Математические основы теории систем

151

В этих случаях нет необходимости использовать интеграл свёртки и записывать решение в форме уравнения (3.60). Подставив соотношение (3.61) в уравнение (3.58), получим:

Для перехода в область переменной t можно воспользоваться любым методом определения обратного преобразования Лапласа, например теоремой разложения.

Решить уравнение

Применим преобразование Лапласа к дифференциальному уравнению, учитывая, что L{t} =1s2 :

(s2 + 3s + 2)Y (s) = (s + 3) s12 .

Решим полученное алгебраическое уравнение относительно Y (s):

Y (s) = s2 (s2s++33s + 2) .

Перейдём к оригиналу, используя результат примера 3.48:

····································································

··························································

Контрольные вопросы по главе 3

··························································

1.В каких случаях возможна линеаризация нелинейных уравнений?

2.В чем различия и что общего между исходным нелинейным уравнением и линеаризованным?

152

3.Как записывается общее решение однородного линейного дифференциального уравнения в случае некратных и кратных корней характеристического уравнения?

4.Какова форма записи решения для комплексных корней характеристического уравнения?

5.Какие методы существуют для нахождения частного решения уравнения?

6.К каким вынуждающим функциям применим метод неопределенных коэффициентов при решении неоднородных дифференциальных уравнений?

7.В чем состоит необходимое и достаточное условие линейной независимости n решений однородного линейного дифференциального уравнения n-го порядка?

8.К каким функциям не применимо преобразование Фурье?

9.Как получить из преобразования Лапласа преобразование Фурье?

10.Что такое передаточная функция системы?

11.Назовите основные свойства преобразования Лапласа.

12.Что такое абсцисса абсолютной сходимости?

13.Как получить оригинал по изображению?

14.Чем отличается преобразование Карсона – Хевисайда от преобразования Лапласа?

153

4 Операторное описание дискретных по времени систем

Будем полагать в этом разделе, что функции r(t) и y(t), то есть входной и выходной сигналы системы, определены на счетном множестве моментов времени. Другими словами, время течет дискретно, квантами через равные промежутки, обозначаемые в этом разделе буквой Т, то есть t = kT , где k N0 . Для упрощения записи можно выбрать соответствующий масштаб по оси времени и положить Т =1, то есть считать r (k ) и y(k ) как функции, определенные только при целых значениях k.

4.1 Прямой и обратный разностные операторы

4.1.1Оператор сдвига и разностный оператор

Определим оператор сдвига E так:

Оператор, определяемый формулой (4.3), называют еще правым разностным оператором, и он задает так называемую первую прямую разность функции y(k ), в отличие от используемого иногда левого разностного оператора ,

определяемого выражением

y(k) = y(k) − y(k −1)

и задающего первую обратную разность функции y(k ).

Выражение (4.3) с учетом (4.1) можно записать в виде

∆y(k) = (E −1) y(k) ,

Разности второго, третьего и более высокого порядков определяются по очевидным формулам:

154

∆2 y(k) = ∆(∆y(k)) = y(k + 2) − 2y(k +1) + y(k) ,

∆3 y(k ) = ∆(∆2 y(k )) = y(k + 3) − 3y(k + 2) + 3y(k +1) + y(k )

или, в общем случае,

где через n обозначены биномиальные коэффициенты.

r

С учетом уравнений (4.2) и (4.4) из выражения (4.5) получим:

Операторы ∆ и E являются линейными операторами, то есть справедливы следующие соотношения, например, для оператора ∆:

∆cy(k) = c∆y(k),

∆n (y(k) + x(k)) = ∆n y(k) + ∆n x(k) ,

∆n∆m y(k) = ∆m∆n y(k) = ∆m+n y(k).

где с – константа, m и n – целые положительные числа.

Таким образом, оператор ∆ для функций дискретного переменного является аналогом дифференциального оператора p = ddt для непрерывных функций. Чтобы еще раз подчеркнуть эту аналогию, рассмотрим производную от непрерывной функции f (t):

df (t) = lim f (t + T )− f (t) . dt T →0 T

Если функцию f (t) рассматривать только в дискретные моменты времени t = kT (k N0), то оператор сдвига и разностный оператор дадут выражения:

Ef (t) = f (t + T ) и ∆f (t) = f (t + T )− f (t). Тогда получим:

155

Существуют и разностные формулы, аналогичные (но не идентичные) формулам дифференцирования произведения и дроби.

Например:

∆(y(k) x(k)) = ∆y(k)∆x(k) + y(k)∆x(k) + ∆y(k) x(k),

Дифференцирование многочленов аналогично вычислению разностей факториальных многочленов [10]. Произвольный обыкновенный многочлен можно представить суммой факториальных многочленов. Факториальный многочлен m-го порядка определяется как

4.1.2 Обратный разностный оператор

Найдем теперь обратный оператор, аналогичный интегральному оператору p−1 , при этом

где с и K – постоянные интегрирования.

