Математические основы теории систем

Axm = λixm + xm−1.

Уравнения (5.30) применимы для любой клетки Жордана. Модальные столбцы можно определить из этих уравнений, последовательно их решая, начиная с первого уравнения.

······················· Пример 5.7 ······················

Привести к канонической форме матрицу A:

Характеристическая матрица и присоединенная к ней равны

Характеристическое уравнение λ2 − 2λ +1= 0 имеет два корня λ =1. Подстановка этого числа в характеристическую матрицу дает единственный собственный вектор, соответствующий λ =1:

x1 = [2 1]T .

Поскольку ранг характеристической матрицы при λ =1 равен единице, то её дефект также равен единице и каноническое преобразование приведет к клетке Жордана:

Второй собственный вектор найдем, согласно выражению (5.30), из уравнения

Ax2 = λ1x2 + x1 . Расписав уравнение по компонентам, получим:

−x12 + 4x22 = x12 + 2,

−x12 + 3x22 = x22 +1.

Поскольку полученные уравнения линейно зависимые, одну из компонент вектора x2 можно выбрать произвольно, например, положить x12 = 1. Тогда получим x22 = 1, и модальная матрица равна

·······································································

·····························································

Читателю предлагается самостоятельно убедиться, что преобразование подобия M−1AM приведет к канонической матрице

·····························································

5.4 Матричные функции

5.4.1 Матричные ряды

Краткая запись произведения матриц A A ... A может быть сделана в форме Ak , где k – число множителей, входящих в произведение. Как и возведение в степень скаляров, умножение степеней матриц подчиняется обычным

правилам: Ak Am = Ak+m , (Ak )m = Akm , A0 = En где En – единичная матрица порядка n.

Эти же правила справедливы и при возведении матрицы в отрицательную степень при условии, что матрица неособенная, т. е. существует обратная матрица.

Можно возводить матрицы и в дробную степень. Так, если Am = B, где A – квадратная матрица, то A является корнем m-й степени из B:

A= mB = B1m .

Вотличие от скаляров, у которых имеется ровно m корней m-й степени, не существует общего правила определения, каким количеством корней m-й степени обладает матрица B. Это число корней зависит от конкретного вида матрицы.

Возьмем произвольный многочлен m-го порядка от скалярной переменной х:

Заменив в этом выражении х на квадратную матрицу A порядка n, получим соответствующий матричный многочлен:

203

Многочлен (5.31) можно, как известно, представить в виде произведения:

N (x) = pm (x − λ1 )(x − λ2 )...(x − λm ),

где λi (i = 1,2,...,m) – корни многочлена, которые предполагаются различными.

Обобщением ряда (5.31) будет бесконечный степенной ряд:

∞

S(x) = a0 + a1x +...+ ak xk +... = ∑ak xk .

k=0

Заменив переменную х в последнем выражении на квадратную матрицу A, получим бесконечный ряд по A:

k=0

Вопросы сходимости матричных рядов затрагивать не будем, достаточно знать только, что ряд (5.34) сходится, если сходятся соответствующие скалярные ряды S (λi ), (i =1,2,...,n) , где λi – собственные значения матрицы A.

5.4.2 Функции от матриц

Разложение известных скалярных функций в степенные ряды дает основание для определения этих функций от матриц.

Матричная экспонента:

Ряды (5.35) сходятся равномерно и абсолютно. Поскольку произведение матриц в общем случае некоммутативно, равенство eAeB = eBeA = eA+B выполняется, только если матрицы A и B коммутативны . Последнее условие выполняется, если B = A или B = −A. В частности, при B = −A имеем

eAe− A = eA−A = e[0] = E ,

откуда ясно, что матрица e−A является обратной к матрице eA .

Если A не зависит от времени, то матричная экспонента eAt определяется подобно уравнению (5.35) в форме бесконечного ряда:

205

Как легко видеть, формулы (5.41)–(5.43) являются матричными аналогами формул Эйлера.

Матричный гиперболический синус:

Матричный гиперболический косинус:

Матричные тригонометрические тождества имеют соответствующие аналоги скалярных тригонометрических тождеств и выводятся с помощью вышеприведенных матричных соотношений.

