Математические основы теории систем

Характеристическое уравнение, таким образом, имеет вид

λ3 − 2λ2 − 5λ + 6 = 0, а собственные числа λ1 =1, λ2 = −2, λ3 = 3.

·······································································

5.2.2 Модальная матрица

Для каждого из n различных собственных чисел λi матрицы A можно получить вектор решения xi , удовлетворяющий системе уравнений

ры kxi , где k – произвольный скаляр. То есть уравнение (5.22) однозначно задает лишь направление каждого из xi . Из вектор-столбцов xi или пропорциональных им образуем матрицу, которую часто называют модальной матрицей. При различных собственных числах столбцы модальной матрицы можно полагать равными или пропорциональными любому ненулевому столбцу матрицы Adj[λiE − A]. Поскольку столбцы присоединенной матрицы линейно зависимы для каждого значения λi , то выбор конкретного λi определяет только один столбец модальной матрицы.

Таким образом, при различных собственных числах n столбцов модальной матрицы линейно независимы.

······················· Пример 5.4 ······················

Найти собственные векторы и составить модальную матрицу для матрицы A:

Характеристическая матрица имеет вид

Столбцы полученной модальной матрицы являются линейно независимыми.

·······································································

В случае кратных корней уравнения (5.19) определение независимых собственных векторов (столбцов модальной матрицы) не очевидно. Дело здесь в том, что не существует однозначного соответствия между порядком кратности корня характеристического уравнения и дефектом соответствующей этому корню характеристической матрицы [λiE − A].

Если кратность некоторого корня, например, λi равна р, то дефект q характеристической матрицы [λiE − A] может быть в пределах 1≤ q ≤ p, и в этом случае можно найти только q линейно независимых собственных векторов, удовлетворяющих уравнению (5.22) для данного собственного числа λi .

193

Если вырожденность полная q = p (для симметрической матрицы это выполняется всегда), то можно найти ровно р линейно независимых собственных векторов, соответствующих корню λi кратности р. Эти р различных модальных столбцов можно получить из ненулевых столбцов матрицы:

и один корень λ = 3. Подстановка в характеристическую матрицу λ =1 дает только один линейно независимый столбец, то есть ранг характеристической матрицы равен единице, а её дефект – двум (дефект равен размерности матрицы минус её ранг). Поскольку характеристическая матрица полностью вырождена (дефект совпадает с кратностью корня), то для каждого из кратных корней существует линейно независимый вектор.

Присоединенная матрица равна

После подстановки в последнюю матрицу λ =1 любые два линейно независимых столбца дадут два столбца модальной матрицы. Таким образом, полу-

194

чаем два линейно независимых собственных вектора, соответствующих собственному числу λ =1:

·······································································

Если вырожденность простая q =1, то для корня λi кратности р можно найти только один собственный вектор, соответствующий данному λi . Этот вектор, как и в случае некратных корней, может быть выбран пропорциональным любому ненулевому столбцу матрицы Adj[λE − A] .

Если вырожденность характеристической матрицы 1< q < p, то q модальных столбцов могут быть получены из различных ненулевых столбцов матрицы (5.23) при замене р на q.

Как определять остальные p − q модальных столбцов (они будут линейно зависимы от q найденных векторов xi ), будет разобрано в параграфе, посвященном матричным преобразованиям.

5.2.3 Симметрическая матрица

Случаи, когда матрица A является симметрической, встречаются в теории систем довольно часто. Достаточно упомянуть, что симметрическими матрицами описывают системы, состоящие из RC-элементов, то есть из емкостей и сопротивлений. Поэтому собственные числа и собственные векторы симметрических матриц требуют особого рассмотрения.

Важным свойством действительной симметрической матрицы является то, что ее собственные значения являются вещественными числами.

Следующее свойство симметрических матриц заключается в том, что их собственные векторы попарно ортогональны.

Третье, уже упомянутое, свойство симметрической матрицы касается кратных собственных значений. Собственные векторы, соответствующие собственному значению λi кратности р, линейно независимы.