Нижний предел t0 , вообще говоря, произвольный и определяется началом отсчета времени при анализе системы (обычно моментом поступления входного воздействия). Величина t0 формирует часть постоянной интегрирования, именно:

c = K − ∫ f (t)dt .

t=t0

Выражение y(t) = p−1 ( f (t)) является решением уравнения py(t) = f (t). Соответственно, выполняется соотношение pp−1 f (t) = f (t).

По аналогии обратный оператор ∆−1 должен иметь такой вид, чтобы выражение y(k) = ∆−1 f (k) являлось решением уравнения

157

Сумму такого ряда нетрудно найти, если представить выражение под знаком суммы в виде простых дробей:

·······································································

Но не всегда конечные суммы можно свернуть и выразить в замкнутой форме. В некоторых случаях можно пользоваться верхней и нижней оценкой таких сумм.

При использовании факториальных многочленов из уравнения (4.7) можно получить с учетом формулы (4.12):

являются разностные уравнения или, как их еще называют, уравнения в конечных разностях.

4.2 Разностные линейные уравнения динамики

4.2.1 Общие свойства разностных уравнений

Общий вид разностного уравнения, связывающего выход y(k) с входом

Переход от одной формы уравнения к другой очевиден, если иметь в виду соотношения (4.1)–(4.5). Уравнение (4.14) – более близкий аналог уравнению (3.5), а уравнение (4.13) легче решать, и поэтому оно более распространено.

Для линейных систем коэффициенты уравнений (4.13) и (4.14) не зависят от y или r, а для стационарных систем они независимы и от k, то есть являются постоянными величинами.

Применяя оператор сдвига E, уравнение (4.13) перепишем в виде

Поскольку вход r(k) считается известным, правую часть уравнения (4.13) (или (4.15)) можно обозначить как известную вынуждающую функцию F (k ) и записать уравнение (4.13) более компактно:

Разностными уравнениями описываются системы, в которых процессы являются функциями дискретного переменного. Чаще всего эта дискретная переменная – время, но это может быть и положение, пространственные координаты, например в периодических структурах.

Уравнение (4.13), если a0 ≠ 0 и an ≠ 0 , является разностным уравнением n- го порядка. Если an = 0, а a0 ≠ 0 и an−1 ≠ 0 , то получим уравнение n −1-го порядка. То есть в отличие от дифференциального уравнения, порядок разностного уравнения определяется разностью высшей и низшей степеней Е. При использовании оператора ∆, например в уравнении (4.14), установить порядок уравнения непосредственно по его виду невозможно. Уравнение (4.15) называется неоднородным разностным уравнением, в отличие от однородного уравнения

При известных значениях y(0)÷ y(n −1) (начальные условия) y(k ) можно непосредственно найти для всех k ≥ n путем последовательного применения соотношения (4.18).

Таким образом, в отличие от дифференциального уравнения, y(k ) можно найти непосредственно по разностному уравнению для любых значений k. Но обычно не прибегают к итерационной процедуре, описываемой уравнением (4.18), а находят решение в замкнутой форме.

4.2.2 Решение однородных разностных уравнений

Однородное разностное уравнение n-го порядка содержит n линейно независимых решений. Обозначим n решений уравнения (4.17) при a0 ≠ 0 и an ≠ 0

y(k) = euk ,

где u – неизвестная постоянная величина, подлежащая определению.

Но удобнее ввести обозначение z = eu и предполагаемое решение записать в виде

влетворяют условию (4.19) и, следовательно, независимы. Если же, например, корень z1 имеет кратность m, то составляющая общего решения, соответствующая этому корню, равна

yо (k) = c1z1k + c2kz1k + ...+ cmkm−1z1k .

160

······················· Пример 4.2 ······················

Найти общее решение разностного уравнения

y(k + 2) + 0,3y(k +1) + 0,02y(k) = 0. Составим характеристическое уравнение

z2 + 0,3z + 0,02 = 0

и найдем его корни z1 = −0,2; z2 = −0,1. Осталось записать решение в форме (4.23):

yо (k) = c1 (−0,2)k + c2 (−0,1)k .

·······································································

Для любого комплексного корня уравнения (4.22) с действительными коэффициентами должен существовать и комплексно сопряженный корень. Решение разностного уравнения, соответствующее паре комплексно сопряжённых корней:

Таким образом, в выражении (4.24) ρ = 1, ϕ = π3 и решение согласно (4.25) равно y(k) = Acos π3k + Bsin π3k .

·······································································

Особое внимание нужно уделять нулевым корням характеристического уравнения (4.22). Если an = 0, а a0 ≠ 0 и an−1 ≠ 0 в уравнении (4.22), то характе-