Математические основы теории систем

181

Кососимметрическая матрица – это квадратная действительная матрица, если A= −AT .

Если элементы матрицы A комплексные aij = αij + jβij , то комплексно сопряженная матрица B = A* содержит элементы bij = αij − jβij .

Матрица, сопряженная по отношению к матрице A, является транспонированной и комплексно сопряженной по отношению к A, то есть равна

(A* )T .

Если A = A*, то матрица является действительной. Если A = −A* , то матрица A мнимая.

Если матрица равна своей сопряженной, то она называется эрмитовой. Для эрмитовой матрицы выполняется соотношение A = (A* )T .

Если выполняется соотношение A = −(A* )T , то матрица A носит назва-

ние косоэрмитовой.

5.1.2 Простейшие операции

Суммой (разностью) матриц одного порядка (m× n) является матрица (m× n) C = A ± B, каждый элемент которой определяется как cij = aij ± bij .

Две матрицы одного порядка равны A = B, если и только если равны их элементы aij = bij .

Определение произведения двух матриц A и B непосредственно следует из аппарата линейных преобразований. Для существования произведения C = AB матрица A и B должны быть согласованы по форме, то есть число столбцов матрицы A должно быть равно числу строк матрицы B. Тогда произ-

Из определения операции умножения видно, что умножение ассоциативно и дистрибутивно относительно сложения, как справа, так и слева.

182

Умножение на скаляр k матрицы A (справа или слева) означает, что на величину k умножается каждый элемент матрицы A.

Произведение двух транспонированных матриц BT AT равно транспонированному произведению исходных матриц, взятому в обратном порядке:

в чем нетрудно убедиться, транспонируя матрицу C = AB .

Умножение справа матрицы A на диагональную матрицу D равносильно операции со столбцами A. Умножение слева матрицы A на матрицу D –

тивной полугруппе квадратных матриц по операции умножения.

Правило умножения блочных матриц, когда элементами матрицсомножителей являются некоторые подматрицы, такое же, как и обычных матриц, важно только, чтобы подматрицы, фигурирующие в соответствующих произведениях, были согласованы по форме.

Дифференцирование и интегрирование матрицы – это соответствующие операции над ее элементами. Дифференцирование произведения матриц осуществляется так же, как и дифференцирование скалярных функций при условии сохранения первоначального порядка следования сомножителей.

5.1.3 Определители, миноры и алгебраические дополнения

Понятие определителя вводится только для квадратных матриц. Определитель квадратной матрицы A размерностью (n× n) и обозначаемый A равен алгебраической сумме всех возможных произведений n элементов. Каждое произведение содержит только один элемент из каждой строки и столбца и имеет знак «+» или «–» в зависимости от того, четное или нечетное число инверсий (то есть расположений большего числа перед меньшим) вторых индексов содержится в произведении, если расположить элементы в порядке возрастания первых индексов.

Нетрудно установить следующие свойства определителей.

1.Определитель равен нулю, если равны нулю все элементы какой-либо строки (столбца) либо если равны или пропорциональны соответствующие элементы произвольных двух строк (столбцов).

184

где δik – символ Кронекера, равный единице при одинаковых индексах и нулю при различных индексах.

5.1.4 Присоединенная и обратная матрицы

Если A – квадратная матрица, а Cij – алгебраическое дополнение элемента aij , то присоединенной для A называется матрица, образованная из алгебраических дополнений Cij , то есть

Таким образом, присоединенная матрица (Adj – по первым буквам английского слова adjust – приспосабливать, прилаживать, присоединять) является транспонированной для матрицы, образованной заменой элементов aij их алгебраическими дополнениями.

·······································································

ли A ≠ 0, то матрица называется неособенной (невырожденной). Таким образом, обратные матрицы существуют только для неособенных матриц.

Из выражения (5.7) следует, что обратная матрица для каждой неособенной матрицы является единственной и, следовательно, множество неособенных квадратных матриц по операции умножения образует некоммутативную группу.

Произведение обратных матриц подчиняется тем же правилам перестановки, что и произведение транспонированных матриц, то есть

B−1A−1 = (AB)−1 .

Производная от обратной матрицы вычисляется по формуле:

dA−1 (t) = −A−1 (t)dA(t)A−1 (t),

dt dt

которую нетрудно получить, если рассмотреть соотношение dtd (A−1 (t)A(t))= ddtE = [0].

Некоторые специальные обратные матрицы носят отдельные названия. Инволютивная матрица – это такая матрица, которая совпадает со своей

обратной, то есть AA = E.

Ортогональная матрица – это матрица, для которой выполняется соотношение A−1 = AT .

Унитарная матрица удовлетворяет соотношению A = ((A* )T )−1 .

186

5.1.5 Векторы и их свойства

Под вектором будем понимать матрицу размерностью (n×1) или вектор-

столбец.

Скалярное произведение двух векторов x и y определяется формулой

В случае вещественных x и y выражение (5.10) приобретает более знакомую форму:

n

x,y = ∑xi yi = xT y = yT x = y,x .

i=1

Ясно, что понятие скалярного произведения существует только для векторов одинаковой размерности.

Сумма и разность векторов, а также умножение вектора на скаляр следуют из соответствующих операций над матрицами.

