Финансовый менеджмент для инженеров

при размещении средств на срок более 1 года выгоднее схема сложных процентов.

Часто на практике оговаривается величина годового процента и количество периодов начисления процентов. Тогда расчет наращенной суммы ведется по формуле сложных процентов

где r — объявленная годовая ставка;

m — количество начислений в году; n — количество лет.

Пример 3.10. Расчет суммы, накопленной на вкладе

В банк вложены деньги в сумме 5000 руб. на 2 года с полугодовым начислением процентов по ставке 20 % годовых. Определить величину вклада на момент окончания срока вклада при полугодовом и поквартальном начислении сложных процентов.

При полугодовом начислении процентов наращение происходит 4 раза по ставке 10 %, а наращенная сумма составит:

F = 5000 1,4641 = 7320,5 руб.

Если проценты начисляются ежеквартально, то наращение происходит 8 раз по ставке 5 %, а наращенная сумма составит:

F = 5000 1,4774 = 7387,3 руб.

Через 2 года сумма вклада составит 7387,3 руб.

Таким образом, чем чаще идет начисление по схеме сложных процентов, тем больше накопленная сумма. Заметим, что при начислениях по схеме простых процентов частота начислений не играет роли, так как наращение всегда происходит от исходной суммы.

Если контракт заключается на период, не равный целому числу лет, проценты могут начисляться двумя способами:

1) по схеме сложных процентов

где f — дробная часть года; w — целое число лет;

2) по смешанной схеме (сложные проценты для целого числа лет и простые проценты для дробной части года):

Так как f 1, то (1 + f r) >(1+r), поэтому наращенная сумма будет больше при использовании смешанной схемы.

Ранее рассмотренные процентные начисления называются дискретными, поскольку они производятся за фиксированный промежуток времени. Уменьшая период начисления и увеличивая частоту начисления процентов, переходим к пределу в формуле (3.9). При частоте начисления процентов, стремящейся к бесконечности, получим так называемый непрерывный процент, при котором наращенная сумма увеличивается максимально:

F(n) lim P (1 r / m)nm P ern .

m

Непрерывную ставку начисления процента обозначают и называют силой роста. Формула для нахождения наращенной

Пример 3.11. Принятие решения об организации совместного предприятия.

На счете в банке имеется 150 тыс. руб. Банком начисляются проценты по вкладам из расчета 12 % годовых. Предлагается всю сумму капитала вложить в организацию совместного предприятия с условием удвоения капитала через 5 лет. Принимать ли это предложение?

Для решения задачи используем формулу (3.6).

Если поместить деньги в банк, то через 5 лет можно получить следующую сумму:

F = 150 тыс. руб. (1 + 0,12)5 = 264,3 тыс. руб.

Если вложить весь капитал в организацию совместного предприятия, то капитал удвоится:

F = 150 тыс. руб. 2 = 300 тыс. руб.

Следует принять данное предложение об организации совместного предприятия и не вкладывать деньги в банк.

Пример 3.12. Расчет сложной ставки, обеспечивающей необходимый доход

Через 2 года Ваш сын будет поступать в университет на платную форму обучения. Плата за весь период обучения составит 5600 долл., если внести ее в момент поступления в университет. Вы располагаете в данный момент суммой в 4000 долл. Определите размер минимальной ссудной ставки при помещении денег в банк для накопления требуемой суммы.

Для решения задачи из формулы (3.6.) получим выражение для определения ставки:

Таким образом, для того чтобы накопить нужную сумму, минимальная сложная ставка при помещении денег в банк должна состав-

лять 18,3 %.

Пример 3.13. Сравнение условий контрактов

Стоимость выполненной предпринимателем работы составляет 60 тыс. руб. Заказчик не имеет возможности рассчитаться в данный момент и предлагает отложить срок уплаты на 2 года, по истечении которого он обязуется выплатить 70 тыс. руб. Определите выгодность данного предложения при условии, что норма прибыли составляет 10 %, и величину минимальной ставки, при которой подобные условия становятся невыгодными для предпринимателя.

Для решения задачи используем формулу (3.6).

Будущая стоимость суммы в 60 тыс. руб. через 2 года при норме прибыли 10 % составит:

F = 60 тыс. руб. (1 + 0,1)2 = 72,6 тыс. руб.

Это больше 70 тыс. руб., поэтому ждать расчета в течение двух лет невыгодно.

Величина минимальной ставки, при которой условия становятся невыгодными, определяется по формуле из примера 3.13:

r F / P 1/ n 1, т. е. r 70000/ 60000 1/ 2 1 8 %.

Пример 3.14. Расчет величины вклада

В банк помещается 1000 долл. на 5 лет под 8 % годовых. Определите сумму, накопленную на вкладе при различных схемах начисления процентов:

а) ежегодное начисление процентов;

б) полугодовое начисление процентов; в) ежеквартальное начисление процентов.

Для решения задачи воспользуемся формулой (3.9). Величина накопленной суммы составит:

а) при ежегодном начислении процентов:

F = 1000 (1 + 0, 08/1)5 = 1469,3 долл.;

б) при полугодовом начислении процентов:

F = 1000 (1 + 0, 08/2)2 5 = 1480,2 долл.

в) при ежеквартальном начислении процентов:

F = 1000 (1 + 0, 08/4)4 5 = 1485, 9 долл.

Максимальная сумма образуется на вкладе при ежеквартальном начислении процентов.

