Вычислительная математика. Часть 2

e x f (x)dx

0

14 [(2 2) f (2 2) (2 2) f (2 2)] 16 f (4) ( ) .

V. Интегралы вида e x2 f (x)dx

На интервале ( , ) свойством ортогональности с весом

p(x) e x2 обладают полиномы Эрмита

Hn (x) ( 1)n ex2 d n e x2 : dxn

H0 (x) 1;

H1(x) 2x; H2 (x) 4x2 2;

H3(x) 8x3 12x;

…

Hn 1(x) 2xHn (x) 2nHn 1(x).

Вквадратурной формуле наивысшей степени точности

узлы xk являются корнями многочлена Эрмита Hn (x) , коэффициенты Ak вычисляются по формуле

2n 1n!

Ak H (x ) 2 ,

n k

а погрешность Rn ( f ) определяется соотношением

41

Для корней многочлена Эрмита не существует общей формулы, поэтому они либо определяются из решения соответствующего алгебраического уравнения, либо из таблиц.

Пример. 4.7. При n 2 квадратурная формула Эрмита имеет вид

1.6. Приближенное вычисление несобственных интегралов

b

Интеграл f (x)dx называется собственным, если:

a

-промежуток интегрирования [a,b] конечен;

-подынтегральная функция f (x) непрерывна на [a,b] .

Впротивном случае интеграл называется несобственным. Пусть промежуток интегрирования бесконечен. Достаточно рассмотреть вычисление несобственного интеграла вида

42

Если предел (1.31) не существует, то интеграл (1.30) называется расходящимся и считается лишенным смысла. Поэтому прежде чем приступить к вычислению несобственного интеграла, необходимо предварительно убедиться, что этот интеграл сходится.

Чтобы вычислить сходящийся несобственный интеграл (1.30) с заданной точностью , представляют его в виде

и поставленная задача решена.

Предположим, что промежуток интегрирования [a,b] конечен и подынтегральная функция f (x) имеет конечное число точек разрыва на [a,b] . Так как всегда можно промежуток ин-

тегрирования разбить на частичные промежутки с единственной точкой разрыва подынтегральной функции, то достаточно рассмотреть случай, когда на [a,b] имеется единственная точка

разрыва функции f (x) .

Пусть в точке c функция f (x) имеет разрыв первого рода, т.е. существуют конечные односторонние пределы

43

делению полагают

и в случае существования этого предела интеграл называется сходящимся, в противном случае – расходящимся. Аналогично определяется сходимость несобственного интеграла, если точка разрыва c функции f (x) совпадает с одним из концов проме-

жутка интегрирования [a,b] .

Для приближенного вычисления с заданной точностью сходящегося несобственного интеграла (1.32) задают положительные числа 1, 2 столь малыми, чтобы имело место неравенство

44

Затем по известным квадратурным формулам приближенно вычисляют собственные интегралы

и, если S1, S2 − приближенные значения этих интегралов, вы-

численные с точностью 4 , то полагают

b

f (x)dx S1 S2

a

с точностью .

1.7. Приближенное вычисление неопределенных интегралов

Рассмотрим задачу вычисления неопределенного интеграла

в точках x0, x1,..., xn . В общем случае, когда узлы неравноот-

стоящие, эту задачу можно решить, вычислив определенные интегралы

i 1, n , для решения поставленной задачи существуют простые рекуррентные формулы вида

45

при этом из (1.33) следует, что y0 0 .

Ошибку вычисления интеграла (1.36) можно оценить, вычислив интеграл

1

h R(x0 th)dt ,

0

где R(x0 th) – остаточный член 1-ой формулы Ньютона. Подставив в (1.36) формулу (1.34), получим расчетную формулу

1

y2 y1 h f (x1 th)dt

0

46

Выполнив несколько шагов (обычно 2 или 3), можно для аппроксимации подынтегральной функции в (1.34) перейти к

Подставив в (1.39) формулу (1.34), получим расчетную формулу

Ошибку вычисления по формуле (1.40) можно оценить, вычислив интеграл

1

h R(xk th)dt ,

0

где R(xk th) – остаточный член формулы Бесселя.

Когда k начнет приближаться к значениям, близким к n , необходимо, при аппроксимации подынтегральной функции, перейти ко 2 -ой формуле Ньютона.

Таким образом, рассмотренный метод вычисления неопределенного интеграла при равноотстоящих узлах, сводится к простым рекуррентным формулам.

47

1.8.Контрольные вопросы

1.Какова алгебраическая точность общей интерполяционной квадратурной формулы, если число квадратурных узлов равно n :

1) n ;

2)n 1;

3)n 1.

2. Чему равен порядок алгебраической точности квадратурной формулы Ньютона-Котеса, если число квадратурных узлов n – четное:

1)n ;

2)n 1;

3)n 2 ;

4)n 1.

3. Чему равен порядок алгебраической точности квадратурной формулы Ньютона-Котеса, если число квадратурных узлов n – нечетное:

1)n ;

2)n 1;

3)n 2 ;

4)n 1.

4. Укажите квадратурную формулу трапеций для вычисления определенного интеграла:

5. Укажите квадратурную формулу левых прямоугольников для вычисления определенного интеграла:

48

6. Укажите квадратурную формулу Симпсона (парабол) для вычисления определенного интеграла:

7. Укажите квадратурную формулу средних прямоугольников для вычисления определенного интеграла:

8.Чему равен порядок алгебраической точности средних прямоугольников:

1) 2;

2) 0;

3) 1;

4) 3.

9.Чему равен порядок алгебраической точности левых прямоугольников:

1) 2;

2) 0;

3) 1;

49

4) 3.

10.Чему равен порядок алгебраической точности формулы трапеций:

1) 2;

2) 0;

3) 1;

4) 3.

11.Чему равен порядок алгебраической точности формулы Симпсона:

1) 2;

2) 4;

3) 1;

4) 3.

12.Чему равен порядок алгебраической точности формулы «трех восьмых»:

1) 2;

2) 4;

3) 1;

4) 3.

13.Чему равен порядок алгебраической точности квадратурной формулы наивысшая алгебраическая степень точности, если число квадратурных узлов равно n :

1) n 2 ;

2) 2n 1 ;

3) 2n 2 ;

4) 2n 1.

14.Как определяются коэффициенты и узлы в квадратурной формуле наивысшей алгебраической степени точности:

1) корни многочлена Чебышева;

2) корни ортогонального многочлена;

3) корни ортогонального многочлена с весом p(x) .

b

15. Как вычислить интеграл I f (x)dx с помощью

a

квадратурного правила наивысшей алгебраической степени точности:

50