Два вектора называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю.

Нормой вектора называют квадратный корень из скалярного произведения x и x , то есть

Можно показать, что из соотношения (5.11) вытекают два важных неравенства:

x + y ≤ x + y (неравенство треугольника),

x,y ≤ xy (неравенство Шварца). Угол θ между двумя векторами определяется формулой

x,y cosθ = xy .

Вектор xˆ называют нормированным, если xˆ = x .

x

Два вектора будут ортонормированы, если они ортогональны и нормиро-

ваны.

Векторы xi, i {1,2,…m} с компонентами x1i , x2i ,…, xni будут линейно независимы, если не существует таких постоянных ki,…,km (хоть одна из ki не должна равняться нулю), что

187

Основываясь на понятии линейной независимости векторов, дадим еще пару определений.

Вырожденность или дефект матрицы определяется так. Если строки (столбцы) особенной матрицы линейно связаны одним соотношением, то вырожденность матрицы простая (дефект равен единице). Если таких соотношений q, то матрица имеет вырождение кратности q (или дефект равен q).

Рангом r матрицы A является наивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы. Если размерность матрицы (n× n), то r = n − q.

Существует правило вырожденности Сильвестра, которое гласит, что дефект произведения двух матриц не меньше дефекта каждой из них и не выше суммы дефектов матриц.

Условие линейной независимости векторов можно сформулировать на основе ранга матрицы, образованной из элементов m векторов:

Если ранг матрицы A, образованной этими m векторами (m ≤ n), меньше, чем m, то есть r < m, то существует r линейно независимых векторов. Остальные m − r векторов выражаются в виде линейной комбинации этих r векторов. Таким образом, необходимым и достаточным условием линейной независимости этих m векторов является равенство ранга матрицы A величине m.

Определение ранга матрицы не всегда удобно, поэтому чаще линейную независимость определяют, пользуясь определителем Грама. Определитель Грама строится в предположении, что выполняется соотношение (5.12). Умножим уравнение (5.12) скалярно на xi, i {1,2,…m} и получим, таким образом,

систему уравнений:

k1 x1,x1 + k2 x1,x2 +...+ km x1,xm = 0, k1 x2 ,x1 + k2 x2 ,x2 +...+ km x2 ,xm = 0,

...

k1 xm ,x1 + k2 xm ,x2 +...+ km xm ,xm = 0.

Эта система однородных уравнений имеет нетривиальное решение для ki (то есть выполняется условие (5.12) и векторы xi являются линейно зависимы-

188

ми) только в том случае, если определитель матрицы с элементами xi ,xj равен нулю. Этот определитель называется определителем Грама и равен

Следовательно, система векторов линейно независима тогда и только тогда, когда определитель Грама (5.14) для такой системы отличен от нуля.

5.2 Собственные значения и собственные векторы

5.2.1 Характеристическое уравнение

где A – квадратная матрица размерностью (n× n).

Интерес представляет вопрос о том, существует ли такой вектор x , который в результате преобразования (5.15) переходит в вектор y, имеющий такое же направление, как и вектор x . При положительном ответе на этот вопрос

где λ – некоторый скаляр, являющийся коэффициентом пропорциональности. Задача определения значений λi и соответствующих им векторов xi , удо-

влетворяющих уравнению (5.16), известна как задача о собственных значениях (характеристических числах). Векторы xi , являющиеся решением уравнения (5.16), называются собственными или характеристическими векторами, соответствующими собственным значениям λi .

Векторно-матричное уравнение (5.16) можно переписать в таком виде:

где E – соответствующая единичная матрица. Система однородных уравнений (5.17) имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда определитель матрицы коэффициентов равен нулю:

189

Развернув определитель в левой части уравнения (5.18), получим многочлен n-й степени относительно λ :

Уравнение (5.19) является характеристическим уравнением матрицы A, а его корни суть собственные значения (характеристические числа) матрицы A.

······················· Пример 5.2 ······················

Составить характеристическое уравнение и найти собственные значения матрицы A:

Составим характеристическую матрицу:

Приравняв нулю определитель характеристической матрицы, получим характеристическое уравнение:

Собственные числа равны λ1 = −1, λ2 = −2.

·······································································

Вернемся к уравнению (5.19). По теореме Виета коэффициент an в этом уравнении равен произведению собственных чисел, то есть

190

а раскрывая определитель λE − A , увидим, что коэффициент при λn−1 имеет вид −(a11 + a22 + ...+ ann ), где akk – диагональные элементы матрицы A. Следовательно, сумма диагональных элементов квадратной матрицы равна сумме ее собственных значений:

Сумма диагональных элементов матрицы носит название следа матрицы и обозначается Tr A (первые буквы англ. trace – след).

Введя обозначение Tk = Tr(Ak ), можно записать полезные формулы, связывающие коэффициенты ai характеристического уравнения с Tk рекуррентными соотношениями, известными как формулы Бохера:

······················· Пример 5.3 ······················

Составить характеристическое уравнение и найти собственные числа матрицы A

Согласно формуле (5.21), a1 = −T1 = −2 . Произведение AA дает

откуда находим T2 = 14 и a2 = − 12(aT1 1 + T2 ) = −5. Далее находим AAA: