Математические основы теории систем

121

из G1 заменой команд в V10z и V11z на инверсные.

В графе G (пункт а) получаются при этом две единичные, а в графе G ' (пункт б) две нулевые вершины. В обоих случаях их надо отождествлять.

······················· Пример 2.23 ······················

Рис. 2.31 – Граф бинарной программы

·······································································

Рассмотренный метод не гарантирует оптимальность получаемых программ в смысле минимума времени или минимума числа команд. Существуют и другие методы.

Показатели качества бинарных программ характеризуются следующими параметрами: Lб (n) – функция Шеннона для числа команд бинарных программ,

асимптотически равна 2n , причем существуют методы синтеза, для которых n

То есть сложность бинарных программ по числу команд асимптотически равна сложности операторных программ, но в отличие от операторных программ бинарные имеют два преимущества – это отсутствие промежуточной па-

122

мяти и более высокое быстродействие, которое можно охарактеризовать соотношением:

(log2n +1) ≤ tmax ( f ) ≤ n.

Если в программе использовать и операторы, и условные переходы, то число команд, асимптотически равное для операторных и бинарных про-

грамм 2n , можно понизить вдвое. n

·····························································

Контрольные вопросы по главе 2

·····························································

1.Назовите отличия алфавитного отображения от автоматного.

2.Дайте понятие конечного автомата.

3.Перечислите способы задания автоматов.

4.Назовите виды автоматов.

5.Как интерпретировать автомат второго рода автоматом первого рода?

6.Дайте определение асинхронного автомата.

7.Дайте определение изоморфизма и эквивалентности автоматов.

8.Как происходит задание функций перехода и выхода для частичных автоматов?

9.Определите понятие покрытия и совместимости состояний автоматов.

10.Назовите проблемы минимизации частичных автоматов.

11.Перечислите регулярные операции над событиями.

12.Дайте понятие регулярного события.

13.В чем заключается связь регулярных событий и автоматов?

14.Что такое источник?

15.Перечислите правила построения источника по регулярному событию.

16.Перечислите основные этапы алгоритма синтеза автомата на абстрактном уровне.

17.Раскройте понятие индексного остатка источника.

18.Назовите основные этапы графического алгоритма анализа автомата на абстрактном уровне.

19.Перечислите операции над автоматными отображениями.

20.Что такое комбинационный автомат?

21.Что необходимо для структурного синтеза автомата?

22.Что входит в состав элементного базиса?

123

23.Определите понятие правильной синхронной сети.

24.Назовите проблемы кодирования состояний в асинхронных автоматах.

25.Какая из программ, предназначенных для реализации комбинационного автомата, лучше – бинарная или операторная?

124

3 Системы с непрерывными во времени переменными

В этой главе полагаем, что функции r(t) и y(t), интерпретируемые соответственно как входной и выходной сигналы некоторой системы, определены на континуальном множестве моментов времени t.

3.1 Дифференциальные уравнения динамики систем

3.1.1 Описание систем дифференциальными уравнениями

Связь между входным сигналом некоторой динамической системы, описываемым функцией r(t), и ее выходным сигналом y(t) может задаваться нелинейным дифференциальным уравнением произвольного порядка n:

где F (z1, z2 ,..., zn+m+2 ) – функция n+ m+ 2 аргументов. Задав вид функции r(t)

и n начальных условий y (t0 ) = y0 , yɺ(t0 ) = yɺ0 ,..., y(n−1) (t0 ) = y0(n−1) , можно в принципе решить это уравнение и найти выход (реакцию) y(t) данной системы на входной сигнал r(t).

Уравнение (3.1) является уравнением самого общего вида и описывает поведение системы во всех режимах. Один из частных, но весьма распространенных случаев таких режимов – это статический режим, то есть такой режим, при котором ни входные, ни выходные сигналы системы не меняются во времени. Конечно, это определенная идеализация, которая получается из уравнения (3.1) формальной подстановкой вместо всех производных по времени нулей:

y(n) = y(n−1) = ... = yɺ = r(m) = r(m−1) = ... = rɺ = 0 .

Тогда уравнение статики примет вид

F (0,0,..., yст ,0,0,...,rст ) = 0, (3.2) из которого можно установить связь между статическим значением входного сигнала rcт и статическим значением выходного сигнала ycт

Это уравнение описывает так называемую статическую характеристику системы.

125

Решение уравнения (3.1) для произвольной функции F наталкивается на непреодолимые трудности и возможно только в некоторых частных случаях. Одним из таких частных, но весьма важных и распространенных случаев является случай, когда функция F является линейной функцией по своим аргументам, то есть когда уравнение, связывающее входной сигнал r(t) с выходным y(t), является линейным дифференциальным уравнением. Упомянутое уравнение принято записывать так, чтобы выходная величина и её производные располагались бы в левой части, а входная величина и её производные – в правой части уравнения:

Коэффициенты этого уравнения ai ,bk в общем случае могут зависеть от времени и тогда уравнение (3.4) описывает нестационарную систему. Если такой зависимости от времени нет (или она очень слабая), то приходим к линейному дифференциальному уравнению с постоянными коэффициентами:

3.1.2Линеаризация

Внекоторых случаях удается даже нелинейное уравнение типа (3.1) свести к линейному уравнению типа (3.4) или (3.5). Такая замена является приближенной и называется линеаризацией. Из многочисленных видов линеаризации рассмотрим самый простой – разложение в ряд Тейлора. Обычно такое разложение осуществляют в одном или нескольких интересующих нас режимах. Рассмотрим, как это происходит, например, в статическом режиме. Пусть для некоторого установившегося значения входа rcт получено уравнение статики (3.2). Разложим левую часть уравнения (3.1) в ряд Тейлора (предполагая, что такое разложение возможно) около точки установившегося режима и ограничим этот ряд линейными приращениями переменных:

ycт и rcт и нулевых значениях производных, соответствующих установившемуся режиму.

