Учебное пособие «Основы математического моделирования»

Рисунок 5.11 – Разбиение на октавы оси волновых чисел Очевидно, что f% (γ ) = Σf%N (γ ) . Полученные функции

f%N обладают замечательным свойством – они допускают периодическое продолжение на всю ось γ с периодом 2γN (рисунок 5.12)

чить вид базисной функции в физическом пространстве, нужно взять обратное преобразование Фурье. Получается функция вида

Рисунок 5.12 – Периодическое продолжение функций f%N

Вид функции (5.74) для n=0 показан на рис.6.13. Эти функции известны в математике как функции Литлвуда-Пелли. Функ-

231

ции медленно убывают в физическом пространстве ( fNn ( x) x−1 ) , что является результатом обрыва функций в про-

странстве Фурье. Все базисные функции взаимно ортогональны, то есть

∫ fNn ( x) fMm ( x) dx = δ NM δnm ,

что следует из ортогональности функций в фурье-пространстве и инвариантности скалярного произведения двух функций относительно преобразования Фурье. Коэффициенты в разложении (6.73) определяются формулой

ANn = ∫ f ( x) fNn ( x) dx .

Базисные функции имеют двойную индексацию. Большой индекс отвечает за масштаб, малый – за положение функции в пространстве. Увеличение индекса N на единицу сжимает функцию вдвое, увеличение индекса n на единицу сдвигает функцию вдоль оси x на величину hN .

Рисунок 5.13 – Вид функции (5.74) для n=0

Двумерный базис

Простейший способ получения двумерного базиса состоит в определении двумерной функции как произведения одномерных

fNnMm ( x, y ) = fNn ( x) fMm ( y ) ,

однако такие функции не являются изотропными и не удовлетворяют требованию подобия. Последнее обстоятельство не

232

оставляет надежд на получение простой динамической системы для коэффициентов разложения.

Исходя из локальной изотропии мелкомасштабной турбулентности и стремления получить базис, образованный разномасштабными, но однотипными функциями, можно построить относительно простой, но "не совсем ортогональный" базис. Для этого поле скорости представляется в виде

v (t, x, y ) = ∑aNn (t ) vNn (r − rNn ) ,

Nn

где aNn – зависящая от времени амплитуда, vNn – осесимметричная базисная функция, у которой большой индекс отвечает за масштаб, а малый – за положение в пространстве, и rNn – радиусвектор центра функции.

Используем введенное выше разбиение спектральной плоскости на расширяющиеся кольцевые зоны (6.68) и определим базисную функцию так, чтобы ее фурье-образ был равен константе в пределах соответствующего кольца:

где e есть единичный вектор, перпендикулярный рассматриваемой плоскости. Экспоненциальный множитель задает сдвиг центра вихря в физическом пространстве. Числовой коэффициент выбран из условия нормировки.

Чтобы получить вид функции в физическом пространстве, нужно взять обратное преобразование Фурье от (6.75). Соответствующие вычисления дают

где s = π 2N r − rNn , а J0(s) есть функция Бесселя.

Мы оставили без внимания вопрос о количестве базисных функций и об их распределении в пространстве. Плотность функций в физическом пространстве можно оценить исходя из принципа неопределенности. Если области локализации в r и k

233

пространствах имеют, соответственно, размеры r и k, то, требуя r k=2π, получаем, что плотность функций заданного масштаба rN связана с площадью области локализации функции в пространстве Фурье Sk как

вой области (6.68). Формула (6.77) отражает тот факт, что число вихрей при переходе от масштаба к масштабу растет в четыре раза (естественно, что в трехмерном случае это отношение будет равно восьми).

Вопрос о распределении функций в пространстве более сложен. Формулируя требования к базису, мы хотели воспроизвести структуру турбулентного потока, в котором мелкие вихри переносятся крупными. Это означает, что радиус-вектор центра функции должен подчиняться уравнению

Подчеркнем, что суммирование в (5.78) ведется только по масштабам, большим данного.

