Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Вычислительная математика. Часть 2

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.02.2023

Размер:

2.02 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 138 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

k	a0k	k	k	k
k		a1	a2	a3

0		3	-1	-1

1		11	7	1

2		107	27	1

3		11395	515	1

4		129844995	242435	1

Прекращаем процесс квадрирования при выполнении усло-

вия ai(k 1) (ai(k ) )2 , i 0,3.

k 4 , m 2k 24 16

Так как все коэффициенты стремятся к квадратам соответ-

ствующих коэффициентов, полученных на предыдущем шаге процесса квадрирования, то все корни действительные и раз-

личные.

Подставив найденные значения в формулу (2.25) найдем модули корней уравнения:

	x		x		x
	1		2		3

3,214		0,67522		0,46075

Для определения знака значения корней уравнения подста-

вим их в исходное уравнение:

P(x) 1 x3 3x 2 1 x 1 0 .

В результате получим следующую таблицу:

	x		x			x
	1		2			3
	-3,214		0,67522			-0,46075
P(x)	0		0			0

2.3. Решение систем нелинейных уравнений
Пусть требуется найти решение			x , x ,..., x			системы нели-
			1 2	n
нейных уравнений:
	f1 (x1, x2 , ...,		xn ) 0,
	f2 (x1, x2 , ...,		xn ) 0,			(2.31)
		...				(2.31)
		...
	fn (x1, x2 , ...,		xn ) 0.
Введем следующие обозначения:
x (x ,..., x ),		f (x) ( f (x),..., f			n	(x))T .
1	n		1		n
Тогда система (2.31) запишется в виде:
		f (х) 0 ,				(2.32)

Для решения систем нелинейных уравнений используются методы простой итерации и Ньютона, которые являются естественным распространением этих методов для решения уравнений на многомерный случай.

Для метода простой итерации систему (2.32) необходимо привести к канонической форме

		x (x) ,	(2.33)
где (x) ( (x),...,	n	(x))T . Итерационное правило	простой
1	n
итерации записывается в виде:
x(k 1) (x(k ) ), k 0,1,... .			(2.34)

Для проверки сходимости метода простых итераций используются следующие теоремы.

Теорема 2.8. Пусть выполняются условия:

- функции 1 (x1,..., xn ) , i 1, n определены и непрерывно дифференцируемы в области

max | x x(0) | ,

(2.35)

где i 1, n ;

- удовлетворяют в этой области неравенствам

max max

q 1 , i 1, n ;

(2.36)

j 1

x j

- для начального приближения x(0) выполняется усло-

вие:

| x(0)

(x(0)

,..., x(0) ) | m , i 1, n ;

(2.37)

- для чисел , q и m соблюдается неравенство:

(2.38)

1 q

Тогда система уравнений в области (2.35) имеет решение x* (x1 ,..., xn ) , к которому сходится итерационная последова-

тельность приближений x(k ) , при этом скорость сходимости неравенством:

			m
max	x* x(k )			qk , i 1, n .	(2.39)

i	i	i	1 q

Замечание 2.5. Если задана требуемая точность решения системы нелинейных уравнений, то количество необходимых итераций может быть найдено в силу неравенства (2.39) по

формуле
		ln	(1 q)
	n				.
				m

				ln q
Пример 2.4. Требуется для системы двух уравнений
	f1 (x1, x2 ) 0 ,
	f2 (x1, x2 ) 0 ,
где f1 (x1, x2 ) sin x1 4x2	2 и			f2 (x1, x2 ) cos(x2		1) 3x1 1,
подобрать каноническую	форму			и для заданных		начальных

приближений проверить условия сходимости метода простой итерации.