195

5.3 Линейные преобразования

5.3.1Элементарные действия над матрицами

Рассмотрим определённые действия с элементами матриц.

1.Перестановка произвольных двух строк (столбцов).

2.Многократное прибавление к какой-либо строке (столбцу) другой строки (столбца).

3.Умножение строки (столбца) на отличную от нуля постоянную вели-

чину.

Эти три элементарные операции равносильны умножению данной квадратной матрицы слева или справа на некоторую неособенную матрицу, причем такую, чтобы ранг полученной матрицы равнялся бы рангу исходной матрицы.

Операция 1. Эта операция не что иное, как перенумерация строк (столбцов) и, конечно, не меняет ранга матрицы. Пусть Q1 – единичная матрица размерности (n× n) с переставленными i-й и j-й строками. Тогда умножение произвольной (n× n) матрицы A на Q1 слева приводит к матрице с переставленными i-й и j-й строками. Умножение A справа на Q1 приводит к матрице с переставленными i-й и j-й столбцами.

Операция 2. Сложение с i-й строкой k раз j-й строки обеспечивается умножением на матрицу A матрицы Q2 слева Q2A , где Q2 – единичная матрица с элементом k в i-й строке и j-м столбце (i ≠ j). Такая же операция со столбцами будет обеспечена умножением A на матрицу Q2 справа AQ2 .

Операция 3. Умножение i-й строки на постоянную k ≠ 0 произойдет, если взять произведение Q3A , где Q3 – единичная матрица с замененным на k i-м элементом на главной диагонали. Произведение AQ3 даст аналогичную операцию с i-м столбцом.

Таким образом, любая последовательность элементарных действий над строками матрицы A может быть выполнена в результате умножения слева на A соответствующей последовательности неособенных матриц Pi или, что то

196

5.3.2 Эквивалентные преобразования

Свойство матриц иметь одинаковый ранг является рефлексивным, симметричным и транзитивным. Следовательно, можно говорить об эквивалентности двух матриц, если у них одинаковый ранг (естественно, размерности таких матриц должны совпадать). Преобразование (5.24) не меняет ранга матрицы, то есть можно считать, что две матрицы эквивалентные, если одна из матриц получается в результате выполнения ряда элементарных операций над другой матрицей. Преобразование (5.24) является, таким образом, наиболее общим видом эквивалентных матричных преобразований. Отдельные преобразования получаются из взаимосвязи P и Q.

С помощью эквивалентных преобразований можно произвольную матрицу A ранга r >1 привести к нормальной (или канонической) форме, т. е. к мат-

Если неособенную матрицу A можно привести к единичной путем операций над строками этой матрицы, то в преобразовании (5.24) P = A−1, Q=E, и по сути это представляет собой другой метод нахождения обратной матрицы

A−1.

Если в общем случае возможно приведение матрицы A к единичной путем ряда элементарных операций, то

A = P−1PAQQ−1 = P−1EQ−1 = P−1Q−1 .

Последнее соотношение показывает, что любая неособенная матрица мо-

Важным свойством преобразования подобия является инвариантность собственных чисел к такому преобразованию.

Ортогональное преобразование имеет место, если в преобразовании подобия задать дополнительное условие QT = Q−1 .

Ортогональное преобразование сохраняет неизменными нормы векторов и углы между ними.

где Q – неособенная матрица.

Конгруэнтное преобразование, согласно соотношению (5.26), состоит из пар элементарных операций, причем каждая из пар является одним и тем же элементарным преобразованием последовательно строк и столбцов матрицы A.

5.3.3 Диагонализация матриц

Часто возможен в различных задачах переход к такой системе координат, в которой линейное преобразование (5.15) описывается диагональной матрицей. Это очень удобно, так как в этом случае уравнения для компонент векторов оказываются несвязанными друг с другом. Подобная система координат называется нормальной системой, а координаты в таком базисе – нормальными координатами системы. С помощью различных преобразований можно привести матрицу к диагональному виду.