гаемые с входным воздействием и его производными в правую часть, получим:

Уравнение (3.7) по форме точно такое же, как и (3.5), но записано относительно соответствующих отклонений ∆y = y − yст ,∆r = r − rст .

Полученное уравнение (3.7) описывает ту же самую систему, что и уравнение (3.1), но имеет следующие отличия.

Во-первых, уравнение (3.7) приближенное, причем это приближение тем точнее, чем меньше отклонения переменных от установившихся значений.

Во-вторых, поскольку при выводе уравнения (3.7) использовалось разложение в ряд Тейлора, такая операция применима только к непрерывнодифференцируемым нелинейностям. Такие нелинейности называются линеаризуемыми, а нелинейные функции, не удовлетворяющие этому условию, называются существенно нелинейными.

В-третьих, уравнение (3.7) составлено относительно отклонений, а не самих сигналов. Такого рода уравнения называются уравнениями в отклонениях или в вариациях.

И, наконец, в-четвертых (и это основное), уравнение (3.7) линейное. Поскольку форма уравнений (3.7) и (3.5) совпадает, в дальнейшем можно

использовать любое из них, например (3.5), подразумевая, что в качестве переменных могут быть и соответствующие отклонения.

Требуется линеаризовать уравнение (3.8) в точке статического режима.

128

Уравнение же (3.10) называют соответственно неоднородным дифференциальным уравнением.

Уравнение (3.13) имеет ровно n линейно независимых решений. Необходимое и достаточное условие линейной независимости произвольных n решений этого уравнения состоит в отличие от нуля определителя Вронского или вронскиана:

где y1, y2 ,..., yn – решения уравнения (3.13).

Раз y1, y2 ,..., yn – решения линейного уравнения (3.13), то решением того же уравнения будет являться также и любая линейная комбинация отдельных решений yk . Таким образом, общее решение уравнения (3.13) записывается в виде:

k=1

где ck – произвольные постоянные, определяемые обычно из начальных условий.

Общее решение неоднородного уравнения (3.10) состоит из суммы yо (t) общего решения однородного уравнения (3.13) и любого произвольного (частного) решения yн (t), удовлетворяющего уравнению (3.10):

y(t) = yо (t)+ yн (t).

Так как yн (t) не содержит произвольных постоянных, то в решении y(t), также как и в yо (t), содержится n постоянных. Для их нахождения следует знать начальные или граничные условия.

3.2 Классические методы решение дифференциальных уравнений

с постоянными коэффициентами

Решение уравнения (3.10) начнем с решения соответствующего ему однородного уравнения (3.13).

129

3.2.1 Однородные уравнения

Каждое решение уравнения (3.13) имеет вид y(t) = est , где s – подлежащая определению постоянная величина. Подставив предполагаемое решение

где s, как уже было упомянуто, некоторая постоянная алгебраическая величина. Выражение (3.16) называется характеристическим уравнением и непосредственно может быть получено из уравнения (3.13). Поскольку в левой части этого уравнения стоит полином n-го порядка с постоянными действительными коэффициентами (этот полином называется характеристическим), то оно содержит ровно n корней. Обозначим их через s1,s2,…sn . Тогда соответствую-

щие решения уравнения (3.13) будут y1 = es1t , y2 = es2t ,..., yn = esnt . Если эти n решений линейно независимы (а это согласно (3.14) будет, если все si различны), то общее решение однородного дифференциального уравнения имеет вид

·······································································

130

Если s1 = s2 , то линейно независимы решения y1 = es1t и y2 = tes1t . Если корень имеет кратность r (т. е. s1 = s2 = ... = sr ), то линейно независимыми решениями, соответствующими этому корню, будут

······················· Пример 3.3 ······················

Найти решение однородного дифференциального уравнения

Характеристическое уравнение, соответствующее дифференциальному уравнению (3.21), имеет кратный корень s1 = s2 = −1, поэтому общее решение составляем по формуле (3.19):

yо (t) = c1e−t + c2te−t .

·······································································

Для комплексно сопряженных корней s1 = α + jβ, s2 = α − jβ удобнее решения (3.17) представить в иной форме (воспользовавшись формулами Эйлера):

где А, В, С и φ – действительные числа.

В последнем выражении связи произвольных постоянных определяются обычными формулами приведения тригонометрических функций C = A2 + B2 ,

ϕ = −arctan B .

A

······················· Пример 3.4 ······················

Найти решение однородного дифференциального уравнения