Каноническую форму представим в виде

x1 1 (x1, x2 ), x2 2 (x1 , x2 ),

где

1 (x2 ) 1 cos(x2 1) , 3

2 (x1 ) 2 sin(x1 ) . 4

Начальное приближение (x1(0),x2 (0)) примем равным (1, 1). Для проверки условия сходимости метода простых итераций воспользуемся теоремой 2.8. Функции 1 (x2 ) и 2 (x1 ) определены и непрерывно дифференцируемы в области:

						max \| x x(0) \|
						max \| x x(0) \|							,	i 1, n ,
							i		i			i
							i
при значении			2 .
В этой области для функций 1 (x2 )															и 2 (x1 ) справедливы
неравенства вида (2.36):
	(x				)		(x				)	max	1	sin(1 x2 )						1
	(x				)		(x				)		1							1
max	1			2			1			2												,
max	x1						x2						3							3		,
x2												x2	3							3
x2
			(x )						(x )			max		1					1
max		2		1				2		1						cos(x1 )					.
max	x1						x2							4		cos(x1 )			4		.
x1												x1		4					4
x1
Для того чтобы неравенства (2.36) выполнялись всегда до-
статочно выбрать в качестве параметра														q			1	1 . Легко можно
статочно выбрать в качестве параметра														q				1 . Легко можно
																3
убедиться,	что для начального приближения (x1(0),x2																				(0)) (1,1)

условие (2.37) выполняется при m 1. Для чисел , q и m со-

блюдается неравенство (2.38):
1		1,5	2 .

1	13

Тогда согласно теореме 2.8, система в области x1 [-1,3] и

x2 [-1,3] имеет решение x* (x1 , x2 ) , к которому сходится последовательность приближений (2.34).

Итерационное правило метода Ньютона имеет вид:

x	(k 1)	x	(k )		(k ) 1	f (x	(k )	), k 0,1,..., (2.40)
x		x		[ f (x	)]	f (x		), k 0,1,..., (2.40)

где [ f (x(k ) )] 1 обратная матрица к матрице Якоби вида:

	f1				f1		...

		x			x
		x			x
		f	1		f	2
			2			2	...
			2			2
		x			x
f (x)		x			x
		...1		...2 ...
		f	n		f	n	...
			n			n
		x			x
		x			x
			1			2

f1xf2n

x . (2.41)

...n

fnxn

Для реализации этих методов необходимо отделить корни и

задать начальное приближение x(0) . Проверка сходимости метода Ньютона в общем случае достаточно сложна.

2.4. Контрольные вопросы

1. Укажите условия,	при выполнении которых корень
x уравнения f (x) 0	считается отделённым на отрезке

[a b]:

1)если на этом отрезке функция f (x) выпуклая;

2)если на этом отрезке функция не имеет других корней;

3)если на этом отрезке функция f (x) монотонная и на

концах отрезка принимает значения с различными знаками;

4) если на этом отрезке функция f (x) монотонная и на концах отрезка принимает значения с одинаковыми знаками.

Корень нелинейного уравнения вида

x (x)

или

f (x) x (x) 0

вычисляется методом Ньютона, укажи-

те правильную запись этого метода:

xn 1 (xn ) ;

xn 1 xn

f (xn )

;

f (xn )

n 1

f (xn )(xn xn 1 )

f (xn ) f (xn 1 )

3. Корень нелинейного уравнения вида

x (x)

или

f (x) x (x) 0

вычисляется методом простой итера-

ции, укажите правильную запись этого метода:

1)	xn 1 (xn ) ;
2)	xn 1		xn			f (xn )	;

						f (xn )
3)	x	n 1	x	n	f (xn )(xn xn 1 )			.

						f (xn ) f (xn 1 )

4. Укажите каноническую форму, используемую в методе простой итерации, если уравнение представлено в виде

f(x) 0 :

1)x (x) , где (x) x f (x) ;

2)x (x) , где (x) x2 f (x) ;

3)x2 (x) , где (x) x ( f (x)) .

5. Укажите как определяется правило остановки итерационного процесса в методе простой итерации:

1)	x	n	x	n 1			q	;

							q
					1

2)	x	n	x	n 1		q 1		;


							q

3) xn xn 1 1 q . q

6. Метод Лобачевского определяет корни уравнения

P(x) a0 xn a1xп 1 ... aп 0 :

1)только вещественные корни;

2)только один корень вещественный или комплексный;

3)сразу все n корней.