3.3. Учетные ставки

3.3.1. Простые учетные ставки

При антисипативном способе начисления процентов сумма получаемого дохода рассчитывается, исходя из суммы, получаемой по прошествии интервала начисления (т. е. из наращенной суммы). Эта сумма и считается величиной получаемого кредита (ссуды). Поскольку проценты в данном случае начисляются в начале каждого интервала начисления, заемщик получает сумму кредита за вычетом процентных денег. Такая опера-

ция называется дисконтированием по учетной ставке или коммерческим (банковским) учетом.

Дисконт — это доход, полученный по учетной ставке, т. е. разница между размером предоставляемого кредита и непосредственно выдаваемой суммой.

Введем обозначения для нижеприведенных формул: d — простая годовая учетная ставка;

P — сумма, получаемая заемщиком; F — сумма, подлежащая возврату.

Для расчета показателей, используемых при предоставлении кредита, используются следующие формулы:

для определения суммы, получаемой заемщиком:

для определения суммы, получаемой заемщиком, при периоде начисления, не равном году:

для определения наращенной суммы при периоде начисления, не равном году:

для определения наращенной суммы при использовании разных ставок на разных интервалах начисления:

Банковский учет применяется в операциях по учету векселей. Вексель — это долговая расписка, выдаваемая заемщиком кредитору, дающая право безусловного требования указанной в ней суммы (номинальной стоимости векселя) в определенный срок. Банк покупает вексель у владельца до наступления срока оплаты по цене, меньшей номинальной стоимости. Сумма, которую получает векселедержатель при досрочном учете векселя, называется дисконтированной величиной векселя.

Пример 3.15. Расчет номинальной стоимости векселя

За вексель, учтенный за полгода до срока погашения по учетной ставке 14 % годовых, заплачено 4000 руб. Определите номинальную стоимость векселя. Согласно формуле (3.14) номинальная стоимость векселя составит: F = 4000 / (1– 0,14 ∙ 0,5) = 4301,07 руб.

3.3.2. Сложная учетная ставка

При использовании сложной годовой учетной ставки d для определения параметров финансовой сделки используем следующие формулы:

для определения суммы, получаемой заемщиком: в конце первого интервала:

Наращение сумм по сложной учетной ставке и сложной ссудной ставке происходит с разной скоростью (рис. 3.2): скорость выше при применении сложной учетной ставки.

F (n)

d 10 %

r 10 %

n

Рис. 3.2. Сравнение схем наращения при начислении сложных процентов

Пример 3.16. Сравнение суммы долга при использовании сложных ссудных и учетных процентов

Первоначальная сумма долга равняется 10 млн руб. Определить величину наращенной суммы при использовании ссудных и учетных процентов, если годовая ставка равна 20 % годовых, срок начисления процентов — 3 года. Используя формулы (3.10) и (3.19), получим:

Так как при d < 1 выполняется условие (1 d)n (1 nd ), то для

должника выгоднее наращение по сложной учетной ставке, чем наращение по простой учетной ставке.

Пример 3.17. Расчет дисконтированной стоимости при использовании простых и сложных учетных процентов

Рассчитайте дисконтированную сумму в 1 млн руб. при учете по простой и сложной учетным ставкам, если годовая учетная ставка равна 18 % годовых и учет происходит за 30 дней, 90 дней, 180 дней, 1 год, 2 года, 3 года, 5 лет. Каждый год считать равным 360 дням.

Применяя формулу (3.13) для простой учетной ставки и формулу (3.18) для сложной учетной ставки при F = 1 млн руб., d = 0,18 и различных n, получим следующие результаты, приведенные в таблице.

где w — целое число лет; f — дробная часть года. Предположим, что ставка сложных процентов будет разной

на разных интервалах начисления. Пусть n1, n2,… — продолжительность интервалов начисления в годах; d1, d2,… — годовые учетные ставки процентов, соответствующие этим интервалам, тогда наращенная сумма определяется по формуле

Для непрерывного начисления процентов наращенная сумма вычисляется по формуле

В данном подразделе рассмотрены различные способы начисления процентов. В заключение приведем таблицу, в которой наглядно представлены результаты вычисления наращенной суммы при различных способах начисления процентов и одинаковых начальных условиях: P = 1000 ед.; ставка — 10 % годовых (табл. 3.1).

Таблица 3.1 Формулы для расчета величины наращенной суммы

3.4.Эквивалентные и эффективные ставки

Один и тот же финансовый результат можно получить различными способами, используя различные ставки. Две ставки называются эквивалентными, если при замене одной ставки на другую финансовые отношения сторон не меняются. Для нахождения эквивалентных процентных ставок используют уравне-

ния эквивалентности.

Принцип составления данных уравнений заключается в следующем:

выбирается величина, которую можно рассчитать при использовании различных процентных ставок (обычно это наращенная сумма F);

на основе равенства двух выражений для данной величины составляется уравнение эквивалентности.

Из полученного уравнения путем преобразований получается соотношение, выражающее зависимость между процентными ставками различного вида.

Для вычисления наращенных сумм при использовании разных ставок используются следующие ранее выведенные формулы (см. подразделы 3.2 и 3.3):

dc — сложная учетная ставка;

n — период начисления в годах.

Составляя различные уравнения эквивалентности, получаем некоторые соотношения для эквивалентных ставок:

В табл. 3.2 приведены зависимости между эквивалентными учетными и ссудными ставками.

Таблица 3.2 Эквивалентность учетных и ссудных ставок