Учебное пособие «Основы математического моделирования»

то есть начальный профиль T(0)X(0) со временем только растягивается или сжимается, оставаясь подобным самому себе (автомодельным). Подставляя представление (5.24) в (5.7), получим

T ¢¢X - a2TX ¢¢ = 0 ,

откуда после деления на a2TX

l T ′′ = X ′′ = λ

a2 T X

(5.25)

где λ, очевидно, не зависит ни от t, ни от x. Одно из уравнений системы (5.25)

вытекающими из (5.18), представляет собой частный случай известной в математической физике задачи Штурма-Лиувилля – задачи нахождения нетривиального (т.е. ненулевого) решения обыкновенного дифференциального уравнения (5.26), удовлетворяющего краевым условиям (5.27). Те значения λ, при которых эта задача имеет нетривиальные решения, называются собственными числами (спектром) задачи, а соответствующие им решения

– собственными функциями задачи. Читатель, вероятно, заметил, что задача Штурма-Лиувилля напоминает задачу нахождения собственных векторов t симметричного тензора второго ранга X над конечномерным пространством:

( X - λ I )t = 0, t ¹ 0 .

Формальная замена линейного симметричного оператора X другим линейным самосопряженным оператором – координатной частью линейного дифференциального оператора с краевыми условиями, и приводит к задаче Штурма-Лиувилля (напомним, что функции также являются векторами, т.е. элементами линейного пространства). Известно, что эта задача приводит к счетному множеству собственных чисел, все они вещественные, среди них имеется наименьший, а точка сгущения расположена в бес-

конечности, т.е. lim λ = +∞ . Каждому собственному значению

n→∞ n

соответствует единственная нормированная собственная функ-

182

ложить решение (вопрос – всегда ли? – оставим открытым). Например, для решения задачи со сложным (но линейным) оператором и некоторыми граничными условиями иногда разумнее решить сначала задачу с более простым оператором и темиже условиями, а полученное разложение далее использовать для основной задачи. Отметим, что если мы решаем линейные уравнения для бесконечных областей, спектр оказывается непрерывным и суперпозиция нормальных мод в представлении начальных условий сводится к интегральной сумме по k.

5.5 О характеристиках уравнений математической физики. Решение волнового уравнения методом Даламбера

Долог путь поучений, короток и успешен путь примеров

Сенека Младший

Здесь нам понадобится понятие характеристик линейного дифференциального оператора. Начнем с простого примера, использующего понятия эйлеровых и лагранжевых координат. Пусть каждая частица ξ "одномерной" сплошной среды имеет

некоторый локальный параметр ϑ , не изменяющийся со временем:

Поле скоростей v(x,t) будем считать известным, а ϑ ( x, t ) –

разыскиваемым. Дифференциальное уравнение (5.31), линейное относительно старших производных с коэффициентами, зависящими только от координаты и времени x,t, принадлежит к классу почти линейных уравнений в частных производных I порядка (по терминологии). Как любое дифференциальное уравнение, оно

184

имеет бесконечное множество решений (в некотором функциональном пространстве) и чтобы выделить из них определенное, следует дополнить это уравнение начальным условием

Такая задача называется начальной задачей или задачей Ко-

ши.

Однако решать задачу (5.31)-(5.32) легче всего, принимая во внимание ее происхождение (физическое содержание). Из (5.30) вытекает

ϑ = ϑ (ξ ) ,

Мы получили (5.33) – решение с точки зрения Лагранжа. Для нахождения поля ϑ ( x, t ) нам придется решить еще одно дифференциальное уравнение

частицы с именем ξ – в силу свойств континуума мы можем обратить ξ = ξ ( x, t ) и окончательно наше решение с точки зрения

Эйлера примет вид

ϑ = ϑ0 (ξ ( x, t )) .

Интегральные линии уравнения (5.34) на плоскости x,t, то есть траектории движения частиц при заданном поле скоростей v(x,t), называются характеристиками уравнения с частными производными (5.31); это не что иное, как координатные линии ξ=const. Очевидно, поле характеристик плотно заполняет плоскость x,t. Результат (5.33) можно понимать так: решения (5.31) должны быть постоянными вдоль каждой из его характеристик.