Конгруэнтное преобразование. С помощью конгруэнтного преобразования действительная симметрическая матрица A ранга r может быть приведена к каноническому виду

Таким же конгруэнтным преобразованием комплексная симметрическая матрица ранга r может быть приведена к канонической форме

Преобразование подобия. В преобразовании подобия используется модальная матрица M . В тех случаях, когда матрица А имеет n различных собственных значений либо когда при кратных корнях матрица [λE − A] полностью вырождена (в этих случаях матрица M имеет n линейно независимых модальных столбцов) преобразование M−1AM приводит к диагональной матрице Λ. Это нетрудно показать, вернувшись к уравнениям (5.22) для собственных векторов xi

198

[λiE − A]xi = 0.

Эти уравнения можно объединить для всех i =1,2,...,n:

где Λ = diag[λ1 λ2 ...λn ] – диагональная матрица, составленная из собственных значений λ1,λ2 ,...,λn . Поскольку модальная матрица М имеет n линейно независимых столбцов, она является невырожденной и, следовательно, существует обратная матрица M−1 . Умножив на M−1 слева уравнение (5.27), получим:

Λ = M−1AM.

Таким образом, преобразование подобия позволяет перейти при линейно независимых собственных векторах к диагональной матрице.

Применение такого преобразования подобия всегда возможно для действительной симметрической матрицы. Так как собственные векторы действительной симметрической матрицы (точно так же, как и эрмитовой) ортогональны, то всегда существует такая ортогональная матрица, что

Q−1AQ = QT AQ = diag[λ1 λ2 ...λn ] = Λ .

······················· Пример 5.6 ······················

Привести матрицу A к диагональному виду

Модальная матрица была найдена в примере 5.5

199

Обратная матрица равна

а произведение M−1AM приводит к диагональной матрице

·······································································

5.3.4 Приведение к канонической форме Жордана

Несимметрические матрицы (n× n) с кратными собственными числами могут в общем случае содержать меньше, чем n линейно независимых собственных векторов, определяемых уравнениями (5.22). Однако можно показать, что в этом случае произвольная квадратная матрица A с помощью преобразования подобия может быть приведена к канонической матрице Жордана, имеющей следующие свойства:

•диагональные элементы этой матрицы являются собственными числами;

•все элементы, лежащие ниже главной диагонали, равны нулю;

•если соседние элементы на главной диагонали одинаковы, то некоторые элементы, расположенные непосредственно справа от главной диагонали, равны единице;

•остальные элементы равны нулю.

Типичная жорданова форма имеет вид:

«Единицы» в жордановых матрицах встречаются в блоках вида

200

Они называются клетками Жордана. Количество клеток Жордана, связанных с собственным числом λi , равно количеству линейно независимых собственных векторов, соответствующих λi , то есть дефекту характеристической матрицы [λiE − A]. Но определить порядки клеток Жордана – задача чрезвычайно трудная, несмотря на то, что число единиц, связанных с конкретным собственным числом λi , вполне определено и равно кратности λi минус дефект [λiE − A]. Поэтому совершенно непонятно, получится ли в результате преобразования J = M−1AM матрица вида (5.28) или, например, матрица

И в той и в другой матрице по две клетки Жордана, связанные с собственным числом λi и в обеих матрицах по две единицы в этих клетках, но в матрице (5.28) порядки клеток 3 и 1, а в матрице (5.29) обе клетки порядка 2.

Вслучае полной вырожденности (дефект [λiE − A] равен кратности корня

λi ) в клетке Жордана не будет ни одной единицы. В случае простой вырожден-

ности (дефект [λiE − A] равен единице) все элементы, непосредственно лежащие справа от главной диагонали с λi , будут равны единице. В промежуточных случаях для определения J и M можно довольствоваться методом проб и ошибок исходя из равенства MJ = AM.

Обозначим модальные столбцы через x1,x2 ,...,xn . Тогда клетка Жордана порядка m, связанная с λi , существует лишь в том случае, если m векторов x1,x2 ,...,xn удовлетворяют уравнениям: