54
uс.ф. (t) = |
|
1 |
|
|
¥ Kopt ( jw)Ss ( jw) exp( jwt)dw = |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2p -ò¥ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
= |
C |
¥ |
|
Ss ( jw) |
|
2 exp( jw(t - t0 ))dw . |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
2p -ò¥ |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ss ( jw) |
|
2 |
|
|
|
||||||
Квадрат |
|
|
|
|
модуля |
|
представляет чётную |
функцию |
частоты. |
||||||||||||||
Представив |
exp( jw(t - t0 )) по |
формуле Эйлера, получим |
в правой |
части |
|||||||||||||||||||
выражение |
для uс.ф. (t) сумму |
двух интегралов. С учётом |
равенства |
нулю |
|||||||||||||||||||
интеграла от нечётной функции будем иметь |
|
|
|||||||||||||||||||||
uс.ф (r) = |
|
C |
¥ |
Ss ( jw) |
|
2 cos(w(t - t0 ))dw . |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
При t = t0 |
2p -ò¥ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
получаем наибольшее значение интеграла |
|
|
||||||||||||||||||||
uс.ф (t0 ) = |
C |
¥ |
|
|
Ss ( jw) |
|
2 dw = CE . |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
2p -ò¥ |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Здесь учтено равенство Парсеваля, в соответствии с которым энергия сигнала определяется интегралом от квадрата модуля спектральной функции.
Величина uс.ф (t0 ) соответствует максимальному значению сигнала на выходе согласованного фильтра.
2.2.6 Реализация согласованных фильтров |
|
|
|
|
||||
Рассмотрим |
некоторые |
виды |
сигналов |
и |
соответствующие |
им |
||
согласованные фильтры. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Согласованный |
фильтр |
для |
прямоугольного |
видеоимпульса |
|
|||
определяется следующими характеристиками. Сигнал имеет вид |
|
|
|
|||||
é t s(t) = Arect ê
ëtè
ù |
ï |
|
|
[ |
0,t |
è ] |
; |
|
ìA, t Î |
|
|
||||
ú = í |
|
|
|
|
|
(2.43) |
|
|
|
|
|
|
|||
û |
îï0, t Î[0,tè ]. |
|
|||||
Спектральная функция такого сигнала
g |
tè |
|
A |
|
|
|
S s ( jw) = Aòexp(- jwt)dt = |
(1- exp(- jwt |
è )) . |
||||
|
||||||
|
0 |
|
jw |
|
||
Положим |
t0 =tи |
и найдём комплексный коэффициент передачи |
||||
согласованного фильтра по формуле (2.41):
Kopt ( jw) = C A - (1 - exp(- jwtи )) . iw
55
Функциональная схема фильтра приведена на рисунке2.8, а. Фильтр
содержит идеальный |
усилитель с |
коэффициентом усиленияK = CA , |
интегратор, линию задержки на время tи |
0 |
|
и вычитающее устройство. Реакция |
||
согласованного фильтра |
на сигнал |
показана на рисунке2.8, б. Форма |
напряжения соответствует автокорреляционной функции прямоугольного импульса:
æ |
|
|
t -t |
и |
|
ö |
, t Î[0, 2tи ]. |
|
uс.ф (t) = CE ç1 |
- |
|
|
|
|
÷ |
||
|
|
|||||||
|
tи |
|
|
|
||||
è |
|
|
|
ø |
|
|||
Максимум напряжения uс.ф (t) |
достигается при t =tи . |
|
|||||
В |
случае согласованного |
фильтра |
для |
последовательности |
|||
знакопеременных импульсов (псевдослучайной последовательности - |
|||||||
ПСП) сигнал задан в виде |
|
|
|
|
|||
|
N -1 |
æ |
t - mtэ |
ö |
|
|
|
s(t) = ånm rect ç |
÷, |
|
|
|
|||
tэ |
|
|
|
||||
|
m=0 |
è |
ø |
|
|
|
|
где nm принимает значения ±1 в соответствии с законом ПСП; tэ -
длительность элемента ПСП. Пример чередования знаков в ПСП показан на рисунке 2.9, а. Соответствующая последовательности импульсная реакция согласованного фильтра приведена на рисунке 2.9, б.
а – функциональная схема фильтра;
б – реакция согласованного фильтра на сигнал s(t)
Рисунок |
2.8 |
– Согласованный |
фильтр |
для |
прямоугольного |
видеоимпульса. |
|
|
|
|
|
Фильтр |
в |
данном случае |
может быть |
реализован с помощь |
|
многоотводной линии задержки (ЛЗ) и блока весовых коэффициентов (БВК), на выходах которого формируются напряжения, подаваемые на выходы сумматора (рисунок 2.9, в).
56
а – пример чередования знаков в ПСП; б – импульсная реакция согласованного фильтра для ПСП; в – согласованный фильтр для ПСП. Рисунок 2.9 – Согласованный фильтр для последовательности
знакопеременных импульсов
На выходе сумматора включен оконечный (ОСФфильтр), согласованный с элементом ПСП– прямоугольным импульсом, имеющим длительность tэ .
Процесс формирования выходной реакции согласованного фильтра для ПСП показан на рисунке2.10, а. Для шумоподобного сигнала, каким является ПСП, наблюдается эффект сжатия сигнала(рисунок 2.10, б), проявляющийся в сокращении эффективной продолжительности сложного сигнала в результате согласованной фильтрации. Коэффициент сжатия (на уровне 0,5 максимального значения выходного напряжения) определяется базой сигнала и в рассматриваемом случае равенN = T
tэ , где T -
продолжительность ПСП. Таким образом, ширина спектра выходного
сигнала согласованного фильтра остаётся такой же, как и у входного сигнала.
Отметим, что согласованный фильтр, обеспечивая максимальное отношение сигнал/шум на выходе, существенно изменяет форму сигнала.
57
а – на выходе БВК; б – на выходе оконечного согласованного фильтра.
Рисунок 2.10 – Процесс |
формирования |
выходной |
реакции |
согласованного фильтра для ПСП |
|
|
|
Рисунок 2.11 – Приближённое представление импульсной реакции
gopt (t) .
Использование линий задержки и весового суммирования возможно не только для дискретных сигналов. Такое использование основано на
приближённом представлении импульсной
ступенчатой функции (рисунок 2.11):
M -1 |
æ t - kDt ö |
|||
gopt (t) @ å gopt |
||||
(kDt)rect ç |
|
÷. |
||
Dt |
||||
k =0 |
è |
ø |
||
реакцииg |
(t) |
в |
виде |
opt |
|
|
|
|
|
(2.44) |
|
Интервал Dt выбирается из условия обеспечения требуемой точности аппроксимации импульсной реакции. Если эффективная ширина спектра