Введенный таким образом базис ортогонален по индексу N, так как в фурье-пространстве функции различного масштаба занимают неперекрывающиеся области. Неортогональность функций по малому индексу, отвечающему за положение вихрей в пространстве, можно оценить путем вычисления интеграла

∫ vNnvMm dr для двух вихрей одного масштаба, расположенных

друг от друга на расстоянии ρN−1/ 2 , равном среднему расстоянию

между вихрями данного масштаба. Такая оценка дает для функций (6.76) значение порядка 0,1.

5.14 Вейвлеты

Ошибки в исследованиях обычно проистекают из свойственной человеческому

234

разуму склонности недооценивать или же преувеличивать значение исследуемого предмета из-за неверного определения его удаленности от нас.

Э.По

В самых разных областях науки возникают задачи, связанные с анализом пространственных полей со сложной, многомасштабной структурой либо временных сигналов с меняющимся со временем спектральным составом. Эти задачи заставляли исследователей делать попытки построения специальных функциональных разложений, близких по своей идеологии описанному выше иерархическому базису. Центральной идеей всех этих подходов было использование базиса, каждая функция которого характеризует как определенную пространственную (временную) частоту, так и место ее локализации в физическом пространстве (во времени).

Слово "вейвлет" (английское слово "wavelet" означает маленькую волну или рябь) было введено А.Гроссманном и Ж.Морле в 1984 году в работе, выполненной в связи с проблемой анализа сейсмических сигналов, в которых требуется выделить и время (положение) всплеска в сигнале, и его спектральный состав (масштаб). В этой статье были сформулированы основные определения и доказаны основополагающие теоремы. Работа вызвала огромный интерес и уже к началу 90-х годов вейвлет-анализ превратился в развитую область математической физики, нашедшей широкое применение в задачах анализа временных сигналов, распознавания образов и синтеза изображений, шифровки и дешифровки информации и многих других.

Как уже отмечалось, вейвлеты используются как при анализе временных сигналов, так и при исследовании структуры пространственных полей. Временные ряды представляют собой одномерный сигнал и все основные идеи проще продемонстрировать на задачах анализа временных последовательностей. По этой причине мы забудем на некоторое время о пространственных полях и переключимся на сигналы вида f(t).

235

Рисунок 5.14 – Функции Хаара

Первая попытка построить функциональный базис, состоящий из функций, каждая из которых характеризует пульсации определенной продолжительности в определенный момент времени, принадлежит А.Хаару (1909г.). Первые семь функций Хаара, построенные на единичном отрезке, показаны на рисунке 5.14. Каждая функция представляет собой пару следующих друг за другом прямоугольных импульсов с разными знаками и одинаковой длительностью. Среднее значение любой функции равно нулю, а совокупность функций образует полный ортонормированный базис. Каждая функция строго локализована в физическом пространстве (во времени), но характеризуется медленно спадающим спектром частот (как 1/n).

Следующим шагом стали функции Литлвуда-Пелли (1937г.). Именно это семейство функций получается при построении одномерного иерархического базиса. Функции строятся путем вырезания полосы частот в пространстве Фурье. Это дает строгую локализацию в пространстве частот, но медленное затухание функции в физическом пространстве (во времени): функции описывают осцилляции, амплитуда которых падает как 1/t.

236

Рисунок 5.15 – Функция Габора

Важным этапом в развитии идеи локального анализа спектральных (частотных) свойств стало преобразование Габора (1946г.), называемое также фурье-преобразованием в окнах. Функции Габора представляют собой гармонический сигнал, модулированный функцией Гаусса. Они хорошо локализованы и во времени и в частотах, но каждая функция Габора характеризуется тремя параметрами: положением центра окна t0, шириной окна t и частотой осцилляций n (рисунок 5.15). При этом функции различного масштаба не являются подобными (имеют различное число осцилляций).

