Вычислительная математика. Часть 2

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

dx Ai (xi ) ,

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.02.2023

Размер:

2.02 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 134 5 6 7 8 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

точно. Положим f (x) 2 (x) . Это положительный многочлен степени 2n . Для него

	b
	p(x) f (x)dx 0 ,
	a
а сумма
n	n
Ak f (xk ) Ak 2 (xk ) 0
k 1	k 1

так как (xk ) 0, k 1, n . Отсюда следует, что при знакопостоянной весовой функции p(x) степень точности 2n 1 действительно является наивысшей возможной.

Теорема 4.6. Если p(x) 0 и квадратурное правило (1.25) верно для всех многочленов степени 2n 2 , то все коэффициенты Ak в нем положительны.

Доказательство. Положим

f (x) (x) 2 .

x xi

Это есть многочлен степени 2n 2 и для него выполняется равенство

b	n
p(x) f (x)dx Ak f (xk ) .
a	k 1

Но

f (xk

0, k i,

)	2	, k i

(x )
	k

и, следовательно,

b	(x)			2
	(x)

Ai p(x)			dx 0 .
Ai p(x)			dx 0 .
a	(x xi ) (xi )
Теорема доказана.

Для вычисления коэффициентов		Ak , k 1, n, ранее было

получено выражение (1.27). Если систему многочленов, ортогональных на [a,b] по весу p(x) , записать в виде

Pn (x) an xn bn xn 1 ..., n 0,1,... ,

то путем некоторых преобразований можно получить более удобное для вычислений выражение

A	an	1	.

k	an 1
		Pn (xk )Pn 1(xk )
Теорема 4.7. Если	p(x) сохраняет знак на [a, b] и			f (x)
имеет непрерывную производную порядка 2n на [a, b] ,				то су-
ществует такая точка [a,b] , что для остатка
b		n
Rn ( f ) p(x) f (x)dx Ak f (xk )
a		k 1

квадратурного правила наивысшей алгебраической степени точности верно равенство

	1	b
Rn ( f )	1	f (2n) ( ) p(x) 2 (x)dx .

	(2n)!
	(2n)!	a
		a
Доказательство. Пусть		H (x) − интерполяционный много-

член степени не выше 2n 1, удовлетворяющий условиям

H (xk ) f (xk ), H (xk ) f (xk ) .

В предположении о непрерывности f (2n) (x) , погрешность

интерполирования может быть представлена в форме (остаточный член многочлена Эрмита)

rn (x) 1 f (2n) ( ) 2 (x) , (2n)!

где − некоторая точка отрезка, содержащего x и xk , k 1, n . Тогда

b	b		1	b	(2n) ( ) 2
p(x) f (x)dx p(x)H (x)dx			1	p(x) f		(x)dx .
p(x) f (x)dx p(x)H (x)dx			(2n)!	p(x) f		(x)dx .
a	a		(2n)!	a
a	a			a
	Так как квадратурное правило является точным для всех
алгебраических многочленов степени не выше 2n 1, то
	b	n		n
	p(x)H (x)dx	Ak H (xk ) Ak f (xk )
	a	k 1		k 1

и погрешность квадратурного правила Rn ( f ) определяется выражением

	1	b
Rn ( f )		f (2n) ( ) p(x) 2 (x)dx .

	(2n)!a

Так как p(x) и 2 (x) не меняют знаков на [a,b] и f (2n) (x) непрерывна на [a,b] , то, согласно теореме о среднем, существует такая точка [a,b], что

	1	f (2n)	b
Rn ( f )	1		( ) p(x) 2 (x)dx .

	(2n)!
	(2n)!		a
			a
Теорема доказана.
Рассмотрим вопрос сходимости квадратурного правила
наивысшей алгебраической степени точности.
Пусть весовая функция p(x)			неотрицательна. Квадратурное

правило наивысшей алгебраической степени точности может быть построено для любого n 1,2,... . Узлы и коэффициенты правила будут иметь свои значения для каждого n . Обозначим

их xkn , Akn . Тогда можно записать квадратурное правило следующим образом:

b	n
p(x) f (x)dx Akn f (xkn ) Rn ( f ) Qn ( f ) Rn ( f ) .
a	k 1

Квадратурный процесс сходится для функции f (x) , если

lim Qn ( f ) p(x) f (x)dx

n a

Теорема 4.8. Если p(x) 0 , отрезок [a, b] конечный и замкнутый и функция f (x) непрерывна на нем, то квадратур-

ный процесс наивысшей алгебраической степени точности сходится.

