Методы оптимизации

192

Заключение

Несмотря на то что методы оптимизации как самостоятельное научное направление сложились еще в середине 1960-х гг., их развитие продолжается по сей день, поэтому в одном издании невозможно рассмотреть все существующие классы задач и методы их решения.

В данном учебнике рассмотрены лишь некоторые теоретические разделы методов оптимизации. В частности, не были рассмотрены материалы:

•теории двойственности (в линейном и нелинейном программировании);

•квадратичного программирования;

•сепарабельного программирования;

•вариационного исчисления;

•теории оптимального управления и т. д.

Практикум по методам оптимизации (решение оптимизационных задач) вынесен в отдельное методическое пособие. В нем приведены примеры решения задач всеми изложенными в учебнике методами.

Оптимизационные задачи встречаются повсюду – в программировании, экономике, транспорте, в целом – практически во всех отраслях человеческой деятельности. Специалист должен уметь распознавать, когда стоящая перед ним задача относится к классу оптимизационных, и выбирать адекватные методы ее решения. Коллектив авторов надеется, что данное учебное пособие поможет Вам в этом.

193

Литература

1. Реклейтис Г. Оптимизация в технике : в 2 кн. / Г. Реклейтис, А. Рейвиндран, К. Рэгсдел. – М. : Мир, 1986. – Кн. 1. – 349 с.; Кн. 2. –

320с.

2.Мину М. Математическое программирование. Теория и алгоритмы / М. Мину. – М. : Наука, 1990. – 488 с.

3.Рубан А. И. Оптимизация систем : учеб. пособие / А. И. Рубан. – Томск : Изд-во ТГУ, 1984. – 198 с.

4.Дэннис Дж. Численные методы безусловной оптимизации и решения нелинейных уравнений / Дж. Дэннис, Р. Шнабель. – М. : Мир, 1988. –

440с.

5.Карманов В. Г. Математическое программирование : учеб. пособие / В. Г. Карманов. – М. : ФИЗМАТЛИТ, 2004. – 264 с.

6.Сборник задач по математике для втузов / Э. А. Вуколов и др. ; под ред. А. В. Ефимова, А. С. Поспелова. – М. : ФИЗМАТЛИТ, 2002. –

Ч.3. – 576 с.

7.Жермен-Лакур П. Математика и САПР : в 2 кн. / П. Жермен-Лакур, П. Л. Жорж, Ф. Пистр, П. Безье. – М. : Мир, 1989. – Кн. 1. – 204 с.; Кн. 2. – 264 с.

8. Химмельблау Д. Прикладное нелинейное программирование /

Д. Химмельблау. – М. : Мир, 1991. – 534 с.

9.Введение в методы оптимизации / М. Аоки. – М. : Наука, 1988. – 344 с.

10. Полак Э. Численные методы оптимизации. Единый подход /

Э. Полак. – М. : Мир, 1994. – 376 с.

11.Уайлд Д. Дж. Методы поиска оптимума / Д. Дж. Уайлд. – М. : Наука, 1997. – 268 с.

12.Габасов Р. Методы оптимизации / Р. Габасов, Ф. М. Кириллова. – Минск : Изд-во БГУ, 1988. – 352 с.

13.Бахвалов Н. С. Численные методы / Н. С. Бахвалов. – М. : БИНОМ, 2008. – 636 с.

14.Гилл Ф. и др. Практическая оптимизация / Ф. Гилл и др. – М. : Мир, 1992. – 509 с.

194

15.Коршунов Ю. М. Математические основы кибернетики : учеб. пособие для втузов / Ю. М. Коршунов. – М. : Энергоатомиздат, 1987. – 496 с.

16.Боглаев Ю. П. Вычислительная математика и программирование : учеб. пособие для студентов втузов / Ю. П. Боглаев. – М. : Высш. шк., 1990. – 544 с.

17.Рубан А. И. Методы оптимизации : учеб. пособие / А. И. Рубан. – 2-е изд., испр. и доп. – Красноярск : КГТУ, 2004. – 528 с.

195

Список условных обозначений и сокращений

– знак принадлежности (a A – элемент a принадлежит множеству A, x [a,b] – точка x принадлежит отрезку [a,b])

– не принадлежит

– знак включения, подмножества ( A B – множество A является подмножеством B)

( ) – (открытый) интервал ((a,b) – интервал, которому принадлежат все значения от a до b, но не включая a и b)

[ ] – закрытый интервал или отрезок ([a,b] – отрезок, которому принадлежат все значения от a до b включительно)

– знак следования (a b – из a следует b)

→– стремится (a → b – a стремится к b)

{} – знак множества ({a,b} – множество, состоящее из элементов a и b)

– пустое множество

– квантор общности ( x – для всех/любого/каждого x )– квантор существования ( x – найдется/существует x )

– модуль или определитель ( a – модуль скалярной величины a , A – определитель матрицы A)

– норма матрицы или вектора

T – оператор транспонирования матрицы или вектора +∞ – бесконечно большое положительное число −∞ – бесконечно большое отрицательное число

∆– приращение (∆x – приращение аргумента x )

Σ– знак суммы

Λ – константа Липшица

A( ) – декартовы координаты точки ( A(x, y) – точка A с декартовыми координатами (x, y))

const – постоянная величина, константа E – единичная матрица

extr – экстремум

f – значение функции в критической или стационарной точке

Z – множество целых чисел ВМ – венгерский метод

ГМ – графический метод решения ЗЛП ГУ – граничные условия Д-задача – двойственная задача ДУ – достаточные условия

ЗКП – задача квадратичного программирования

197

ЗЛП – задача линейного программирования ЗНП – задача нелинейного программирования ЗоН – задача о назначении ЗЦП – задача целочисленного программирования ЗО – задача оптимизации

КМ – квазиньютоновские методы КП – квадратичное программирование КФ – квадратичная форма ЛП – линейное программирование

МБФГШ – метод Бройдена – Флетчера – Гольдфарба – Шенно МГ – метод Гомори МД – метод дихотомии

МДНЗ – метод допустимых направлений Зойтендейка МДФП – метод Дэвидона – Флетчера – Пауэлла МЗС – метод золотого сечения МЗП – метод замены переменных МК – метод Коши МЛ – метод линеаризации

ММ – метод Марквардта ММК – метод Миля – Кентрелла

ММЛ – метод множителей Лагранжа ММН – модифицированный метод Ньютона МН – метод Ньютона МНС – метод наименьшей стоимости МО – методы оптимизации

МП – метод Пауэлла (в контексте безусловной оптимизации) МП – метод потенциалов (в контексте условной оптимизации) МПГ – метод проекции градиента МПР – метод Полака – Рибьера МСГ – метод сопряженных градиентов МСЗУ – метод северо-западного угла

МСН – метод сопряженных направлений МСТ – метод средней точки МУГ – метод условного градиента

МФ – метод Фибоначчи (в контексте безусловной оптимизации) МФ – метод Фогеля (в контексте условной оптимизации)

198

МФВ – метод Франка – Вульфа МФР – метод Флетчера – Ривза МХД – метод Хука – Дживса МШФ – методы штрафных функций НП – нелинейное программирование НУ – необходимые условия

ОГМ – обобщенный градиентный метод ОДР – область допустимых решений П-задача – прямая задача ПСМ – последовательный симплекс-метод СМ – симплекс-метод

СП – сепарабельное программирование СТ – симплекс-таблица ТЗ – транспортная задача ТМ – транспортная модель ТТ – транспортная таблица

ТАУ – теория автоматического управления ТОУ – теория оптимального управления ЦП – целочисленное программирование ЦФ – целевая функция ШФ – штрафная функция