log m - log M ) (n log m) ,

где M -

Rk = (log M )

n = (1-kk )log m .

При независимой и равновероятной передаче

всех

блоков кода

величина log M

представляет энтропию, приходящуюся на

каждый

блок, и,

следовательно, Rk

соответствует собственной информации, приходящейся на

кодовое слово.

Чтобы код обладал высокой корректирующей способностью, следует

иметь большое

число проверочных символов. Для сохранения высокой

1001010

равно

четырем ( d = 4 ).

Минимальное

расстояние

между

разрешенными комбинациями данного кодаdmin

называется расстоянием

Хэмминга. Чтобы код обладал корректирующей способностью, необходимо

ввести

такую

избыточность, которая

бы

обеспечивала

минимальное

расстояние

не

менее

двух

между

любыми

двумя

разрешенн

комбинациями.

Если код используется только для обнаружения ошибок кратностьюa ,

то необходимо и достаточно, чтобы dmin

³ a +1. При этом никакая комбинация

из a

ошибок не может перевести одну разрешенную комбинацию в другую.

Для

исправления

всех ошибок кратностиa и

менее

необходимо

иметь

dmin ³ 2a +1. Если

код используется одновременно для обнаружения и для

исправления ошибок, минимальное расстояние, обеспечивающее исправление

всех ошибок кратностью a

или меньше и одновременное обнаружение всех

90

ошибок кратностью b

или меньше, должно удовлетворять условию

dmin ³ a + b +1. При этом необходимо, чтобы b > a .

приема

сообщений.

Различают

ошибки

двух

:типовстатистически

независимые и коррелированные(ошибки типа пакетов). В каналах с

замираниями обычно

имеют место ошибки

типа

пакетов. В гауссовских

посылка

сигнала, соответствующая

определенному

символу

кодовой

комбинации, подвергается отдельному

анализу(принимается решение о

преобразует

приходящую

последовательность

посылок

сигнала

последовательность букв сообщения, т.е. анализируется целиком отрезок

сигнала,

соответствующий

кодовой

комбинации,

и

затем

восстанавливается

переданный

элемент

сообщения. Приём

в

целом

требует наличия в приёмнике всех разрешённых

копий

кодовых

комбинаций.

Помехоустойчивость

приёма

в

целом

при

использов

корректирующих

кодов

несколько

,вышечем

при

поэлементарном

(посимвольном) приёме. Для

безызбыточного

кода, содержащего k

информационных

разрядов,

вероятность

ошибочного

приема

символа

определяется выражением

Pe1 =1-Ф (

),

(10.12)

gC2 q 2

где q = 2E N0 - отношение энергии символа длительностью T

к спектральной

плотности

шума N0

2 ; коэффициент gC

принимает

следующие

значения;

gC =1 - для противоположных сигналов; gC =1 - для

ортогональных сигна-

лов; gC = 1

- для сигналов с пассивной паузой.

2

При

использовании

корректирующих

кодов

каждая

кодов

комбинация состоит из n символов.

Если число информационных символов

к, то при

сохранении длительности

кодовой

комбинацииtk

= kT отношение

91

Pe1k =1-Ф (

).

(10.13)

kgC2 (2n

Если

увеличение n

производится

при

сохранении

прежней

P

= Pa .

(10.14)

ae

e1k

Вероятность отсутствия ошибок на остальных n -a позициях равна

P

= (1

- P

)n-a .

(10.15)

(n-a )e

e1k

Поскольку

ошибки

наa позициях

могут произойти при

различных

сочетаниях этих

позиций,

вероятность Pa

появления a ошибок (в

любых

P = Ca Pa

(1- P

)n-a ,

(10.16)

a

n e1k

e1k

n

Pe

= å Cnj Pe1jk (1- Pe1k )n- j .

(10.17)

j =a +1

При

малой

вероятности ошибки

достаточно ограничиться

первым

членом суммы (10.17). Тогда

P

@ C a+1 Pa +1 (1- P

)n-a -1 .

(10.18)

e

n

e1k

e1k

Выражение

(10.18)

определяет

вероятность

ошибочного

приема

кодовой комбинации с учетом корректирующей

способности .кодаЕсли

ввести

эквивалентную вероятностьPe1Э = Pe

n ошибочного приема одного

символа кода, то, сравнивая эту вероятность с Pe1 в формуле (10.12), можно

установить

области,

для

которых

применение

корректирующих

кодов

позволяет повысить помехоустойчивость приема.

Проведем такое сравнение, принимая одинаковыми длительности кодо-

вых комбинаций. Учтем, что в коде (n, k )

n число позиций в блоке, k - число

93

11.

СИСТЕМЫ ПЕРЕДАЧИ НЕПРЕРЫВНЫХ СООБЩЕНИЙ[1,

2, 8, 9]

11.1.

Выбор

сигналов

в

системах

передачи

непрерывных

сообщений

Непрерывное

сообщение l (t ) можно

представить

моделью

в виде

процесса, спектр

которого ограничен

верхней частотойF . При

таком

В

ограничении спектра его часть, оставшаяся за пределами частотыFВ ,

определяет

относительную

ошибку

данного

представления

реального

сообщения:

d02 = sÎ2

sl2 , где sÎ2

- средняя

мощность

отброшенной

части

спектра реального сообщения; sl2 - полная средняя мощность реального

сообщения.

Обычно считается, что, начиная

с частоты FВ и

выше, уровень

спектральной плотности помех превышает уровень спектральной плотности

сообщения,

и, следовательно, отбрасываемые составляющие сообщения не

вносят существенного вклада в полезную информацию. Максимальная

производительности источника сообщения при указанных условиях может

быть представлена в виде

H΢ (l)max = FВ log (1 d02 ),

(11.1)

поэтому, приравняв

выражения (11.1) и (9.5), получим

FB log (1 d02 )= DfЭ log (1+aC qC ).

Из этого соотношения следует

qC =

1

((1 d02 )1 g F -1),

(11.2)

a

где

C

FB - коэффициент,

характеризующий широкополосность

g F = DfЭ

сигнала.

Анализ

выражения (11.2)

показывает, что чем шире полоса

спектра,

несущего информацию о непрерывном сообщении, тем меньше

æ

1

ö

bDf = DfЭ

H΢ (l )

=

DfЭ

ç

÷ .

(11.3)

max

FB èç log (1 d02 )ø÷