Доказательство. Ввиду непрерывности функции f (x) , при

всяком 0 существует многочлен P(x)

такой, что при лю-

бом x [a,b] выполняется неравенство

Тогда

f (x) P(x)

p(x) f (x)dx

Akn f (xkn )

p(x) f (x)dx p(x)P(x)dx

k 1

p(x)P(x)dx Akn P(xkn )

Akn[P(xkn ) f (xkn )]

k 1

Но

p(x) f (x)dx p(x)P(x)dx

p(x)[ f (x) P(x)]dx

p(x)dx .

Кроме того, так как

p(x) 1dx

Akn ,

k 1

то

Akn[P(xkn ) f (xkn )]

Akn p(x)dx .

k 1

Если m есть степень многочлена P(x) , то при 2n 1 m

b	n
p(x)P(x)dx Akn P(xkn )
a	k 1

и для каких n

b	n	b
p(x) f (x)dx Akn f (xkn )		2 p(x)dx ,
a	k 1	a

что доказывает теорему.

1.5. Частные случаи квадратурного правила наивысшей алгебраической степени точности

Приведенные теоремы доказывают справедливость следующего утверждения: если весовая функция p(x) сохраняет знак

на [a, b], то квадратурное правило (1.25), верное для всех мно-

гочленов степени не выше 2n 1, существует при всех n и является единственным для каждого n . При этом для знакопостоянной весовой функции p(x) степень точности 2n 1 является наивысшей возможной. Таким образом, для конкретной весовой функции p(x) существует единственный многочлен (x) ортогональный по весу p(x) на [a,b] любому многочлену степе-

ни меньше n , корни которого являются узлами квадратурного правила, а выражение (1.28) определяет коэффициенты этого правила.

I. Интегралы вида f (t)dt

Пусть [a, b] − произвольный конечный отрезок. Тогда, с помощью линейной замены переменной

t b a b a x ,

2 2

где t [a,b], x [ 1,1], интеграл

f (t)dt

и соответствующая квадратурная формула, преобразуются к виду:

b a

f (t)dt

f (

x)dx

b a

Ak f (

xk ) .

2 k 1

Поэтому будем считать, что исходный интеграл приведен к виду

I f (x)dx .

Систему многочленов, ортогональную на [ 1,1] с весом p(x) 1, образуют многочлены Лежандра:

P (x)

d n

(x2 1)n :

2n n! dxn

P0 (x) 1 ,

P (x) x ,

P (x)

3x2 1

P (x)

5x3 3x

...

(x)

(2n 1)xP (x) nP

(x) .

n 1

Соответствующая квадратурная формула называется фор-

мулой Гаусса и имеет вид

1	n
f (x)dx Ak f (xk ) Rn ( f ) ,
1	k 1


где коэффициенты Ak , k 1, n,				вычисляются следующим обра-
зом
	Ak				2			,

			2			(xk )]	2
			2				2

			[1 xk ][Pn
а погрешность, в предположении, что f (x)								имеет непрерывную
производную порядка 2n на [ 1,1] , равна
R ( f )	22n 1 (n!)4				f (2n) ( ),			[ 1,1] .
R ( f )		1) (2n)! 3			f (2n) ( ),			[ 1,1] .
n	(2n
	(2n

Узлы xk , k 1, n , должны располагаться в корнях многочлена Лежандра степени n , для которых нет общей формулы.

В таблице 4.2. приведены значения узлов xk и соответствующих коэффициентов Ak квадратурной формулы Гаусса для значений n 1,7 .

		Таблица 4.2.

n	Ak , k 1, n.	xk , k 1, n.
n 1	A1 = 2,0000000	x1 =+0,0000000

n 2	A1 = 1,0000000	x1 = –0,5773502
	A2 = 1,0000000	x2 = +0,5773502


	A1 = 0,5555555	x1 = –0,7745966
n 3	A2 = 0,8888888	x2 = +0,0000000
	A3 = 0,5555555	x3 = +0,7745966

	A1 = 0,3478548	x1 = –0,8611363
n 4	A2 = 0,6521451	x2 = –0,3399810
n 4	A3 = 0,6521451	x3 = +0,3399810
	A3 = 0,6521451	x3 = +0,3399810
	A4 = 0,3478548	x4 = +0,8611363