2.5.Задания к главе 2

Задание 2.1. Отделить корни уравнения f (x) 0 графи-

чески и уточнить. Один из корней уравнения вычислить с помощью метода простой итерации с точность до 0,00005 .

Проверить условие сходимости (теорема 2.2). Варианты исходных данных приведены в п.5.2.

Задание 2.2. Отделить корни уравнения f (x) 0 графи-

чески и уточнить. Один из корней уравнения вычислить с помощью метода Ньютона с точность до 0,00005 . Проверить

достаточное условие сходимости (теорема 2.7). Варианты исход-

ных данных приведены в п.5.2.

Задание 2.3. С помощью метода Лобачевского определить корни уравнения с точностью 0,00005 . Варианты исходных данных приведены в п.5.2.

3. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ МАТРИЧНОЙ АЛГЕБРЫ

В матричной алгебре рассматриваются четыре класса основных задач: решение систем линейных алгебраических уравнений, вычисление определителей, нахождение обратных матриц, определение собственных значений и собственных векторов матриц. Все эти задачи имеют важное прикладное значение при моделировании в различных областях науки и техники. Кроме того, задачи матричной алгебры являются вспомогательными при реализации многих алгоритмов вычислительной математики, математической физики, обработки результатов экспериментальных исследований.

3.1. Некоторые понятия матричной алгебры

Пусть x (x1, , xn )T Rn – вектор n -мерного простран-

ства, A (aij ) Rn n – матрица порядка n .

Одним из важных понятий матричной алгебры является понятие нормы векторов и матриц.

Нормой вектора x называется действительное число, обозначаемое x , удовлетворяющее условиям:

1) x 0 , если x 0 и 0 0 ;

2)c x c x , при любом численном множителе c ;

3) x y x y .

Из такого определения нормы вектора непосредственно следует, что x y x y .

Говорят, что последовательность векторов x(k ) сходится к вектору x по норме, если x x(k ) 0 при k .

Вводить норму вектора можно различными способами, но при этом должны выполняться условия 1) – 3) определения нормы.

Наиболее часто используются следующие определения нормы вектора.

1. Первая (кубическая) норма:

max

(3.1)

Множество векторов вещественного пространства, для ко-

торых

1 заполняет единичный куб.

2. Вторая (октаэдрическая) норма:

(3.2)

i 0

Множество векторов вещественного пространства, для ко-

торых

II 1 , заполняет

n -мерный аналог октаэдра (восьми-

угольника).

3. Третья (сферическая или евклидова) норма:

2 .

III

(x, x)

(3.3)

i 0

Это длина вектора. Совокупность векторов, для которых

III 1, заполняет шар единичного радиуса.

Скалярное

произведение

векторов

x (x ,

, x )T

y ( y ,

, y )T

вводится по формуле:

(x, y) xi yi ,

i 1

где yi – компоненты вектора, комплексно сопряженного вектору y .

Норма вектора может быть определена многими способами в зависимости от условий задачи и целей исследования, но при всяком определении она должна удовлетворять трем условиям, которые являются аксиомами общей или абстрактной нормы.

Нормой матрицы A называют число A , удовлетворяющее условиям:

1) A 0 , если A 0 и 0 0 ;

2)c A c A для всякого числового множителя с ;

3) A B A B ;

4) A B A B .

Для нормы матрицы верно неравенство:

A B A B .

В большинстве случаев приходится одновременно рассматривать матрицы и векторы, потому их нормы рационально вводить так, чтобы они были в какой-то мере согласованными. Обычно говорят, что норма матрицы A согласована с нормой вектора, если для всякого вектора x размерности n выполняет-

ся неравенство:
Ax A x .	(3.4)

Среди согласованных норм матрицы часто (особенно при получении оценок, чтобы сделать их точными) выбирают наименьшую. Так как случай нулевого вектора интереса не име-

ет, то неравенство (7.6.4) можно записать в виде Ay A , где y xx , т.е. y 1.