Математические основы теории систем

161

ристическое уравнение содержит один нулевой корень. Так как в этом случае порядок разностного уравнения равен n −1, а характеристический полином имеет порядок n, то нулевой корень оказывается лишним и не должен учитываться. Также не должны учитываться и нулевые кратные корни.

4.2.3 Решение неоднородных разностных уравнений

Общее решение неоднородного уравнения (4.16), как и в случае дифференциальных уравнений, состоит из суммы общего решения yо (k) однородного уравнения (4.17) и частного решения yн (k), удовлетворяющего уравнению (4.16):

Так как в составляющей yн (k) нет произвольных постоянных, то в решении (4.26) содержится n произвольных постоянных, которые определяются по начальным условиям y1 (0), y2 (0),..., yn−1 (0) .

Вынужденное движение системы, то есть составляющую решения, соответствующую частному решению yн (k) неоднородного уравнения (4.16), можно найти на основе тех же самых двух методов, как и в случае дифференциальных уравнений: метода неопределенных коэффициентов и метода вариации параметров.

Метод неопределенных коэффициентов применим только в случае, если в результате последовательного действия оператора сдвига Е на вынуждающую функцию F (k) получится конечное число линейно независимых членов. Это

будет в том случае, если F (k) является функцией полиномиальной, экспонен-

циальной, синусоидальной или гиперболической либо содержит линейную комбинацию этих функций. Решение ищется в виде линейной комбинации независимых составляющих F (k), F (k +1), F (k + 2) , …, где каждая составляю-

щая входит с неопределенными постоянными коэффициентами. Эти коэффициенты подбираются таким образом, чтобы предполагаемое решение удовлетворяло уравнению (4.16) для всех значений k.

······················· Пример 4.4 ······················

Решить уравнение

162

Соответствующее однородное уравнение совпадает с уравнением из примера 4.2, поэтому общее решение однородного уравнения можно записать сразу, воспользовавшись результатом из примера 4.2:

Вынуждающая функция (правая часть уравнения) при воздействии на неё оператора сдвига E имеет две линейно независимые составляющие – это k (−1)k

где A и B – неизвестные пока постоянные коэффициенты.

Подставив выражение (4.29) в левую часть уравнения (4.27), получим

A(k + 2)(−1)k+2 + B(−1)k+2 + 0,3A(k +1)(−1)k+1 + 0,3B(−1)k+1 + 0,02Ak (−1)k + +0,02B(−1)k = (A − 0,3A + 0,02A)k (−1)k + (2A + B − 0,3A − 0,3B + 0,02B)(−1)k = = 0,72Ak (−1)k + (1,7A + 0,72B)(−1)k .

Приравняв в полученном выражении коэффициенты при независимых составляющих решения с соответствующими коэффициентами при таких же составляющих в правой части уравнения (4.27), получим систему из двух уравнений относительно коэффициентов A и B:

0,72A =1,

1,7 + 0,72 = 0.

A B

Решая эту систему уравнений, найдём коэффициенты A и B: A≈1,39; B ≈ −3,28. Окончательно получаем общее решение уравнения (4.27) как сумму решения (4.28) и решения (4.29) с определёнными коэффициентами

y(k) = yо (k) + yн (k) = c1 (−0,2)k + c2 (−0,1)k + 0,72k(−1)k − 3,28(−1)k .

·······································································

Если составляющие F (k), F (k +1), … имеют такой же вид, как и составляющие решения yо (k), то предполагаемое частное решение видоизменяется. Все составляющие частного решения yн (k), совпадающие по виду с составляющими общего решения однородного уравнения yо (k), умножаются на k в той наименьшей степени, чтобы их тождественность нарушилась.

163

······················· Пример 4.5 ······················

Пусть требуется найти частное решение уравнения

y(k + 2) + 0,3y(k +1) + 0,02y(k) = (−0,1)k .

Вынуждающая функция равна (−0,1)k и это единственная независимая составляющая при воздействии оператора сдвига, поэтому в обычном случае следовало бы частное решение взять в форме A(−0,1)k . Но, вспомнив общее решение (4.28) однородного уравнения, замечаем совпадение вынуждающей функции с одним из слагаемых общего решения. Поэтому частное решение нужно брать в виде

yн (k) = Ak(−0,1)k .

Подставив предполагаемое решение в исходное уравнение, получим: A(k + 2)(−0,1)k+2 + 0,03A(k +1)(−0,1)k+1 + 0,02Ak(−0,1)k =

= −0,01A(−0,1)k = (−0,1)k ,

откуда с очевидностью следует A = −100, и частное решение равно yн (k) = −100k(−0,1)k .

·······································································

Второй метод (метод вариации параметров) позволяет получить выражение для yн (k) для любой функции F (k), если известно решение yо (k).