	A1 = 0,2369268	x1 = –0,9061798
	A2 = 0,4786286	x2 = –0,5384693
n 5	A3 = 0,5688888	x3 = +0,0000000
	A4 = 0,4786286	x4 = +0,5384693
	A5 = 0,2369268	x5 = +0,9061798

	A1 = 0,1713244	x1 = –0,9324695
	A2 = 0,3607615	x2 = –0,6612093
n 6	A3 = 0,4679139	x3 = –0,2386191
n 6	A4 = 0,4679139	x4 = +0,2386191
	A4 = 0,4679139	x4 = +0,2386191
	A5 = 0,3607615	x5 = +0,6612093
	A6 = 0,1713244	x6 = +0,9324695

	A1 = 0,1294849	x1 = –0,9491079
	A2 = 0,2797053	x2 = –0,7415311
	A3 = 0,3818300	x3 = –0,4058451
n 7	A4 = 0,4179591	x4 = 0,0000000
	A5 = 0,3818300	x5 = 0,4058451
	A6 = 0,2797053	x6 = 0,7415311
	A7 = 0,1294849	x7 = 0,9491079

Пример 4.5. Вычислим методом Гаусса интеграл

Iet 5 dt .

1t2 1

Спомощью замены переменной5

t 3 2x

интеграл и соответствующая квадратурная формула преобразуются к виду

3 2x

3 2xk

I 2

dx 2 Ak

14x2 12x

k 1

4xk2 12xk 10

Если вычислять интеграл при n 5 , используя узлы и ко-

эффициенты квадратурной формулы xk , Ak , k 1, n,

из табли-

цы 4.2., то получим I 6,9998716 . Вычисляя интеграл при тех

же значениях xk , Ak , k 1, n,

путем деления интервала [1,5]

на

две части (m 2) ,

получим

I 7,0000535 ,

а при

m 3 −

I 7,0000555.

II. Интегралы вида

e t f (t)dt

помощью

замены

переменной

t x a ,

где

t a; , x 0; ,

интеграл и соответствующее квадратурное

правило, можно привести к виду

e t f (t) e a e x f (x a)dx e a Ak f (xk a) .

k 1

Поэтому будем считать, что исходный интеграл задан в ви-

де

I e x f (x)dx .

На

луче

[0, ) свойством ортогональности

с весом

p(x) e x обладают многочлены Лагерра

(0)

( 1)

d n

dxn

L(0)

L(0) x 1;

L(0)

2x 2;

L(0)

x3 9x2

18x 6;

…

L(0)

(x 2n 1)L(0)

(x) n2L(0)

(x) .

n 1

В квадратурной формуле наивысшей степени точности

	n
e x f (x)dx Ak f (xk ) Rn ( f )
0	k 1

узлы xk являются корнями многочлена Лагерра L(n0) (x) , коэф-

фициенты Ak вычисляются по формуле
A	n! 2		1			,
A						,
k	n 1				2
	n 1		(0)	(xk	2
		xk Ln		(xk	)

а погрешность Rn ( f )		определяется соотношением
		n! 2
R ( f )			f (2n) ( ),	[0, ) .

n	(n 1)(2n)!

Для корней многочлена Лагерра не существует общей формулы, поэтому они либо определяются из решения соответствующего алгебраического уравнения, либо из таблиц.

Пример. 4.6. При n 2 квадратурная формула вычисления интеграла имеет вид

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 134 5 6 7 8 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
05.02.20231.41 Mб33Высшая математика I. Практикум по линейной алгебре и аналитической геометрии.pdf
#
05.02.20231.32 Mб11Высшая математика III. Функции комплексного переменного. Ряды. Интегральные преобразования.pdf
#
05.02.2023764.74 Кб13Высшая математика IV. Теория вероятностей.pdf
#
05.02.20231.08 Mб9Высшая математика. Дифференциальное исчисление-1.pdf
#
05.02.2023783.68 Кб10Высшая математика. Дифференциальное исчисление.pdf
#
05.02.20232.02 Mб9Вычислительная математика. Часть 2.pdf
#
05.02.20232.42 Mб7Вычислительная математика.-1.pdf
#
05.02.2023915.58 Кб5Вычислительная математика.-2.pdf
#
05.02.2023915.77 Кб5Вычислительная математика.-3.pdf
#
05.02.2023421.96 Кб6Вычислительная математика.-4.pdf
#
05.02.2023931.12 Кб8Вычислительная математика.-6.pdf