5.4.3 Теорема Кэли – Гамильтона

Эта теорема касается весьма важного и полезного свойства характеристического полинома D(λ) и используется при нахождении различных функций от матрицы A.

·····························································

Теорема 5.1 (Кэли – Гамильтона). Всякая квадратная матри-

ца удовлетворяет своему характеристическому уравнению. Другими словами, если в характеристическом уравнении

D(λ) = λn + a1λn−1 + ... + an−1λ + an = 0 заменим λ матрицей A, то получим тождество.

·····························································

·····························································

С помощью теоремы Кэли – Гамильтона можно понижать по-

рядок многочленов, находить обратную матрицу, возводить матрицу в произвольную положительную целую степень, вычислять функции от матриц.

·····························································

для вычисления An через полином (n −1)-го порядка. Последовательно умно-

206

жая правую и левую часть этой формулы на A, имеем итерационную процедуру для возведения A в произвольную степень.

Решив то же уравнение D(A) = [0] относительно низшей степени матрицы A (то есть относительно единичной матрицы) и умножив правую и левую части на обратную матрицу A−1 , получим выражение для обратной матрицы через полином (n −1)-й степени от матрицы A. В некоторых случаях этот метод удобнее, чем другие методы.

Пусть имеется матричный многочлен N (A) степени большей, чем порядок матрицы. Разделив N (λ) на характеристический полином D(λ), получим:

может быть представлен полиномом (n −1)-й степени.

Вышеизложенное можно распространить не только на любую полиномиальную функцию от A, но и на произвольную функцию F (A), где предполагается аналитической функцией λ в некоторой области. При таком условии F (λ) может быть в области аналитичности представлена рядом Тейлора. Поэтому функция F (A) может быть записана в виде многочлена от A степени

207

F(λn ) = R(λn ).

Вэтой системе n уравнений и n неизвестных. Следовательно, все αi

определяются однозначно. Нетрудно показать, что Q(λ) является аналитической функцией в той же области, что и F (λ), поэтому уравнение (5.46) справедливо для всех λ в области аналитичности F (λ). Из этого следует, что если область аналитичности F (λ) включает все собственные значения A, то вместо переменной λ можно подставить A. В результате из уравнения (5.46) получим:

F(A) = D(A)Q(A) + R(A),

атак как согласно теореме Кэли – Гамильтона D(A) = [0] , то из последнего со-

отношения имеем:

······················· Пример 5.8 ······················

Воспользовавшись теоремой Кэли – Гамильтона, вычислить матричную экспоненту eAt для матрицы A из примера 5.3:

Поскольку матрица A является матрицей второго порядка, то по теореме Кэли – Гамильтона матричная экспонента может быть представлена полиномом первого порядка:

eAt = α0E + α1A ,

где коэффициенты α0 , α1 определяются из системы уравнений (5.48), куда подставлена искомая функция и собственные числа матрицы A:

F (λ1 ) = eλ1t = e−t = α0 − α1, F (λ2 ) = eλ2t = e−2t = α0 − 2α1.

Решая систему уравнений, находим:

α0 = 2e−t − e−2t , α1 = e−t − e−2t .

208

Окончательно получаем искомую функцию:

·······································································

Теперь что касается кратных собственных значений. Ясно, что если матрица A имеет собственное значение λi кратности r, то подстановка λi в уравнение (5.48) даст лишь одно линейно независимое уравнение. Остальные r −1 уравнений для определения αi находятся дифференцированием обеих частей уравнения (5.48). В этом случае для нахождения единственного решения для коэффициентов αi полинома (5.47) нужно составить систему линейных уравнений вида

5.4.4 Теорема Сильвестра

Теорема разложения Сильвестра находит применение при отыскании матричных функций, представляющих в замкнутой форме степенные ряды матрицы A.

··························································

Теорема 5.2 (Сильвестра). Пусть N (A) – матричный многочлен от A (неважно, конечный или бесконечный) и квадратная матрица A имеет n различных собственных значений. Тогда имеет место формула

j=1

j≠i

··························································