185

Любое из уравнений системы легко решается: (vy)z означает, что функция vy постоянна вдоль прямых y=const на плоскости y,z. Итак, vy = θ(z), а значит

Мы получили общее решение системы (5.7) с точностью до двух произвольных функций, аргументами которых служат про- странственно-временные комплексы x ± at . Добавляя к системе начальные условия, для удобства принятые в следующем виде:

v ( x, 0) = ϕ ( x), ∂v ( x, 0) ≡ 0,

∂t

а также полагая среду бесконечной −∞ < x < +∞ , легко найти f и g и решение задачи

Данное решение называется решением типа бегущей волны. Точнее, в решении (5.40) присутствуют две волны одинакового профиля, разбегающиеся в разные стороны от "начальной волны"

ϕ ( x) . Существование такого решения является следствием

трансляционной инвариантности задачи по временной и пространственной координатам. Это означает существование двух сдвигов x, a t, переводящих решение само в себя при фиксированном a. Мы снова столкнулись с автомодельным решением: профиль каждой из пары волн (5.39) не меняется, меняется только их расположение в пространстве.

Обратим внимание на то, что величина a = p′( ρ0 ) есть ско-

рость распространения малых возмущений в газе, что видно из (6.40). Учитывая, что константа a формально присутствует в волновом уравнении, описывающем различные физические волно-

188

вые процессы, ее нужно трактовать как скорость распространения волн. Здесь нельзя не вспомнить об одном глубоком выводе, сделанном Джеймсом Клерком Максвеллом из открытых им уравнений электромагнитной динамики.

5.6 Уравнения Максвелла

Не бог ли эти знаки начертал? Таинственен их скрытый дар!

Гете

В отличие от механического, электромагнитное поле не требует для себя какого-либо носителя типа твердого, жидкого или газообразного тела, оно само является материальным полем и может распространять возмущения в вакууме и с конечной скоростью. Эти идеи в середине прошлого века в свете господствующей амперовской электродинамики еще казались абсурдными. Практические успехи "старой" электродинамики впечатляли: к тому времени уже действовал телеграфный кабель через Атлантический океан. Однако она вследствие своей внутренней противоречивости напоминала Максвеллу вавилонскую башню. Он не мог принять мгновенного действия на расстоянии (дальнодействия), заложенного, например, в законе Кулона. Возможно, его воодушевляло то, что в 1849 Арман Ипполит Физо нашел чудовищное (но конечное) значение для скорости света –313 с лишним тысяч километров в секунду. Максвелл, еще со студенчества воодушевленный работами Майкла Фарадея, впервые введшего абстрактные силовые линии в пространстве, придерживался точки зрения, что главным действующим лицом должно являться электромагнитное поле в пространстве. Эту смелую философию он подкреплял аргументами: "Кому свойства воздуха незнакомы,

тому передача силы посредством этой невидимой среды будет

казаться столь же непонятной, как и всякий другой пример дей-

ствия на расстоянии...". Отказавшись от некоторых законов, сохранив и обобщив другие, наделив каждую математическую операцию физическим смыслом и в то же время дав каждой физической величине четкую математическую характеристику, Мак-

189

свелл пришел к своим знаменитым уравнениям электромагнитного поля:

Ñ × D = ρ,

Ñ´ = - &

E B,

E – вектор напряженности электрического поля, D – вектор электрической индукции, B – вектор магнитной индукции, H – вектор напряженности магнитного поля, ρ – плотность заряда, j – ток смещения.

Рисунок 5.1 – Механическая модель электромагнитного поля

Для уяснения смысла некоторых понятий, Максвелл пользовался механическими моделями типа изображенной на рисунке 5.1. В "Трактате об электричестве и магнетизме", главном труде Максвелла, такие схемы он уже не использовал (с точки зрения поля они бессмысленны), но именно они позволили ему многое понять. Нужно заметить, что в век Максвелла ("век пара") доминировали идеи и методы механики, так что уже после выхода "Трактата" многие пытались выяснить механическое содержание его уравнений. Людвиг Больцман думал, что Максвелл имеет механические модели, которыми он обосновывал свои уравнения,

190