Математические основы теории систем

141

(3.40), (3.42) для значительно большего класса функций, заключается в следующем. Если условие (3.41) не выполняется для функции f (t), то оно может

выполняться для функции f1 (t) = f (t)e−ct , где с больше радиуса сходимости функции f (t)1. Практический интерес в теории систем представляют обычно функции, определенные при t ≥ 0. Поэтому ограничимся классом функций, тождественно равных нулю при t < 0. Найдем преобразование Фурье функции f1 (t):

∫ f1(t)e− jωtdt = ∫ f (t)e−(c+ jω)tdt.

Обозначив s = c + jω, получим функцию комплексной переменной s:

Преобразование, определяемое формулой (3.43), называется преобразованием Лапласа2.

Вообще говоря, интеграл (3.43) можно представить как предел:

(a → −0) . В связи с этим можно определять преобразование Лапласа как левостороннее (a → −0) или как правостороннее (a → +0) . Обычно удобнее рассматривать правостороннее преобразование Лапласа, когда a → +0. Именно в таком смысле и будем в дальнейшем говорить о преобразовании Лапласа без дополнительного об этом упоминания. При этом начальные условия для самих функций и ее производных будут, естественно, рассматриваться в точке +0. Нетрудно получить формулу обращения для преобразования Лапласа, которая по изображению восстанавливала бы оригинал. Так как при фиксированном с функцию F (s) = F (c + jω) можно рассматривать как результат преобразования

1Подобные функции называются функциями экспоненциального типа.

2Строго говоря, формула (3.43) задает так называемое одностороннее преобразование Лапласа в отличие от двухстороннего преобразования, у которого нижний предел в интеграле (3.43) равен минус бесконечности. Для функций, тождественно равных нулю при отрицательном времени, одностороннее и двухстороннее преобразования совпадают.

142

Интегрирование в (3.44) ведется снизу вверх вдоль прямой, параллельной мнимой оси и отстоящей от нее на величину с. Величина с выбирается правее всех полюсов функции F (s). Минимальная величина c, удовлетворяющая этому условию, называется абсциссой абсолютной сходимости. Формула (3.44) задает обратное преобразование Лапласа.

Символическая запись преобразования Лапласа часто имеет вид F (s) = L{ f (t)}, а обратного преобразования – f (t) = L−1 {F (s)}s.

Интеграл (3.44) можно вычислить, воспользовавшись, например, теоремой о вычетах [11], которая гласит: интеграл по замкнутому контуру, не имеющему особенностей подынтегральной функции, равен сумме вычетов подынтегральной функции в полюсах, охватываемых этим контуром, помноженной на коэффициент 2πj , то есть

i

тегрирование ведется против часовой стрелки.

Чтобы воспользоваться сформулированной теоремой для вычисления интеграла (3.44), нужно замкнуть контур интегрирования дугой бесконечно большого размера через левую полуплоскость.

Если абсцисса абсолютной сходимости равна нулю, то s = jω и формулы (3.43) и (3.44) определяют так называемое одностороннее преобразование

144

Свойства преобразования Лапласа. Одно из основных свойств преобразования Лапласа заключается в том, что изображение производной от функции f (t) очень просто связано с изображением самой функции. Действительно, найдем изображение по Лапласу от производной df dt , интегрируя по частям:

где f (0) = lim f (t).

t→0

Пользуясь формулой (3.45), можно найти изображение и для n-й производной:

Если начальные условия для функции и всех ее производных до (n −1)-й включительно нулевые, то выражение (3.46) упрощается:

L{ f (n) (t)} = sn L{ f (t)}.

Двойственным к свойству, описываемому уравнением (3.46), является свойство дифференцирования преобразования Лапласа (теорема об умножении на t). Для целого положительного n имеем:

Найти преобразование Лапласа от функции f (t) = t .

Поскольку речь идет об одностороннем преобразовании Лапласа, исходную функцию можно представить как f (t) = t 1(t), и тогда по формуле (3.47) для n =1 и согласно результату примера 3.10 получим:

L{t} = (−1)d (1s) = 12 .

ds s

····································································

145

······················ Пример 3.13 ······················

Найти преобразование Лапласа от функции f (t) = t e−at . Применяя формулу (3.47) для n =1 и пользуясь результатом примера 3.11, получим:

·······································································

Следующие два очевидных свойства позволяют считать оператор Лапласа линейным оператором: изображение суммы равно сумме изображений:

L{ f1(t) + f2 (t)} = L{ f1(t)}+ L{ f2 (t)},

возможность выносить постоянный множитель за знак оператора Лапласа:

L{af (t)} = aL{ f (t)}.

Для нахождения прямого и обратного преобразований Лапласа полезны еще ряд свойств, которые можно сформулировать в виде теорем.