Вейвлеты объединили в себе два важных свойства – подобие и выраженную локализованность в физическом и фурьепространствах. Сформулируем требования, которым должно удовлетворять семейство функций, чтобы быть вейвлетами.

1.Допустимость. Функция y(t), которую будем называть ана-

лизирующим вейвлетом (употребляют также термин мате-

ринский вейвлет), должна иметь нулевое среднее значение:

−∞

2.Подобие. Все функции семейства получаются из анализирующего вейвлета путем масштабного преобразования и сдвига,

ψab (t ) =ψ t − b .

a

Таким образом, вейвлеты образуют двухпараметрическое семейство функций, в котором параметр a отвечает за мас-

237

штаб (растяжение) функции, а параметр b – за ее положение (сдвиг).

3.Обратимость. Вейвлет-преобразование должно быть обратимо, то есть должно существовать обратное преобразование, однозначно восстанавливающее исходную функцию по ее вейвлет-представлению.

4.Регулярность. Функция y(t) должна быть хорошо локализована и в физическом пространстве, и в пространстве Фурье.

Согласно последнему требованию и функции Хаара, и функции Литлвуда-Пелли не попадают под определение вейвлетов. По сути, они являют собой два предельных случая (в одном случае резкие границы в физическом пространстве приводят к бесконечным "хвостам" в пространстве частот и, наоборот, обрыв в пространстве частот дает бесконечные "хвосты" в физическом пространстве).

В отличие от преобразования Фурье, вейвлет-преобразова- ние допускает широкий выбор анализирующей функции. Согласно первому требованию, вейвлет всегда является знакопеременной функцией, включающей обычно небольшое количество осцилляций. Выбор конкретного вида вейвлета зависит от целей проводимого анализа.

Приведем несколько примеров широко используемых вейвлетов. Простым вещественным вейвлетом, широко используемым в задачах, требующих хорошего пространственного разрешения и не требовательных к спектральному разрешению, является вейвлет, получивший название "мексиканская шляпа" (рисунке 5.16,

а),

В задачах, требующих лучшего спектрального разрешения, часто используется вейвлет Морле – комплексная функция вида

На рис.6.16,б сплошной линией показана его вещественная часть, а пунктирной – мнимая. Сама функция (6.81) совпадает с видом функций, используемых в преобразовании Габора, но семейство вейвлетов отличается от функций Габора тем, что один

238

раз выбрав частоту ω0 для анализирующего вейвлета и задав тем самым число осцилляций, мы в дальнейшем сжимаем или растягиваем функцию как целое, не нарушая подобия отдельных функций семейства.

Рисунок 5.16 – Графики вейвлетов а) "мексиканская шляпа"; б) Морле

Непрерывное вейвлет-преобразование

Непрерывное вейвлет-преобразование одномерной функции f(t) есть

где ψ (t ) – вещественная или комплексная функция, удовлетворяющая требованиям 1-4 (знак * вводится для комплексно сопряженных величин). Если ψˆ (ω ) = ∫ψ (t )e−iωt dt есть фурье-образ анализирующего вейвлета и выполнено условие

то для преобразования (5.82) существует формула обращения

Условие (5.83) эквивалентно условию (5.79), так как интеграл (5.83) расходится при наличии в спектре вейвлета нулевых

239

частот, что равносильно отличному от нуля среднему значению. В определении (5.82) присутствует параметр k – показатель степени масштабного множителя. Конкретный выбор этого параметра зависит от целей анализа. Широко используется нормировка k=-1, при которой равные значения вейвлет-коэффициентов w(a,b) соответствуют равным амплитудам пульсаций сигнала, независимо от масштаба пульсаций.

Вейвлет-образ w(a,b) функции f(t) можно выразить и через ее

Пользуясь соотношениями (5.85)-(5.86) и теоремой Парсеваля, несложно получить аналог этой теоремы для вейвлетпреобразования

−∞

240