Рассмотрение метода вариации параметров начнем с уравнения 1-го по-

a0µ1 (k) y1 (k +1) :

164

Выражение в первых квадратных скобках есть y1 (k +1)∆µ1 (k), а вторые квадратные скобки равны нулю, так как y1 (k ) есть решение однородного уравнения. Получим:

a0∆µ1 (k) y1 (k +1) = F (k), откуда с учетом уравнения (4.12) находим:

Окончательно по формуле (4.31) получим:

n=k F (n −1)

yн (k) = ∑ a0 y1 (n) y1 (k).

······················· Пример 4.6 ······················

Пусть требуется решить уравнение первого порядка

где 1 (k ) определяется по формуле (4.32):

Воспользовавшись результатом примера 4.1, получим:

·······································································

Применив обратный разностный оператор к последним соотношениям, находим 1 (k ), 2 (k ):

Знаменатели здесь отличны от нуля, так как y1 (k), y2 (k) – независимые решения однородного уравнения, а следовательно, выполняется условие (4.19).

Окончательно общее решение будет равно

y(k) = yо (k)+ yн (k) = c1 (−0,2)k + c2 (−0,1)k +100(−0,2)k −100(−0,2)k − 2k

−100k (−1)k = C1 (−0,2)k + C2 (−1)k −100k (−1)k ,

где через C1, C2 обозначены новые постоянные, связанные со старыми соотношениями C1 = c1 + 100, C2 = c2 − 100 .

·······································································

Вобщем случае для уравнения n-го порядка частное решение ищется

вформе

где С(k) – определитель Касорати, а Сni (k) – алгебраические дополнения ni-х элементов.

Из условия (4.19) следует, что С(k) отличен от нуля, если y1(k) yn(k) – линейно независимые решения однородного уравнения.

Выражения (4.35) позволяют получить в явном виде решение yн (k)

по известному yо (k) для произвольной вынуждающей функции F(k), хотя в некоторых случаях трудно представить в замкнутом виде входящую в формулу (4.35) сумму. Метод вариации параметров позволяет находить решение и разностных уравнений с переменными коэффициентами, то есть уравнений, описывающих нестационарные во времени системы.

Завершая этот подпараграф, введем понятие передаточной функции дискретной во времени системы.

167

Идентифицируем оператор Е с некоторой независимой переменной z. Тогда характеристикой системы, описываемой уравнением (4.15), будет отношение полиномов B(z) к A(z) :

Последнее соотношение и определяет формально передаточную функцию дискретной системы (другие названия – «импульсная передаточная функция», «дискретная передаточная функция»). Более строго импульсная передаточная функция будет определена чуть дальше с использованием z-преобразования.

4.3 Методы преобразований

4.3.1 Дискретное преобразование Лапласа

Для исследования непрерывных систем широко применяется преобразование Лапласа. Но непосредственное применение преобразования Лапласа к разностному уравнению и, в частности, к любой решетчатой функции f (kT ) тождественно дает нуль, так как площадь этой функции (или в физической интерпретации – энергия такого сигнала) равна нулю. Чтобы выйти из этого затруднительного положения, придадим функции f (kT ) площадь, равную значению этой функции. Проще всего это сделать, умножив значение функции в точке t = kT на дельта-функцию, принимающую бесконечное значение в этой же точке. Проделав такую операцию для всех k, при которых определена функция f, получим импульсную функцию:

k=−∞

представляющую собой последовательность «идеальных» импульсов с бесконечной амплитудой и бесконечно малой длительностью, причем каждый импульс имеет площадь, равную значению функции f (kT ). Точно такую же им-

пульсную функцию можно получить и из непрерывной функции f (t), применив к ней формулу (4.38):

где через δT (t) обозначена соответствующая сумма δ-функций.

169

формулу (4.43). Подставим вместо s величину s+ jnωs в выражение (4.43), где n

– целое число:

∞

= ∑ f (kT)e−skT = F* (s),

k=0

так как ωs = 2πT , а экспонента в степени −2πmj , где m = kn – целое число, равна единице.

4.3.2 z-преобразование

Определение z-преобразования. Дискретное преобразование Лапласа обладает одним недостатком, который существенно ограничивает его применение для исследования дискретных во времени систем, именно: наличие экспоненты в степени переменной s (это явно заложено в формулах (4.41) и (4.42) и неявно – в формуле (4.43)). То есть дискретное преобразование Лапласа не является дробно-рациональной функцией s, а появление множителя e−sT может привести к большим трудностям в вычислении обратного преобразования Лапласа. Желательно было бы преобразовать F* (s) к такой форме, чтобы это стало дробнорациональным выражением относительно некоторой новой переменной. Выбор такой переменной очевиден:

Imz = eσT sinωT (s = σ + jω).

·····························································

Таким образом, z-преобразование некоторой непрерывной

функции f(t) можно определить как ее дискретное преобразование Лапласа после замены (4.44):