Теорема запаздывания задается формулой

L{ f (t − a)} = e−sa L{ f (t)}.

Теорема о конечном значении. Если существует lim f (t), то

t→∞

Теорема о начальном значении. Начальное значение функции равно пределу при s → ∞ от ее изображения, умноженного на s:

f (0) = limsL{ f (t)}.

s→∞

Теорема дифференцирования. Изображение производной от функции по параметру равно производной от изображения по этому же параметру:

······················ Пример 3.14 ······················

Найти преобразование Лапласа от функции f (t) = te−at .

Замечаем, что исходная функция – это производная от экспоненты −e−at по параметру a:

147

и

τ1,τ2 – абсциссы сходимости для функций f1(t) и f2(t) соответственно.

······················ Пример 3.16 ······················

где линия интегрирования, согласно условиям (3.51) и (3.52), лежит правее полюса функции в квадратных скобках подынтегрального выражения.

Стандартная процедура вычисления такого интеграла состоит в применении теоремы Коши о вычетах. Для этого замыкаем контур интегрирования дугой бесконечного радиуса через левую полуплоскость против часовой стрелки. Тогда в контур интегрирования попадает единственный полюс функции 1s + a − ξ , равный ξ = s + a, а искомое преобразование равно вычету подынтегральной функции в этом полюсе:

что совпадает с результатами предыдущих примеров.

·······································································

Обратное преобразование Лапласа может быть найдено по таблицам преобразований, которые содержатся в многочисленной справочной литературе.

Определение оригинала часто облегчается в тех случаях, когда изображение по Лапласу представляется в виде отношения двух многочленов с вещественными коэффициентами, при этом степень числителя меньше степени знаменателя. В этом случае можно воспользоваться приёмом, иногда называемым теоремой разложения. Разберем этот метод.

Пусть полином знаменателя в изображении Лапласа имеет в общем случае корень s1 кратности r и различные корни sr+1,sr+2 ,...,sn , т. е.

148

Тогда выражение в правой части можно разложить на простые дроби:

Обратное преобразование Лапласа от каждого слагаемого при таком разложении определяется как экспонента в соответствующей степени либо как подобная же экспонента, помноженная на t в целой положительной степени по теореме об умножении на t.

······················ Пример 3.17 ······················

Найти обратное преобразование Лапласа от функции

F (s) = s2 (s2s++33s + 2) .

Представим знаменатель в виде сомножителей и разложим выражение на простые дроби:

149

Подставив найденные коэффициенты в выражение (3.53), получим:

Проверить правильность разложения можно, приведя правую часть формулы (3.54) к общему знаменателю и сравнивая полученное выражение с исходной функцией.

Осталось перейти к оригиналам каждого слагаемого в правой части выражения (3.54):

Умножение на единичную ступенчатую функцию в последнем выражении означает, что искомая функция равна нулю при отрицательных моментах времени.

·······································································

3.3.3 Преобразование Лапласа и дифференциальные уравнения

Свойства преобразования Лапласа, описанные в предыдущем подпараграфе, позволяют успешно применять преобразование Лапласа для решения линейных стационарных (а в некоторых случаях и нестационарных) дифференциальных уравнений. Возьмём дифференциальное уравнение общего вида (3.5)

a0 y(n) + a1 y(n−1) + ...+ an y = b0r(m) + ...+ bmr

и применим к правой и левой частям этого уравнения преобразование Лапласа. В результате получим:

причём

m0 = a0 y(0),

m1 = a0 yɺ(0) + a1y(0),

... (3.57) mn−2 = a0 y(n−2)(0) + a1y(n−3)(0) + ...+ an−2 y(0),

mn−1 = a0 y(n−1)(0) + a1y(n−2)(0) + ...+ an−1y(0).

150

Разрешая уравнение (3.55) относительно Y (s) , получим:

При нулевых начальных условиях второе слагаемое в правой части формулы (3.58), как легко видно из (3.56) и (3.57), равно нулю. Поэтому строгое определение передаточной функции линейной системы, учитывая формулу (3.58), можно сформулировать так: передаточная функция системы W (s) есть

ванию Лапласа от передаточной функции, а wн (t) = L−1 {Wн (s)}.

Таким образом, мы получим общее решение уравнения (3.5), содержащее n произвольных постоянных, роль которых выполняют значения искомой функции y(0) и её n −1 производных в начальный момент времени. Конкрет-

ная форма решения будет зависеть от того, каковы будут корни характеристического уравнения (3.16):

A(s) = 0 .

Получение решения y(t) упрощается во многих частных, но широко распространённых в теории систем случаях, именно тогда, когда изображение по Лапласу входного сигнала R(s) представляет дробно-рациональную функцию:

где N (s) и P(s) – некоторые многочлены s.